所以f+2),2=x2+2(4-x)2=3x2-I6x+32=3|x--+—,\3,33
84当x==]时等号成立.
5.函数/(x)=|3x-6|+k+@.
(I)当a=l时,解不等式/(“<3;⑵假设不等式〃x)vU-以对任意xe-4,-1成立,求实数。
的取值范围.
-4x+5,x<-1⑴解:
4=1时,/(x)=|3x-6|+|x+l|=>-2x+7,-l4x-5,x>2
当x<-lH寸,由/(x)<3得-4x+5<3,解得(不合题意,舍去);
当T«x<2时,由/(力<3得-2r+7<3,解得x>2(不合题意,舍去);当x>2时,由/(工)<3得4x-5<3,解得x<2(不合题意,舍去);
所以不等式/(6<3的解集0;3一
(2)解:
由/(x)=|3x-6|+|x+4<1l-4x对任意xe-4,--成立,得一(3天一6)+卜+4<11-4],即|x+4<5r,所以,',
x-5>一5且a<5-2x对任意xw-4,--成立;即-5<。
<8,
x+a<5-x2J-
所以。
的取值范围是(-5,8).
8.函数/(x)=|x+2|+|2工一(I)当。
=1时,解不等式/。
)<5;
(2)假设对VxeR,恒成立,求实数。
的取值范围.
(1)当。
=1时,/(x)=|x+2|+|2x-l|.
当xW—2时,/(“=-(x+2)—(2x—l)=-3x—l<5,那么无解.
当一2Vx<5时,/(x)=x+2-(2x-l)=-x+3<5,那么一2Vx<万.
当xN,时,/(x)=x+2+2x-l=3x+I<5,那么2234
综上所述:
/(“<5的解集为卜
(2)对任意R,/(刈=,+2|+|2%_司23_々恒成立.
那么等价于/a)minN3—。
当av.4时,f(x)=\x+2\+\2x-a\=-3x-2+a,x<
所以小心=/Q卜<一223一〃,那么无解.
3x+2-a,x>
当a>-4时,/(x)=|x+2|+|2.r-d|=^-x+2+a,一:
-3.i-2+a,x:
/(加=/图琮+2N3-”,那么〃之|.所以实数a9./(x)=|xT|+2麻+1|(。
>0).
(1)当4=1时,求不等式/(力>5的解集;
⑵假设〃x)>3d的解集包含[0,1],求。
的取值范围.
⑴当4=]时,/(x)=|x-l|+2|x+l|,故当xK—l时,/(a-)>5,即1—x—2(x+1)>5,-3.
xW—2,
a
-2
a
2
2
W-2
1的取值范围为p+00j.
r>6,解得x<-2;
3x+2-a,x>-2
当a=-4时,〃x)=|x+2|+|2x+4|=3|x+2|之7显然不恒成立.
当时,/(x)>5,即l-x+2x+2>5,解得x>2,不等式无解;当xNl时,/(%)>5,即x-l+2x+2>5,即3x>4,解得x>g;
综上所述,/(刈>5的解集为{xlxv-2或x>g}.
⑵因为/(x)>3f的解集包含[0』,即对任意的工«0』,上一1|+2|分+1]>3/恒成立:
即17+2or+2>3f,也即城—(2〃-1b-3<0,对任意的恒成立,故只需-3<0且3-(2〃-1)-3<0,解得”;.故。
的取值范围为+8.
10.函数f(x)=3k-l|+k-2|.
(I)解不等式/(6之6的解集;
(2)/(x)>2m2-m对任意xsR恒成立,求实数的取值范围.
(1)当xN2时,/(x)=3(x-l)+(x-2)=4x-5>6即4x211,解得xN,,故此时xN2当14工<2时,/(x)=3(x-1)4-(2-x)=2x-1>6
即2人27,解得故此时无解当xvl时,/(x)=3(1-a:
)+(2-x)=-4x+5>6即4x«T,解得故此时
44综上所述不等式〃x”6的解集为卜|北2或xW-;}
⑵当xZ2时,/(x)=3(x-l)+(x-2)=4x-5,此时当户2时,/(另有最小值3,当l〈xv2时,/(x)=3(x-l)+(2-x)=2x-l,此时当x=l时,/(x)有最小值1,当x,解得一;WmWl
所以实数机的取值范围是WmW1.函数"x)=|3x-时+|3]-1|.
⑴假设…1,求不等式〃”>3的解集;I/?
(2)假设DxeR,3«>--,f(x+\)>a+-^-t求实数,”的取值范围.
⑴解:
因为,〃=-1,那么〃x)=|3x-l|+|3x+l|.
当xW—1时,由/(力二1-3x-l-3x=-6x>3,可得工<一,,此时x<一!
;322当一g(x<;时,由/(x)=l—3x+3x+1=2,此时/(x)>3无解;
当x2,时,由/(x)=3x-l+3x+l=6x>3,可得人>,,此时322综上所述,当,〃=-1时,不等式/(x)>3的解集为
(2)解:
由题可知/(x+l)=|3x+3-〃?
|+|3x+2闫(3x+3-⑼一(3工+2)|二,〃一1|.
22«+121、-l2a+\2-13“,口/门31„,“•口一小a+----^2J——-=当且仅当时,等号成立.
2。
+122«+12V22a+\222I2351
VxgR,/(x+l)"+y^等价于|/〃一1|25,解得机25或一5,乙乙aI-।4/J
故实数,”的取值范围是(—,一;U3收).
12./。
)=,一1|+
的最小值为机.
2
(1)求,〃的值;
(2)正实数a,b,c满足a+b+c="?
求而+/?
c+ca的最大值.
——x,x<-22
1?
1x+2,-2=;.
N乙乙3,
—x,x>12
30
⑵由
(1)知:
a+b+c=—,filf(^+^+^)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=—,而ah+be+ca3ab+34c+3bc,313
Aab+bc+ca<-,当且仅当a=〃=。
=彳时取等号,所以(他+Z?
c+ca)心=:
.
424.函数/(x)=|21+4|-卜一1|.
(I)求不等式〃6>0的解集;
(2)假设使〃玉)-,%+4=0,求实数。
的取值范围.
(1)当工<一2时,由/(司>0,得一2工一4+工一1>0,解得XV-5,当-2?
x1时,由/(x)>0,得2x+4+x-l>0,解得一ivxvl,
当。
之1时,由〃力>0,得2x+4—x+l>0,解得xNl,综上,不等式/(力>0的解集为(yo,-5)U(T+oo)
(2)%eR,使/1)一g)+4=0,那么函数),=/(%)的图象与直线),=at-4有公共点,因为直线丁=”-4恒过点P(0,-4),—x—5,x<一2
令/(“=•31+3,-2"<1图象的最低点为4-2,-3),那么x+5,x>1
直线抬的斜率为3,=:
/(;)二一:
由图象可知,当aK-g或时,函数y=/(x)的图象与直线y=ar-4有公共点,
13.函数/(x)=|x|-|x+l|+l的最小值为M,最大值为N.
⑴求M,N的值;⑵假设a+Z?
+c=M,a2+b2+c2=N>求。
的最大值.
⑴因为llxlTx+l||”lx—1+1)1=1,所以一啜jx|—|x+l|1,所以。
期’")2,即M=0,N=2.
(2)由
(1)可知a+/?
+c=O,a2+b2+c2=2,那么Z?
+c=-a,b2+c2=2-a2,
因为亨
〃+cY
所以2-/(~a\,
2J
2k2)
解得一手融
273
3
即。
的最大值为空.3
15.函数/(工)=2,―1|+卜+1|.
⑴求不等式的解集;
(2)假设。
>0,b>0,且〃+力=/
(1),求证:
+4b+i<2-J1.
—3x+l,x4—1
(l)h^//(^)=2|x-l|+|x+l|=--x+3,-l1
由f(x)W5,得<
由f(x)W5,得<
1IrnV
-3x+1<5
-1—x+3K5
或,
3x-l<5
4解得一§W-l或-1vxvl或1WxW2,-4'
所以不等式的解集为-于2.J⑵要证"TR+历Tv2应,印证(而1+历7)24(2血)2,即证〃+。
+2+24+1・办+148,因为a+b=f(l)=2,
故只需证J(a+l)S+l)W2.由基本不等式可知,府用百万空业=2,当且仅当。
=〃=1时等号成立.故命题得证.
16.己知正数小Ac,"满足/+/+
+/=1,证明:
(I)0<<—;2
1144
(2)7+F+7V-36-
(1)因为/+。
222加,b2+d2>2bd,所以〃2+〃+/+/N2ac+2/%/,当且仅当a=h=c="=;时,等号成立,
又正数m匕,c,4满足/+6+。
2+/=1,所以0<"+"《今
(2)因为正数a,〃,。
,4满足/+6+。
2+/=],
所以由柯西不等式,可得」T+jr+2B+4r=(42+/r!
+c2+4:
!
)(-!
y+g+=+jra~b~c~d~\\crb~C"-
17.函数/*)=|2x—4|—|x-3|.
⑴求不等式/*)>7的解集;321⑵设函数f(x)的最小值为M.假设正实数小b,。
满足。
+»+3c-5=M,求二+二+-的abc
最小值.
x-l,x>3,
3\-7,2瓢3,
-x+l,x<2,
(2x-4)-(x-3),x>3,⑴"x)=.(2x—4)+(%—3),2麴k3,=’-(2x-4)+(x-3),x<2
x>3,2效Jr3,x<2,
即x>8或。
或x<-6,
即x>8或。
或x<-6,
那么/5)〉7的解集为।;或,,,或《I?
,x-1>7[3x-7>7(-x+l>7,
综上所述,/3)>7的解集为{x[x>8或4<-6}.
(2)解法一:
由(I)可知当x=2时,/(幻的最小值M=-l,那么勖+3c=4,由柯西不等式得,(〃+2b+3c)f+£+:
)..向?
+扬+辰#=(x/3+2+a/3)2=16+8>/3,
当〃=回=3。
时取等号,故3+1+2•的最小值为abc
4+26.
解法二:
由
(1)可知当木=2时,八幻的最小值〃=_],那么3型=L+如3c)代+2+牛牛0+偿+网〕+但+小佟+训..4+2石abc4\cibc)4|_(ab)\ac)\bc)_
当a=血?
=3c,时取等号,即所求最小值为4+2\/5.
18.函数/(x)=|2k+2|-|x-1|.
(I)求不等式/(x"5的解集:
⑵假设/(x)W2k-4恒成立,求实数。
的取值范围.
-X—3,x«-1⑴由题意知,/(x)=^3x+l,-l5,得xW-8;
x+3,x>2当一lvx5,无解;当x>l时,x+3>5,得了之2;
综上,不等式/(x”5的解集为(yo,-8]U[2,s);一x—3一1W—1
⑵由
(1)得/(%)=•3x+l,-l2
作出y=/(X)和y=2|x-4的图象,其中y=2k一H的图象是由y=2凶的图象平移得到
当a=-3时,两图象交于点(-3,0);当a=T时,两图象交于点(1,4);
当-3vav-1时,y=2\x-a\^j图象恒在y=f(力图象的上方;所以。
的取值范围是[-3,-1].
19.函数/(x)=|2x-4|+|x+3]的最小值为m.
⑴求小的值;
(2)求证:
当yw(O,D时,匕上+「一之〃?
.
⑴/(x)=|2x-4|+|x+:
M=U—2|+|x+3|+|x—2Mx+3|+|x-2|>|(a-4-3)-(x-2)|=5,当且仅当x=2时,等号成立,
所以〃幻有最小值5,即〃?
=5.
⑵证明:
・・・”(0,1),
1+y1,II、「Z1xn,o1-yy
―^+--=(-+--心+(1-刈+1=3+—+
>,—yi-yyi-y23+2」g4=5,当且仅当上2=户,即),=2时取等号,
Vyi-yy-y2即当ye((),l)时,+;2"?
.
y1-y3
20.〃:
|x-a|>5,<7:
2x+9x-18<0.
(1)假设-P是F的充分不必要条件,求。
的取值范围;⑵假设a=l,且。
假q真,求上的取值范围.
⑴解:
由可得或,解得工<〃-5或Qa+5,--33
所以»->P:
。
―+33
解不等式2/+9”一18<0,解得一6Vx<7,所以,或不之大,22
333因为f是F的充分不必要条件,那么卜。
一弓工工工4+枭{x\x<-6^x>-
33315所以,〃+乏-6或4-旌=,解得心-?
或〃之3.
2222
(2)解:
当a=l时,假设〃假,那么一;乙乙
\5——2213因为〃假q真,那么;,可得
-6