不等式选讲解答题20道解析版Word格式文档下载.docx
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.函数：
/（x）=|2k+6］+|2x-4|-11,g（x）=-|x-1|.
⑴请在图中画出y=/（x）和y=g（x）的图象；
⑵假设屋彳+/）工/（力恒成立，求，的取值范围.
g（x）='
-x+l,x>
1x-l,x<
1
4x-9,x^2
（l）/（x）=T,-3<
x<
2—13—4x,xW—3
故/（X）、g（x）的图象如下图:
⑵假设g（x+/）«
/（x）恒成立，那么g（x+f）的图象不在“X）图象的上方,而g（x+f）的图象可由g（x）的图象平移得到，如图，
当g（x+f）的图象的左侧射线过8或在8的下方时或g（x+，）的图象的右侧射线过A或在A的下方时，g（x+。
的图象不在/（力图象的上方，由⑴可得A（-3,-1）,8（2,-1）,
由g（x）=-|x+T可得-1=+3+1|,解得仁5或，=3（舍，因为此时g（x+。
的图象的左侧射线过A）.
由g（x）=—|x+，-l|可得一1=一|2+"
1|,解得，=-2或［=。
（舍,因为此时g（x+，）的图象的右侧射线过4）.
结合图象可得Y-2或年5.
3.函数f（x）=x-;
，g（x）=2x-G.
⑴假设［〃x）+g（x）|=|/（x）|+k（x）|，求x的取值范围：
（2）假设2|/（“+k（”|的最小值为M,0<
ni<
Mt求^的最小值.
（1）由题意，|/（x）+g（x）|=|/（x）|+|g（x）|知/（x>
g（x）NO,［-/）（24一6）之。
或"
#，x的取值范围为：
0冬+8）⑵•.•2|〃x）|+|g㈤=|2x-l|+|2x-6同2x-l-0工-@卜G-l,2|/（x）|+|g（x）|的最小值为M，所以-1,
/.—!
—+—=—J——!
—+--/w）+/nl>
+x（I+1+2）=2-75+2
M-mmwJlv7j2v7当且仅当二^-=如士即机=避且时等号成立.所以J—+工的最小值为26+2.M-mm2M-ffiin
4.函数/（x）=W+k-3|.
⑴求不等式"
x）<
4-|X的解集.
⑵假设.f（x）的最小值为加，且实数〃也。
满足〃S+c）=〃7，证明：
2tr+b2+c2..m+3.
（1解：
不等式”x）<
4—W，可化为2国+卜一3k4.
①当工,0时，不等式可化为一2犬-（工一3）<
4,即一31<
1,解得故-；
<
二（）；
②当0VXV3时,不等式可化为2x—（x—3）v4,解得xvl,故Ovx<
l；
③当x.3时，不等式可化为2x+（x-3）<
4,解得显然与工.3矛盾，不等式无解.综上，不等式〃x）<
4-国的解集为卜；
1）.
⑵证明：
由绝对值不等式的性质可得，凶+卜-3|..卜-（工-3）卜3,当且仅当怎*3时取等号，所以当旗收3时，/（力的最小值为3,即〃?
=3,所以a（/?
+c）=3,&
|Jab+ac=3,
所以2/+b2+c2=（/+b~^+^a2+c2y.2ab+2ac=6,即2a?
+b2+c2..m+3,当且仅当a=〃=c=±
如时，等号成立.
2.怎为正实数，x+），=4.
⑴要使不等式*+2卜|。
-1|恒成立，求实数〃的取值范围;
⑵求证：
x2+2/>
^,并指出等号成立的条件.
III（\IL、1公yx
（1）-+—=-—+—（x+y）=-2+—+—Xy41xy）41xy.
当且仅当工=±
，x=），=2时等号成立.所以,+2|-卜-1归1恒成立，%y-3,«
-2
令8（〃）=|〃+2|一,一1|=<
2a+\,-2<
a<
\,由^⑷个解得心。
3,a>
l
所以。
的取值范围是（f,0],
（2）依题意x，y为正实数，x+y=4,所以y=4-x（0<
4）,
所以f+2）,2=x2+2（4-x）2=3x2-I6x+32=3|x--+—,\3,33
84当x==]时等号成立.
5.函数/（x）=|3x-6|+k+@.
（I）当a=l时，解不等式/（“<
3；
⑵假设不等式〃x）vU-以对任意xe-4,-1成立，求实数。
的取值范围.
-4x+5,x<
-1⑴解：
4=1时，/（x）=|3x-6|+|x+l|=>
-2x+7,-l<
2；
4x-5,x>
当x<
-lH寸，由/（x）<
3得-4x+5<
3,解得（不合题意，舍去）；
当T«
2时，由/（力<
3得-2r+7<
3,解得x>
2（不合题意，舍去）；
当x>
2时，由/（工）<
3得4x-5<
3,解得x<
所以不等式/（6<
3的解集0；
3一
（2）解：
由/（x）=|3x-6|+|x+4<
1l-4x对任意xe-4,--成立，得一（3天一6）+卜+4<
11-4］，即|x+4<
5r,所以，'
，
x-5<
x+a「，3所以《，得。
>
一5且a<
5-2x对任意xw-4,--成立；
即-5<
。
8,
x+a<
5-x2J-
的取值范围是（-5,8）.
8.函数/（x）=|x+2|+|2工一（I）当。
=1时，解不等式/。
）<
5；
（2）假设对VxeR,恒成立，求实数。
（1）当。
=1时,/（x）=|x+2|+|2x-l|.
当xW—2时，/（“=-（x+2）—（2x—l）=-3x—l<
5,那么无解.
当一2Vx<
5时，/（x）=x+2-（2x-l）=-x+3<
5,那么一2Vx<
万.
当xN，时，/（x）=x+2+2x-l=3x+I<
5,那么2234
综上所述：
/（“<
5的解集为卜
（2）对任意R,/（刈=,+2|+|2%_司23_々恒成立.
那么等价于/a）minN3—。
当av.4时，f（x）=\x+2\+\2x-a\=<
x-2-d,1<
-3x-2+a,x<
所以小心=/Q卜<
一223一〃，那么无解.
3x+2-a,x>
当a>
-4时，/（x）=|x+2|+|2.r-d|=^-x+2+a,一:
-3.i-2+a,x:
/（加=/图琮+2N3-”，那么〃之|.所以实数a9./（x）=|xT|+2麻+1|（。
0）.
（1）当4=1时，求不等式/（力>
5的解集；
⑵假设〃x）>
3d的解集包含［0,1］,求。
⑴当4=］时，/（x）=|x-l|+2|x+l|,故当xK—l时，/（a-）>
5,即1—x—2（x+1）>
5,-3.
xW—2,
a
a
2
W-2
1的取值范围为p+00j.
r>
6,解得x<
-2；
3x+2-a,x>
-2
当a=-4时，〃x）=|x+2|+|2x+4|=3|x+2|之7显然不恒成立.
当时，/（x）>
5,即l-x+2x+2>
5,解得x>
2,不等式无解；
当xNl时，/（%）>
5,即x-l+2x+2>
5,即3x>
4,解得x>
g；
综上所述，/（刈>
5的解集为｛xlxv-2或x>
g｝.
⑵因为/（x）>
3f的解集包含[0』，即对任意的工«
0』，上一1|+2|分+1]>
3/恒成立:
即17+2or+2>
3f,也即城—（2〃-1b-3<
0,对任意的恒成立，故只需-3<
0且3-（2〃-1）-3<
0,解得”;
.故。
的取值范围为+8.
10.函数f（x）=3k-l|+k-2|.
（I）解不等式/（6之6的解集；
（2）/（x）>
2m2-m对任意xsR恒成立，求实数的取值范围.
（1）当xN2时，/（x）=3（x-l）+（x-2）=4x-5>
6即4x211,解得xN，，故此时xN2当14工<
2时，/（x）=3（x-1）4-（2-x）=2x-1>
6
即2人27,解得故此时无解当xvl时，/（x）=3（1-a:
）+（2-x）=-4x+5>
6即4x«
T,解得故此时
44综上所述不等式〃x”6的解集为卜|北2或xW-；
｝
⑵当xZ2时，/（x）=3（x-l）+（x-2）=4x-5,此时当户2时，/（另有最小值3,当l〈xv2时，/（x）=3（x-l）+（2-x）=2x-l,此时当x=l时，/（x）有最小值1,当x<
l时，/（x）=3（l-x）+（2-x）=-4x+5,此时当x=l时，/（x）有最小值1,综上所述，/（力的最小值为1/（同22〃一相对任意xwR恒成立，那么122〃/—〃?
，解得一;
WmWl
所以实数机的取值范围是WmW1.函数"
x）=|3x-时+|3]-1|.
⑴假设…1,求不等式〃”>
3的解集；
I/?
（2）假设DxeR,3«
--,f（x+\）>
a+-^-t求实数，”的取值范围.
⑴解:
因为,〃=-1,那么〃x）=|3x-l|+|3x+l|.
当xW—1时，由/（力二1-3x-l-3x=-6x>
3,可得工<
一,，此时x<
一!
；
322当一g（x<
时，由/（x）=l—3x+3x+1=2,此时/（x）>
3无解；
当x2，时，由/（x）=3x-l+3x+l=6x>
3,可得人>
，此时322综上所述，当,〃=-1时，不等式/（x）>
3的解集为
由题可知/（x+l）=|3x+3-〃?
|+|3x+2闫（3x+3-⑼一（3工+2）|二，〃一1|.
22«
+121、-l2a+\2-13“，口/门31„,“•口一小a+----^2J——-=当且仅当时，等号成立.
2。
+122«
+12V22a+\222I2351
VxgR,/（x+l）"
+y^等价于|/〃一1|25，解得机25或一5，乙乙aI-।4/J
故实数，”的取值范围是（—,一;
U3收）.
12./。
）=,一1|+
的最小值为机.
（1）求，〃的值;
（2）正实数a,b,c满足a+b+c="
?
求而+/?
c+ca的最大值.
——x,x<
-22
1?
1x+2,-2<
1,那么/（x）而=即〃?
=；
.
N乙乙3,
—x,x>
12
30
⑵由
（1）知：
a+b+c=—,filf（^+^+^）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=—,而ah+be+ca<
a2+b2+c2，那么（a+〃+c）2>
3ab+34c+3bc,313
Aab+bc+ca<
-,当且仅当a=〃=。
=彳时取等号，所以（他+Z?
c+ca）心=：
424.函数/（x）=|21+4|-卜一1|.
（I）求不等式〃6>
0的解集；
（2）假设使〃玉）-，%+4=0,求实数。
（1）当工<
一2时，由/（司>
0,得一2工一4+工一1>
0,解得XV-5,当-2?
x1时，由/（x）>
0,得2x+4+x-l>
0,解得一ivxvl,
当。
之1时,由〃力>
0,得2x+4—x+l>
0,解得xNl,综上，不等式/（力>
0的解集为（yo,-5）U（T+oo）
（2）%eR,使/1）一g）+4=0,那么函数），=/（%）的图象与直线），=at-4有公共点,因为直线丁=”-4恒过点P（0,-4）,—x—5,x<
一2
令/（“=•31+3,-2"
1图象的最低点为4-2,-3）,那么x+5,x>
直线抬的斜率为3,=:
/（；
）二一：
由图象可知，当aK-g或时，函数y=/（x）的图象与直线y=ar-4有公共点，
13.函数/（x）=|x|-|x+l|+l的最小值为M,最大值为N.
⑴求M,N的值；
⑵假设a+Z?
+c=M,a2+b2+c2=N>
求。
的最大值.
⑴因为llxlTx+l||”lx—1+1）1=1，所以一啜jx|—|x+l|1,所以。
期’"
）2,即M=0,N=2.
（2）由
（1）可知a+/?
+c=O,a2+b2+c2=2,那么Z?
+c=-a,b2+c2=2-a2,
因为亨
〃+cY
所以2-/（~a\,
2J
2k2）
解得一手融
273
3
即。
的最大值为空.3
15.函数/（工）=2,―1|+卜+1|.
⑴求不等式的解集；
（2）假设。
0,b>
0,且〃+力=/
（1）,求证：
+4b+i<
2-J1.
—3x+l,x4—1
（l）h^//（^）=2|x-l|+|x+l|=--x+3,-l<
l,3x-l,x>
由f（x）W5,得<
1IrnV
-3x+1<
5
-1<
—x+3K5
或，
3x-l<
4解得一§
W-l或-1vxvl或1WxW2,-4'
所以不等式的解集为-于2.J⑵要证"
TR+历Tv2应，印证（而1+历7）24（2血）2,即证〃+。
+2+24+1・办+148,因为a+b=f（l）=2,
故只需证J（a+l）S+l）W2.由基本不等式可知,府用百万空业=2,当且仅当。
=〃=1时等号成立.故命题得证.
16.己知正数小Ac,"
满足/+/+<
+/=1,证明：
（I）0<
—；
1144
（2）7+F+7V-36-
（1）因为/+。
222加,b2+d2>
2bd,所以〃2+〃+/+/N2ac+2/%/,当且仅当a=h=c="
时，等号成立，
又正数m匕，c,4满足/+6+。
2+/=1,所以0<
"
+"
《今
（2）因为正数a,〃，。
，4满足/+6+。
2+/=],
所以由柯西不等式，可得」T+jr+2B+4r=（42+/r!
+c2+4：
!
）（-!
y+g+=+jra~b~c~d~\\crb~C"
-
17.函数/*）=|2x—4|—|x-3|.
⑴求不等式/*）>
7的解集；
321⑵设函数f（x）的最小值为M.假设正实数小b,。
满足。
+»
+3c-5=M,求二+二+-的abc
最小值.
x-l,x>
3,
3\-7,2瓢3,
-x+l,x<
2,
（2x-4）-（x-3）,x>
3,⑴"
x）=.（2x—4）+（%—3）,2麴k3,=’-（2x-4）+（x-3）,x<
x>
3,2效Jr3,x<
2,
即x>
8或。
或x<
-6,
那么/5）〉7的解集为।；
或，，，或《I?
，x-1>
7[3x-7>
7（-x+l>
7,
综上所述，/3）>
7的解集为{x[x>
8或4<
-6}.
（2）解法一：
由（I）可知当x=2时，/（幻的最小值M=-l,那么勖+3c=4,由柯西不等式得，（〃+2b+3c）f+£
+：
）..向？
+扬+辰#=（x/3+2+a/3）2=16+8>
/3,
当〃=回=3。
时取等号，故3+1+2•的最小值为abc
4+26.
解法二：
由
（1）可知当木=2时，八幻的最小值〃=_],那么3型=L+如3c）代+2+牛牛0+偿+网〕+但+小佟+训..4+2石abc4\cibc）4|_（ab）\ac）\bc）_
当a=血?
=3c,时取等号，即所求最小值为4+2\/5.
18.函数/（x）=|2k+2|-|x-1|.
（I）求不等式/（x"
5的解集：
⑵假设/（x）W2k-4恒成立，求实数。
-X—3,x«
-1⑴由题意知，/（x）=^3x+l,-l<
l,当xW-l时，-x-3>
5,得xW-8；
x+3,x>
2当一lvx<
l时，3x+l>
5,无解；
l时，x+3>
5,得了之2；
综上，不等式/（x”5的解集为（yo,-8]U[2,s）；
一x—3一1W—1
⑵由
（1）得/（%）=•3x+l,-l<
x41,x+3,x>
作出y=/（X）和y=2|x-4的图象，其中y=2k一H的图象是由y=2凶的图象平移得到
当a=-3时，两图象交于点（-3,0）；
当a=T时，两图象交于点（1,4）；
当-3vav-1时,y=2\x-a\^j图象恒在y=f（力图象的上方;
的取值范围是［-3,-1］.
19.函数/（x）=|2x-4|+|x+3］的最小值为m.
⑴求小的值;
（2）求证：
当yw（O,D时，匕上+「一之〃?
⑴/（x）=|2x-4|+|x+：
M=U—2|+|x+3|+|x—2Mx+3|+|x-2|>
|（a-4-3）-（x-2）|=5,当且仅当x=2时，等号成立，
所以〃幻有最小值5,即〃?
=5.
・・・”（0,1）,
1+y1,II、「Z1xn,o1-yy
―^+--=（-+--心+（1-刈+1=3+—+
—yi-yyi-y23+2」g4=5,当且仅当上2=户，即），=2时取等号，
Vyi-yy-y2即当ye（（）,l）时，+;
2"
y1-y3
20.〃：
|x-a|>
5，<
7:
2x+9x-18<
0.
（1）假设-P是F的充分不必要条件，求。
的取值范围；
⑵假设a=l，且。
假q真,求上的取值范围.
⑴解：
由可得或,解得工<
〃-5或Qa+5,--33
所以»
->
P:
―+33
解不等式2/+9”一18<
0,解得一6Vx<
7,所以，或不之大，22
333因为f是F的充分不必要条件，那么卜。
一弓工工工4+枭{x\x<
-6^x>
33315所以，〃+乏-6或4-旌=,解得心-？
或〃之3.
2222
（2）解：
当a=l时，假设〃假，那么一;
乙乙
\5——<
2213因为〃假q真，那么；
，可得
-6<
-222
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