湖北省黄冈市中考数学试卷及解析.doc
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2014年湖北省黄冈市中考数学试卷
一、选择题（下列个题四个选项中，有且仅有一个是正确的．每小题3分，共24分）
1．（3分）（2014•黄冈）﹣8的立方根是（ ）
A．
﹣2
B．
±2
C．
2
D．
﹣
2．（3分）（2014•黄冈）如果α与β互为余角，则（ ）
A．
α+β=180°
B．
α﹣β=180°
C．
α﹣β=90°
D．
α+β=90°
3．（3分）（2014•黄冈）下列运算正确的是（ ）
A．
x2•x3=x6
B．
x6÷x5=x
C．
（﹣x2）4=x6
D．
x2+x3=x5
4．（3分）（2014•黄冈）如图所示的几何体的主视图是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（3分）（2014•黄冈）函数y=中，自变量x的取值范围是（ ）
A．
x≠0
B．
x≥2
C．
x＞2且x≠0
D．
x≥2且x≠0
6．（3分）（2014•黄冈）若α、β是一元二次方程x2+2x﹣6=0的两根，则α2+β2=（ ）
A．
﹣8
B．
32
C．
16
D．
40
7．（3分）（2014•黄冈）如图，圆锥体的高h=2cm，底面半径r=2cm，则圆锥体的全面积为（ ）cm2．
A．
4π
B．
8π
C．
12π
D．
（4+4）π
8．（3分）（2014•黄冈）已知：
在△ABC中，BC=10，BC边上的高h=5，点E在边AB上，过点E作EF∥BC，交AC边于点F．点D为BC上一点，连接DE、DF．设点E到BC的距离为x，则△DEF的面积S关于x的函数图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题（共7小题，每小题3分，共21分）
9．（3分）（2014•黄冈）计算：
|﹣|= ．
10．（3分）（2014•黄冈）分解因式：
（2a+1）2﹣a2= ．
11．（3分）（2014•黄冈）计算：
﹣= ．
12．（3分）（2014•黄冈）如图，若AD∥BE，且∠ACB=90°，∠CBE=30°，则∠CAD= 度．
13．（3分）（2014•黄冈）当x=﹣1时，代数式÷+x的值是 ．
14．（3分）（2014•黄冈）如图，在⊙O中，弦CD垂直于直径AB于点E，若∠BAD=30°，且BE=2，则CD= ．
15．（3分）（2014•黄冈）如图，在一张长为8cm，宽为6cm的矩形纸片上，现要剪下一个腰长为5cm的等腰三角形（要求：
等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余的两个顶点在矩形的边上）．则剪下的等腰三角形的面积为 cm2．
三、解答题（本大题共10小题，满分共75分）
16．（5分）（2014•黄冈）解不等式组：
，并在数轴上表示出不等式组的解集．
17．（6分）（2014•黄冈）浠州县为了改善全县中、小学办学条件，计划集中采购一批电子白板和投影机．已知购买2块电子白板比购买3台投影机多4000元，购买4块电子白板和3台投影机共需44000元．问购买一块电子白板和一台投影机各需要多少元？
18．（6分）（2014•黄冈）已知，如图，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：
DE=DF．
19．（6分）（2014•黄冈）红花中学现要从甲、乙两位男生和丙、丁两位女生中，选派两位同学分别作为①号选手和②号选手代表学校参加全县汉字听写大赛．
（1）请用树状图或列表法列举出各种可能选派的结果；
（2）求恰好选派一男一女两位同学参赛的概率．
20．（7分）（2014•黄冈）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D的切线，交BC于点E．
（1）求证：
EB=EC；
（2）若以点O、D、E、C为顶点的四边形是正方形，试判断△ABC的形状，并说明理由．
21．（7分）（2014•黄冈）某市为了增强学生体质，全面实施“学生饮用奶”营养工程．某品牌牛奶供应商提供了原味、草莓味、菠萝味、香橙味、核桃味五种口味的牛奶提供学生饮用．浠马中学为了了解学生对不同口味牛奶的喜好，对全校订购牛奶的学生进行了随机调查（每盒各种口味牛奶的体积相同），绘制了如图两张不完整的人数统计图：
（1）本次被调查的学生有 名；
（2）补全上面的条形统计图1，并计算出喜好“菠萝味”牛奶的学生人数在扇形统计图2中所占圆心角的度数；
（3）该校共有1200名学生订购了该品牌的牛奶，牛奶供应商每天只为每名订购牛奶的学生配送一盒牛奶．要使学生每天都喝到自己喜好的口味的牛奶，牛奶供应商每天送往该校的牛奶中，草莓味要比原味多送多少盒？
22．（9分）（2014•黄冈）如图，已知双曲线y=﹣与两直线y=﹣x，y=﹣kx（k＞0，且k≠）分别相交于A、B、C、D四点．
（1）当点C的坐标为（﹣1，1）时，A、B、D三点坐标分别是A（ ， ），B（ ， ），D（ ， ）．
（2）证明：
以点A、D、B、C为顶点的四边形是平行四边形．
（3）当k为何值时，▱ADBC是矩形．
23．（7分）（2014•黄冈）如图，在南北方向的海岸线MN上，有A、B两艘巡逻船，现均收到故障船C的求救信号．已知A、B两船相距100（+1）海里，船C在船A的北偏东60°方向上，船C在船B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得船C正好在观测点D的南偏东75°方向上．
（1）分别求出A与C，A与D之间的距离AC和AD（如果运算结果有根号，请保留根号）．
（2）已知距观测点D处100海里范围内有暗礁．若巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去营救的途中有无触暗礁危险？
（参考数据：
≈1.41，≈1.73）
24．（9分）（2014•黄冈）某地实行医疗保险（以下简称“医保”）制度．医保机构规定：
一：
每位居民年初缴纳医保基金70元；
二：
居民每个人当年治病所花的医疗费（以定点医院的治疗发票为准），年底按下列方式（见表一）报销所治病的医疗费用：
居民个人当年治病所花费的医疗费
医疗费的报销方法
不超过n元的部分
全部由医保基金承担（即全部报销）
超过n元但不超过6000元的部分
个人承担k%，其余部分由医保基金承担
超过6000元的部分
个人承担20%，其余部分由医保基金承担
如果设一位居民当年治病花费的医疗费为x元，他个人实际承担的医疗费用（包括医疗费中个人承担部分和年初缴纳的医保基金）记为y元．
（1）当0≤x≤n时，y=70；当n＜x≤6000时，y= （用含n、k、x的式子表示）．
（2）表二是该地A、B、C三位居民2013年治病所花费的医疗费和个人实际承担的医疗费用，根据表中的数据，求出n、k的值．
表二：
居民
A
B
C
某次治病所花费的治疗费用x（元）
400
800
1500
个人实际承担的医疗费用y（元）
70
190
470
（3）该地居民周大爷2013年治病所花费的医疗费共32000元，那么这一年他个人实际承担的医疗费用是多少元？
25．（13分）（2014•黄冈）已知：
如图，在四边形OABC中，AB∥OC，BC⊥x轴于点C，A（1，﹣1），B（3，﹣1），动点P从点O出发，沿着x轴正方向以每秒2个单位长度的速度移动．过点P作PQ垂直于直线OA，垂足为点Q，设点P移动的时间t秒（0＜t＜2），△OPQ与四边形OABC重叠部分的面积为S．
（1）求经过O、A、B三点的抛物线的解析式，并确定顶点M的坐标；
（2）用含t的代数式表示点P、点Q的坐标；
（3）如果将△OPQ绕着点P按逆时针方向旋转90°，是否存在t，使得△OPQ的顶点O或顶点Q在抛物线上？
若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；
（4）求出S与t的函数关系式．
2014年湖北省黄冈市中考数学试卷
一、选择题（下列个题四个选项中，有且仅有一个是正确的．每小题3分，共24分）
1．（3分）
考点：
立方根．
分析：
如果一个数x的立方等于a，那么x是a的立方根，根据此定义求解即可．
解答：
解：
∵﹣2的立方等于﹣8，
∴﹣8的立方根等于﹣2．
故选A．
点评：
此题主要考查了立方根的定义，求一个数的立方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．注意一个数的立方根与原数的性质符号相同．
2．（3分）
考点：
余角和补角．
分析：
根据互为余角的定义，可以得到答案．
解答：
解：
如果α与β互为余角，则α+β=900．
故选：
D．
点评：
此题主要考查了互为余角的性质，正确记忆互为余角的定义是解决问题的关键．
3．（3分）
考点：
同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
分析：
根据同底数幂的乘法和除法法则可以解答本题．
解答：
解：
A．x2•x3=x5，答案错误；
B．x6÷x5=x，答案正确；
C．（﹣x2）4=x8，答案错误；
D．x2+x3不能合并，答案错误．
故选：
B．
点评：
主要考查同底数幂相除底数不变指数相减，同底数幂相乘底数不变指数相加，熟记定义是解题的关键．
4．（3分）
考点：
简单组合体的三视图．
分析：
根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
解答：
解：
从正面看，象一个大梯形减去一个小梯形，
故选：
D．
点评：
本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
5．（3分）
考点：
函数自变量的取值范围．
分析：
根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
解答：
解：
由题意得，x﹣2≥0且x≠0，
∴x≥2．
故选B．
点评：
本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
6．（3分）
考点：
根与系数的关系．
专题：
计算题．
分析：
根据根与系数的关系得到α+β=﹣2，αβ=﹣6，再利用完全平方公式得到α2+β2=（α+β）2﹣2αβ，然后利用整体代入的方法计算．
解答：
解：
根据题意得α+β=﹣2，αβ=﹣6，
所以α2+β2=（α+β）2﹣2αβ=（﹣2）2﹣2×（﹣6）=16．
故选C．
点评：
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：
若方程两个为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．
7．（3分）
考点：
圆锥的计算．
分析：
表面积=底面积+侧面积=π×底面半径2+底面周长×母线长÷2．
解答：
解：
底面圆的半径为2，则底面周长=4π，
∵底面半径为2cm、高为2m，
∴圆锥的母线长为4cm，
∴侧面面积=×4π×4=8π；
底面积为=4π，
全面积为：
8π+4π=12πcm2．
故选C．
点评：
本题利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解，牢记公式是解答本题的关键．
8．（3分）
考点：
动点问题的函数图象．
分析：
判断出△AEF和△ABC相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出EF，再根据三角形的面积列式表示出S与x的关系式，然后得到大致图象选择即可．
解答：
解：
∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴=，
∴EF=•10=10﹣2x，
∴S=（10﹣2x）•x=﹣x2+5x=﹣（x﹣）2+，
∴S与x的关系式为S=﹣（x﹣）2+（0＜x＜10），
纵观各选项，只有D选项图象符合．
故选D．
点评：
本题考查了动点问题函数图象，主要利用了相似三角形的性质，求出S与x的函数关系式是解题的关键，也是本题的难点．
二、填空题（共7小题，每小题3分，共21分）
9．（3分）
考点：
绝对值．
分析：
根据负数的绝对值等于它的相反数，可得答案案．
解答：
解：
|﹣|=，
故答案为：
．
点评：
本题考查了绝对值，负数的绝对值是它的相反数．
10．（3分）
考点：
因式分解-运用公式法．
分析：
直接利用平方差公式进行分解即可．
解答：
解：
原式=（2a+1+a）（2a+1﹣a）=（3a+1）（a+1），
故答案为：
（3a+1）（a+1）．
点评：
此题主要考查了公式法分解因式，关键是掌握平方差公式：
a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．
11．（3分）
考点：
二次根式的加减法．
分析：
先进行二次根式的化简，然后合并同类二次根式求解．
解答：
解：
原式=2﹣
=．
故答案为：
．
点评：
本题考查了二次根式的加减法，关键是掌握二次根式的化简以及同类二次根式的合并．
12．（3分）
考点：
平行线的性质．
分析：
延长AC交BE于F，根据直角三角形两锐角互余求出∠1，再根据两直线平行，内错角相等可得∠CAD=∠1．
解答：
解：
如图，延长AC交BE于F，
∵∠ACB=90°，∠CBE=30°，
∴∠1=90°﹣30°=60°，
∵AD∥BE，
∴∠CAD=∠1=60°．
故答案为：
60．
点评：
本题考查了平行线的性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟记性质是解题的关键．
13．（3分）
考点：
分式的化简求值．
分析：
将除法转化为乘法，因式分解后约分，然后通分相加即可．
解答：
解：
原式=•+x
=x（x﹣1）+x
=x2﹣x+x
=x2，
当x=﹣1时，原式=（﹣1）2=2+1﹣2=3﹣2．
故答案为3﹣2．
点评：
本题考查了分式的化简求值，熟悉除法法则和因式分解是解题的关键．
14．（3分）
考点：
垂径定理；解直角三角形．
专题：
计算题．
分析：
连结OD，设⊙O的半径为R，先根据圆周角定理得到∠BOD=2∠BAD=60°，再根据垂径定理由CD⊥AB得到DE=CE，在Rt△ODE中，OE=OB﹣BE=R﹣2，利用余弦的定义得cos∠EOD=cos60°=，即=，解得R=4，则OE=2，DE=OE=2，所以CD=2DE=4．
解答：
解：
连结OD，如图，设⊙O的半径为R，
∵∠BAD=30°，
∴∠BOD=2∠BAD=60°，
∵CD⊥AB，
∴DE=CE，
在Rt△ODE中，OE=OB﹣BE=R﹣2，OD=R，
∵cos∠EOD=cos60°=，
∴=，解得R=4，
∴OE=4﹣2=2，
∴DE=OE=2，
∴CD=2DE=4．
故答案为4．
点评：
本题考查了垂径定理：
平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆周角定理和解直角三角形．
15．（3分）
考点：
作图—应用与设计作图．
分析：
因为等腰三角形腰的位置不明确，所以分
（1）腰长在矩形相邻的两边上，
（2）一腰在矩形的宽上，（3）一腰在矩形的长上，三种情况讨论．
（1）△AEF为等腰直角三角形，直接利用面积公式求解即可；
（2）先利用勾股定理求出AE边上的高BF，再代入面积公式求解；（3）先求出AE边上的高DF，再代入面积公式求解．
解答：
解：
分三种情况计算：
（1）当AE=AF=5厘米时，
∴S△AEFAE•AF=×5×5=厘米2，
（2）当AE=EF=5厘米时，如图
BF===2厘米，
∴S△AEF=•AE•BF=×5×2=5厘米2，
（3）当AE=EF=5厘米时，如图
DF===4厘米，
∴S△AEF=AE•DF=×5×4=10厘米2．
故答案为：
，5，10．
点评：
本题主要考查矩形的角是直角的性质和勾股定理的运用，要根据三角形的腰长的不确定分情况讨论．
三、解答题（本大题共10小题，满分共75分）
16．（5分）
考点：
解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．
分析：
先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数轴上即可．
解答：
解：
解①得：
x＞3，
解②得：
x≥1．
，
则不等式组的解集是：
x＞3．
点评：
本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断．还可以观察不等式的解，若x＞较小的数、＜较大的数，那么解集为x介于两数之间．
17．（6分）
考点：
二元一次方程组的应用．
分析：
设购买1块电子白板需要x元，一台投影机需要y元，根据①买2块电子白板的钱﹣买3台投影机的钱=4000元，②购买4块电子白板的费用+3台投影机的费用=44000元，列出方程组，求解即可．
解答：
解：
设购买1块电子白板需要x元，一台投影机需要y元，由题意得：
，
解得：
．
答：
购买一块电子白板需要8000元，一台投影机需要4000元．
点评：
此题主要考查了二元一次方程组的应用，解题关键是弄清题意，找出合适的等量关系，列出方程组．
18．（6分）
考点：
全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．
专题：
证明题．
分析：
连接AD，利用SSS得到三角形ABD与三角形ACD全等，利用全等三角形对应角相等得到∠EAD=∠FAD，即AD为角平分线，再由DE⊥AB，DF⊥AC，利用角平分线定理即可得证．
解答：
证明：
连接AD，
在△ACD和△ABD中，
，
∴△ACD≌△ABD（SSS），
∴∠EAD=∠FAD，即AD平分∠EAF，
∵DE⊥AE，DF⊥AF，
∴DE=DF．
点评：
此题考查了全等三角形的判定与性质，以及角平分线定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
19．（6分）
考点：
列表法与树状图法．
分析：
（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；
（2）由
（1）可求得恰好选派一男一女两位同学参赛的有8种情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．
解答：
解：
（1）画树状图得：
则共有12种等可能的结果；
（2）∵恰好选派一男一女两位同学参赛的有8种情况，
∴恰好选派一男一女两位同学参赛的概率为：
=．
点评：
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：
概率=所求情况数与总情况数之比．
20．（7分）
考点：
切线的性质；正方形的性质．
分析：
（1）连接BD，根据直径所对的圆周角是直角，得到直角三角形ABD和BCD，根据切线的判定定理知BC是圆的切线，结合切线长定理得到BE=DE，再根据等边对等角以及等角的余角相等证明DE=CE；
（2）当以点O、D、E、C为顶点的四边形是正方形时，则△DEB是等腰直角三角形，据此即可判断．
解答：
（1）证明：
连接CD，
∵AC是直径，∠ACD=90°，
∴BC是⊙O的切线，∠BDA=90°．
∵DE是⊙O的切线，
∴DE=BE（切线长定理）．
∴∠EBD=∠EDB．
又∵∠DCE+∠EBD=∠CDE+∠EDB=90°，
∴∠DCE=∠CDE，
∴DE=CE，
又∵DE=BE，
∴DE=BE．
（2）解：
当以点O、D、E、C为顶点的四边形是正方形时，则∠DEB=90°，
又∵DE=BE，
∴△DEB是等腰直角三角形，则∠B=45°，
∴△ABC是等腰直角三角形．
点评：
本题考查了切线的性质以及切线长定理、圆周角定理，解题的关键是连接CD构造直角三角形．
21．（7分）
考点：
条形统计图；扇形统计图．
分析：
（1）喜好“核桃味”牛奶的学生人数除以它所占的百分比即可得本次被调查的学生人数；
（2）用本次被调查的学生的总人数减去喜好原味、草莓味、菠萝味、核桃味的人数得出喜好香橙味的人数，补全条形统计图即可，用喜好“菠萝味”牛奶的学生人数除以总人数再乘以360°，即可得喜好“菠萝味”牛奶的学生人数在扇形统计图2中所占圆心角的度数；
（3）用喜好草莓味的人数占的百分比减去喜好原味的人数占的百分比，再乘以该校的总人数即可．
解答：
解：
（1）10÷5%=200（名）
答：
本次被调查的学生有200名，
故答案为：
200；
（2）200﹣38﹣62﹣50﹣10=40（名），
条形统计图如下：
=90°，
答：
喜好“菠萝味”牛奶的学生人数在扇形统计图2中所占圆心角的度数为90°；
（3）1200×（）=144（盒），
答：
草莓味要比原味多送144盒．
点评：
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
22．（9分）
考点：
反比例函数综合题．
专题：
综合题．
分析：
（1）由C坐标，利用反比例函数的中心对称性确定出D坐标，联立双曲线y=﹣与直线y=﹣x，求出A与B坐标即可；
（2）由反比例函数为中心对称图形，利用中心对称性质得到OA=OB，OC=OD，利用对角线互相平分的四边形为平行四边形即可得证；
（3）由A与B坐标，利用两点间的距离公式求出AB的长，联立双曲线y=﹣与直线y=﹣kx，表示出CD的长，根据对角线相等的平行四边形为矩形，得到AB=CD，即可求出此时k的值．
解答：
解：
（1）∵C（﹣1，1），C，D为双曲线y=﹣与直线y=﹣kx的两个交点，且双曲线y=﹣为中心对称图形，
∴D（1，﹣1），
联立得：
，
消去y得：
﹣x=﹣，即x2=4，
解得：
x=2或x=﹣2，
当x=2时，y=﹣；当x=﹣2时，y=，
∴A（﹣2，），B（2，﹣）；
故答案为：
﹣2，，2，﹣，1，﹣1；
（2）∵双曲线y=﹣为中心对称图形，且双曲线y=﹣与两直线y=﹣x，y=﹣kx（k＞0，且k≠）分别相交于A、B、C、D四点，
∴OA=OB，OC=OD，
则以点A、D、B、C为顶点的四边形是平行四边形；
（3）若▱ADBC是矩形，可得AB=CD，
联立得：
，
消去y得：
﹣=﹣kx，即x2=，
解得：
x=或x=﹣，
当x=时，y=﹣；当x=﹣时，y=，
∴C（﹣，），D（，﹣），
∴CD==AB==，
整理得：
（4k﹣1）（k﹣4）=0，
解得：
k=（不合题意，舍去）或k=4，
则当k=4时，▱ADBC是矩形．
点评：
此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：
坐标与图形性质，一次函数与反比例函数的交点，平行四边形，矩形的判定，两点间的距离公式，以及中心图形性质，熟练掌握性质是解本题的关键．
23．（7分）
考点：
解直角三角形的应用-方向角问题．
分析：
（1）作CE⊥AB，设AE=x海里，则BE=CE=x海里．根据AB=AE+BE=x+x=100（+1），求得x的值后即可求得AC的长；过点D作DF⊥AC于点F，同理求出AD的长；
（2）作DF⊥AC于点F，根据AD的长和∠DAF的度数求线段DF的长后与100比较即可得到答案．
解答：
解：
（1）如图，作CE⊥AB，
由题意得：
∠ABC=45°，∠BAC=60°，
设AE=x海里，
在Rt△AEC中，CE=AE•tan60°=x；
在Rt△BCE中，BE=CE=x．
∴AE+BE=x+x=100（+1），
解得：
x=100．
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