湖北省黄冈市中考数学试卷含答案解析.doc
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2016年湖北省黄冈市中考数学试卷
一、选择题：
本题共6小题，每小题3分，共18分．每小题给出的4个选项中，有且只有一个答案是正确的．
1．（3分）﹣2的相反数是（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．
2．（3分）下列运算结果正确的是（ ）
A．a2+a3=a5 B．a2•a3=a6 C．a3÷a2=a D．（a2）3=a5
3．（3分）如图，直线a∥b，∠1=55°，则∠2=（ ）
A．35° B．45° C．55° D．65°
4．（3分）若方程3x2﹣4x﹣4=0的两个实数根分别为x1，x2，则x1+x2=（ ）
A．﹣4 B．3 C． D．
5．（3分）如图，是由四个大小相同的小正方体拼成的几何体，则这个几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）在函数y=中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞0 B．x≥﹣4 C．x≥﹣4且x≠0 D．x＞0且x≠﹣1
二、填空题：
每小题3分，共24分．
7．（3分）的算术平方根是 ．
8．（3分）分解因式：
4ax2﹣ay2= ．
9．（3分）计算：
|1﹣|﹣= ．
10．（3分）计算（a﹣）÷的结果是 ．
11．（3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB=70°，AB=AC，则∠ABC= ．
12．（3分）需要对一批排球的质量是否符合标准进行检测，其中质量超过标准的克数记为正数，不足标准的克数记为负数，现抽取8个排球，通过检测所得数据如下（单位：
克）：
+1，﹣2，+1，0，+2，﹣3，0，+1，则这组数据的方差是 ．
13．（3分）如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边CD、BC上，且DC=3DE=3a．将矩形沿直线EF折叠，使点C恰好落在AD边上的点P处，则FP= ．
14．（3分）如图，已知△ABC、△DCE、△FEG、△HGI是4个全等的等腰三角形，底边BC、CE、EG、GI在同一直线上，且AB=2，BC=1，连接AI，交FG于点Q，则QI= ．
三、解答题：
共78分．
15．（5分）解不等式≥3（x﹣1）﹣4．．
16．（6分）在红城中学举行的“我爱祖国”征文活动中，七年级和八年级共收到征文118篇，且七年级收到的征文篇数是八年级收到的征文篇数的一半还少2篇，求七年级收到的征文有多少篇？
17．（7分）如图，在▱ABCD中，E、F分别为边AD、BC的中点，对角线AC分别交BE，DF于点G、H．求证：
AG=CH．
18．（6分）小明、小林是三河中学九年级的同班同学，在四月份举行的自主招生考试中，他俩都被同一所高中提前录取，并将被编入A、B、C三个班，他俩希望能再次成为同班同学．
（1）请你用画树状图法或列举法，列出所有可能的结果；
（2）求两人再次成为同班同学的概率．
19．（8分）如图，AB是半圆O的直径，点P是BA延长线上一点，PC是⊙O的切线，切点为C，过点B作BD⊥PC交PC的延长线于点D，连接BC．求证：
（1）∠PBC=∠CBD；
（2）BC2=AB•BD．
20．（6分）望江中学为了了解学生平均每天“诵读经典”的时间，在全校范围内随机抽查了部分学生进行调查统计，并将调查统计的结果分为：
每天诵读时间t≤20分钟的学生记为A类，20分钟＜t≤40分钟的学生记为B类，40分钟＜t≤60分钟的学生记为C类，t＞60分钟的学生记为D类四种．将收集的数据绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）m= %，n= %，这次共抽查了 名学生进行调查统计；
（2）请补全上面的条形图；
（3）如果该校共有1200名学生，请你估计该校C类学生约有多少人？
21．（8分）如图，已知点A（1，a）是反比例函数y=﹣的图象上一点，直线y=﹣与反比例函数y=﹣的图象在第四象限的交点为点B．
（1）求直线AB的解析式；
（2）动点P（x，0）在x轴的正半轴上运动，当线段PA与线段PB之差达到最大时，求点P的坐标．
22．（8分）“一号龙卷风”给小岛O造成了较大的破坏，救灾部门迅速组织力量，从仓储D处调集救援物资，计划先用汽车运到与D在同一直线上的C、B、A三个码头中的一处，再用货船运到小岛O．已知：
OA⊥AD，∠ODA=15°，∠OCA=30°，∠OBA=45°，CD=20km．若汽车行驶的速度为50km/时，货船航行的速度为25km/时，问这批物资在哪个码头装船，最早运抵小岛O？
（在物资搬运能力上每个码头工作效率相同，参考数据：
≈1.4，≈1.7）．
23．（10分）东坡商贸公司购进某种水果的成本为20元/kg，经过市场调研发现，这种水果在未来48天的销售单价p（元/kg）与时间t（天）之间的函数关系式为p=，且其日销售量y（kg）与时间t（天）的关系如表：
时间t（天）
1
3
6
10
20
40
…
日销售量y（kg）
118
114
108
100
80
40
…
（1）已知y与t之间的变化规律符合一次函数关系，试求在第30天的日销售量是多少？
（2）问哪一天的销售利润最大？
最大日销售利润为多少？
（3）在实际销售的前24天中，公司决定每销售1kg水果就捐赠n元利润（n＜9）给“精准扶贫”对象．现发现：
在前24天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求n的取值范围．
24．（14分）如图，抛物线y=﹣与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q．
（1）求点A、点B、点C的坐标；
（2）求直线BD的解析式；
（3）当点P在线段OB上运动时，直线l交BD于点M，试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形；
（4）在点P的运动过程中，是否存在点Q，使△BDQ是以BD为直角边的直角三角形？
若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
2016年湖北省黄冈市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：
本题共6小题，每小题3分，共18分．每小题给出的4个选项中，有且只有一个答案是正确的．
1．（3分）﹣2的相反数是（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．
【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号，求解即可．
【解答】解：
﹣2的相反数是：
﹣（﹣2）=2，
故选A
【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号：
一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．不要把相反数的意义与倒数的意义混淆．
2．（3分）下列运算结果正确的是（ ）
A．a2+a3=a5 B．a2•a3=a6 C．a3÷a2=a D．（a2）3=a5
【分析】根据合并同类项法则，同底数幂相乘，底数不变指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减；幂的乘方，底数不变指数相乘对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：
A、a2与a3是加，不是乘，不能运算，故本选项错误；
B、a2•a3=a2+3=a5，故本选项错误；
C、a3÷a2=a3﹣2=a，故本选项正确；
D、（a2）3=a2×3=a6，故本选项错误．
故选C．
【点评】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
3．（3分）如图，直线a∥b，∠1=55°，则∠2=（ ）
A．35° B．45° C．55° D．65°
【分析】根据两直线平行，同位角相等可得∠1=∠3，再根据对顶角相等可得∠2的度数．
【解答】解：
∵a∥b，
∴∠1=∠3，
∵∠1=55°，
∴∠3=55°，
又∵∠2=∠3，
∴∠2=55°，
故选：
C．
【点评】此题主要考查了平行线的性质，关键是掌握：
两直线平行，同位角相等．
4．（3分）若方程3x2﹣4x﹣4=0的两个实数根分别为x1，x2，则x1+x2=（ ）
A．﹣4 B．3 C． D．
【分析】由方程的各系数结合根与系数的关系可得出“x1+x2=”，由此即可得出结论．
【解答】解：
∵方程3x2﹣4x﹣4=0的两个实数根分别为x1，x2，
∴x1+x2=﹣=
故选D．
【点评】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是找出“x1+x2=﹣=”．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系找出两根之和与两根之积是关键．
5．（3分）如图，是由四个大小相同的小正方体拼成的几何体，则这个几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【解答】解：
从左边看第一层是两个小正方形，第二层左边一个小正方形，
故选：
B．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．
6．（3分）在函数y=中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞0 B．x≥﹣4 C．x≥﹣4且x≠0 D．x＞0且x≠﹣1
【分析】根据分母不能为零，被开方数是非负数，可得答案．
【解答】解：
由题意，得
x+4≥0且x≠0，
解得x≥﹣4且x≠0，
故选：
C．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，利用分母不能为零，被开方数是非负数得出不等式是解题关键．
二、填空题：
每小题3分，共24分．
7．（3分）的算术平方根是 ．
【分析】算术平方根的定义：
一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根，由此即可求出结果．
【解答】解：
∵的平方为，
∴的算术平方根为．
故答案为．
【点评】此题主要考查了算术平方根的定义，算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误．
8．（3分）分解因式：
4ax2﹣ay2= a（2x+y）（2x﹣y） ．
【分析】首先提取公因式a，再利用平方差进行分解即可．
【解答】解：
原式=a（4x2﹣y2）
=a（2x+y）（2x﹣y），
故答案为：
a（2x+y）（2x﹣y）．
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
9．（3分）计算：
|1﹣|﹣= ﹣1﹣ ．
【分析】首先去绝对值以及化简二次根式，进而合并同类二次根式即可．
【解答】解：
|1﹣|﹣
=﹣1﹣2
=﹣1﹣．
故答案为：
﹣1﹣．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简二次根式是解题关键．
10．（3分）计算（a﹣）÷的结果是 a﹣b ．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．
【解答】解：
原式=•=•=a﹣b，
故答案为：
a﹣b
【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
11．（3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB=70°，AB=AC，则∠ABC= 35° ．
【分析】先根据圆周角定理求出∠C的度数，再由等腰三角形的性质即可得出结论．
【解答】解：
∵∠AOB=70°，
∴∠C=∠AOB=35°．
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=35°．
故答案为：
35°．
【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．
12．（3分）需要对一批排球的质量是否符合标准进行检测，其中质量超过标准的克数记为正数，不足标准的克数记为负数，现抽取8个排球，通过检测所得数据如下（单位：
克）：
+1，﹣2，+1，0，+2，﹣3，0，+1，则这组数据的方差是 2.5 ．
【分析】先求出平均数，再利用方差的计算公式解答即可．
【解答】解：
平均数=，
方差==2.5，
故答案为：
2.5
【点评】本题考查了方差公式，解题的关键是牢记公式并能熟练运用，此题比较简单，易于掌握．
13．（3分）如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边CD、BC上，且DC=3DE=3a．将矩形沿直线EF折叠，使点C恰好落在AD边上的点P处，则FP= 2a ．
【分析】作FM⊥AD于M，则MF=DC=3a，由矩形的性质得出∠C=∠D=90°．由折叠的性质得出PE=CE=2a=2DE，∠EPF=∠C=90°，求出∠DPE=30°，得出∠MPF=60°，在Rt△MPF中，由三角函数求出FP即可．
【解答】解：
作FM⊥AD于M，如图所示：
则MF=DC=3a，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=∠D=90°．
∵DC=3DE=3a，
∴CE=2a，
由折叠的性质得：
PE=CE=2a=2DE，∠EPF=∠C=90°，
∴∠DPE=30°，
∴∠MPF=180°﹣90°﹣30°=60°，
在Rt△MPF中，∵sin∠MPF=，
∴FP===2a；
故答案为：
2a．
【点评】本题考查了折叠的性质、矩形的性质、三角函数等知识；熟练掌握折叠和矩形的性质，求出∠DPE=30°是解决问题的关键．
14．（3分）如图，已知△ABC、△DCE、△FEG、△HGI是4个全等的等腰三角形，底边BC、CE、EG、GI在同一直线上，且AB=2，BC=1，连接AI，交FG于点Q，则QI= ．
【分析】由题意得出BC=1，BI=4，则=，再由∠ABI=∠ABC，得△ABI∽△CBA，根据相似三角形的性质得=，求出AI，根据全等三角形性质得到∠ACB=∠FGE，于是得到AC∥FG，得到比例式==，即可得到结果．
【解答】解：
∵△ABC、△DCE、△FEG是三个全等的等腰三角形，
∴HI=AB=2，GI=BC=1，BI=4BC=4，
∴==，=，
∴=，
∵∠ABI=∠ABC，
∴△ABI∽△CBA；
∴=，
∵AB=AC，
∴AI=BI=4；
∵∠ACB=∠FGE，
∴AC∥FG，
∴==，
∴QI=AI=．
故答案为：
．
【点评】本题主要考查了平行线分线段定理，以及三角形相似的判定，正确理解AB∥CD∥EF，AC∥DE∥FG是解题的关键．
三、解答题：
共78分．
15．（5分）解不等式≥3（x﹣1）﹣4．．
【分析】根据解一元一次不等式的步骤，先去分母，再去括号，移项合并，系数化为1即可．
【解答】解：
去分母得，x+1≥6（x﹣1）﹣8，
去括号得，x+1≥6x﹣6﹣8，
移项得，x﹣6x≥﹣6﹣8﹣1，
合并同类项得，﹣5x≥﹣15．
系数化为1，得x≤3．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式，解一元一次不等式的基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：
①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1．
16．（6分）在红城中学举行的“我爱祖国”征文活动中，七年级和八年级共收到征文118篇，且七年级收到的征文篇数是八年级收到的征文篇数的一半还少2篇，求七年级收到的征文有多少篇？
【分析】设七年级收到的征文有x篇，则八年级收到的征文有（118﹣x）篇．结合七年级收到的征文篇数是八年级收到的征文篇数的一半还少2篇，即可列出关于x的一元一次方程，解方程即可得出结论．
【解答】解：
设七年级收到的征文有x篇，则八年级收到的征文有（118﹣x）篇，
依题意得：
（x+2）×2=118﹣x，
解得：
x=38．
答：
七年级收到的征文有38篇．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是列出方程（x+2）×2=118﹣x．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出方程（或方程组）是关键．
17．（7分）如图，在▱ABCD中，E、F分别为边AD、BC的中点，对角线AC分别交BE，DF于点G、H．求证：
AG=CH．
【分析】根据平行四边形的性质得到AD∥BC，得出∠ADF=∠CFH，∠EAG=∠FCH，证出四边形BFDE是平行四边形，得出BE∥DF，证出∠AEG=∠CFH，由ASA证明△AEG≌△CFH，得出对应边相等即可．
【解答】证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADF=∠CFH，∠EAG=∠FCH，
∵E、F分别为AD、BC边的中点，
∴AE=DE=AD，CF=BF=BC，
∴DE∥BF，DE=BF，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∴BE∥DF，
∴∠AEG=∠ADF，
∴∠AEG=∠CFH，
在△AEG和△CFH中，，
∴△AEG≌△CFH（ASA），
∴AG=CH．
【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
18．（6分）小明、小林是三河中学九年级的同班同学，在四月份举行的自主招生考试中，他俩都被同一所高中提前录取，并将被编入A、B、C三个班，他俩希望能再次成为同班同学．
（1）请你用画树状图法或列举法，列出所有可能的结果；
（2）求两人再次成为同班同学的概率．
【分析】
（1）画树状图法或列举法，即可得到所有可能的结果；
（2）由
（1）可知两人再次成为同班同学的概率．
【解答】解：
（1）画树状图如下：
由树形图可知所以可能的结果为AA，AB，AC，BA，BB，BC，CA，CB，CC；
（2）由
（1）可知两人再次成为同班同学的概率==．
【点评】本题涉及列表法和树状图法以及相关概率知识，用到的知识点为：
概率=所求情况数与总情况数之比．
19．（8分）如图，AB是半圆O的直径，点P是BA延长线上一点，PC是⊙O的切线，切点为C，过点B作BD⊥PC交PC的延长线于点D，连接BC．求证：
（1）∠PBC=∠CBD；
（2）BC2=AB•BD．
【分析】
（1）连接OC，由PC为圆O的切线，利用切线的性质得到OC垂直于PC，再由BD垂直于PD，得到一对直角相等，利用同位角相等两直线平行得到OC与BD平行，进而得到一对内错角相等，再由OB=OC，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换即可得证；
（2）连接AC，由AB为圆O的直径，利用圆周角定理得到∠ACB为直角，利用两对角相等的三角形相似得到三角形ABC与三角形CBD相似，利用相似三角形对应边成比例，变形即可得证．
【解答】证明：
（1）连接OC，
∵PC与圆O相切，
∴OC⊥PC，即∠OCP=90°，
∵BD⊥PD，
∴∠BDP=90°，
∴∠OCP=∠PDB，
∴OC∥BD，
∴∠BCO=∠CBD，
∵OB=OC，
∴∠PBC=∠BCO，
∴∠PBC=∠CBD；
（2）连接AC，
∵AB为圆O的直径，∴∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠CDB=90°，
∵∠ABC=∠CBD，
∴△ABC∽△CBD，
∴=，
则BC2=AB•BD．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，以及切线的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．
20．（6分）望江中学为了了解学生平均每天“诵读经典”的时间，在全校范围内随机抽查了部分学生进行调查统计，并将调查统计的结果分为：
每天诵读时间t≤20分钟的学生记为A类，20分钟＜t≤40分钟的学生记为B类，40分钟＜t≤60分钟的学生记为C类，t＞60分钟的学生记为D类四种．将收集的数据绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）m= 26 %，n= 14 %，这次共抽查了 50 名学生进行调查统计；
（2）请补全上面的条形图；
（3）如果该校共有1200名学生，请你估计该校C类学生约有多少人？
【分析】
（1）根据条形统计图和扇形统计图可以求得调查的学生数和m、n的值；
（2）根据
（1）和扇形统计图可以求得C类学生数，从而可以将条形统计图补充完整；
（3）根据扇形统计图可以求得该校C类学生的人数．
【解答】解：
（1）由题意可得，
这次调查的学生有：
20÷40%=50（人），
m=13÷50×100%=26%，n=7÷50×100%=14%，
故答案为：
26，14，50；
（2）由题意可得，
C类的学生数为：
50×20%=10，
补全的条形统计图，如右图所示，
（3）1200×20%=240（人），
即该校C类学生约有240人．
【点评】本题考查条形统计图、用样本估计总体、扇形统计图，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
21．（8分）如图，已知点A（1，a）是反比例函数y=﹣的图象上一点，直线y=﹣与反比例函数y=﹣的图象在第四象限的交点为点B．
（1）求直线AB的解析式；
（2）动点P（x，0）在x轴的正半轴上运动，当线段PA与线段PB之差达到最大时，求点P的坐标．
【分析】
（1）先把A（1，a）代入反比例函数解析式求出a得到A点坐标，再解方程组得B点坐标，然后利用待定系数法求AB的解析式；
（2）直线AB交x轴于点Q，如图，利用x轴上点的坐标特征得到Q点坐标，则PA﹣PB≤AB（当P、A、B共线时取等号），于是可判断当P点运动到Q点时，线段PA与线段PB之差达到最大，从而得到P点坐标．
【解答】解：
（1）把A（1，a）代入y=﹣得a=﹣3，则A（1，﹣3），
解方程组得或，则B（3，﹣1），
设直线AB的解析式为y=kx+b，
把A（1，﹣3），B（3，﹣1）代入得，解得，
所以直线AB的解析式为y=x﹣4；
（2）直线AB交x轴于点Q，如图，
当y=0时，x﹣4=0，解得x=4，则Q（4，0），
因为PA﹣PB≤AB（当P、A、B共线时取等号），
所以当P点运动到Q点时，线段PA与线段PB之差达到最大，此时P点坐标为（4，0）．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点：
反比例函数与一次函数的交点问题
（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．
22．（8分）“一号龙卷风”给小岛O造成了较大的破坏，救灾部门迅速组织力量，从仓储D处调集救援物资，计划先用汽车运到与D在同一直线上的C、B、A三个码头中的一处，再用货船运到小岛O．已知：
OA⊥AD，∠ODA=15°，∠OCA=30°，∠OBA=45°，CD=20km．若汽车行驶的速度为50km/时，货船航行的速度为25km/时，问这批物资在哪个码头装船，最早运抵小岛O？
（在物资搬运能力上每个码头工作效率相同，参考数据：
≈1.4，≈1.7）．
【分析】利用三角形外角性质计算出∠COD=15°，则CO=CD=20，在Rt△OCA中利用含30度的直角三角形三边的关系计算出OA=OC=10，CA=OA≈17，在Rt△OBA中利用等腰直角三角形的性质计算出BA=OA=10，OB=OA≈14，则BC=7，然后根据速度公式分别计算出在三个码头装船，运抵小岛所需的时间，再比较时间的大小进行判断．
【解答】解：
∵∠OCA=∠D+∠COD，
∴∠COD=30°﹣15°=15°，
∴CO=CD=20，
在Rt△OCA中，∵∠OCA=30°，
∴OA=OC=10，CA=OA=10≈17，
在Rt△OBA中，∵∠OBA=45°，
∴BA=OA=10，OB=OA≈14，
∴BC=17﹣10=7，
当这批物资在C码头装船，运抵小岛O时，所用时间=+=1.2（小时）；
当这批物资在B码头装船，运抵小岛O时，所用时间=+=1.1（小时）；
当这批物资在A码头装船，运抵小岛O时，所用时间=+=1.14（小时）；
所以这批物资在B码头装船，最早运抵小岛O．
【点评】本题考查了解直角三角形：
将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角
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