中考数学专题复习之方程与不等式.doc
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第二章方程与不等式
第七讲一次方程（组）
【基础知识】
一、等式的概念及性质：
1、等式：
用“=”连接表示关系的式子叫做等式
2、等式的性质：
①、性质1：
等式两边都加（减）所得结果仍是等式，
即：
若a=b,那么a±c=
②、性质2：
等式两边都乘以或除以（除数不为0）所得结果仍是等式即：
若a=b,那么ac=，若a=b（c≠o）那么=
【名师提醒：
①用等式性质进行等式变形，必须注意“都”，不能漏项
②等式两边都除以一个数或式时必须保证它的值】
二、方程的有关概念：
1、含有未知数的叫做方程
2、使方程左右两边相等的的值，叫做方程的组
3、叫做解方程
4、一个方程两边都是关于未知数的，这样的方程叫做整式方程
三、一元一次方程：
1、定义：
只含有一个未知数，并且未知数的次数都是的方程叫做一元一次方程，一元一次方程一般可以化成的形式。
2、解一元一次方程的一般步骤：
1。
2。
3。
4。
5。
【名师提醒：
1、一元一次方程的解法的各个步骤的依据分别是等式的性质和合并同类法则，要注意灵活准确运用；2、特别提醒：
去分母时应注意不要漏乘项，移项时要注意。
】
四、二元一次方程组及解法：
1、二元一次方程的一般形式：
ax+by+c=0（a.b.c是常数，a≠0,b≠0）；
2、由几个含有相同未知数的合在一起，叫做二元一次方程组；
3、二元一次方程组中两个方程的叫做二元一次方程组的解；
4、解二元一次方程组的基本思路是：
；
5、二元一次方程组的解法：
①消元法②消元法
x=a
【名师提醒：
1、一个二元一次方程的解有组，我们通常在实际应用中要求其正整数解
的形式
y=b
2、二元一次方程组的解应写成
五、列方程（组）解应用题：
一般步骤：
1、审：
弄清题意，分清题目中的已知量和未知量
2、设：
直接或间接设未知数
3、列：
根据题意寻找等量关系列方程（组）
4、解：
解这个方程（组），求出未知数的值
5、验：
检验方程（组）的解是否符合题意
6：
答：
写出答案（包括单位名称）
【名师提醒：
1、列方程（组）解应用题的关键是：
2、几个常用的等量关系：
①路程=×②工作效率=】
【重点考点例析】
考点一：
二元一次方程组的解法
例1（2015•黄冈）解方程组：
．
对应训练
1．（2015•湘西州）解方程组：
．
．
考点二：
一
（二）元一次方程的应用
例2（2015•齐齐哈尔）假期到了，17名女教师去外地培训，住宿时有2人间和3人间可供租住，每个房间都要住满，她们有几种租住方案（ ）
A．5种 B．4种 C．3种 D．2种
例3（2015•张家界）为增强市民的节水意识，某市对居民用水实行“阶梯收费”：
规定每户每月不超过月用水标准部分的水价为1.5元/吨，超过月用水标准量部分的水价为2.5元/吨．该市小明家5月份用水12吨，交水费20元．请问：
该市规定的每户月用水标准量是多少吨？
对应训练
2．（2015•黄石）四川雅安地震期间，为了紧急安置60名地震灾民，需要搭建可容纳6人或4人的帐篷，若所搭建的帐篷恰好（既不多也不少）能容纳这60名灾民，则不同的搭建方案有（ ）
A．1种 B．11种 C．6种 D．9种
2．C
3．（2015•永州）中国现行的个人所得税法自2011年9月1日起施行，其中规定个人所得税纳税办法如下：
一．以个人每月工资收入额减去3500元后的余额作为其每月应纳税所得额；
二．个人所得税纳税税率如下表所示：
纳税级数
个人每月应纳税所得额
纳税税率
1
不超过1500元的部分
3%
2
超过1500元至4500元的部分
10%
3
超过4500元至9000元的部分
20%
4
超过9000元至35000元的部分
25%
5
超过35000元至55000元的部分
30%
6
超过55000元至80000元的部分
35%
7
超过80000元的部分
45%
（1）若甲、乙两人的每月工资收入额分别为4000元和6000元，请分别求出甲、乙两人的每月应缴纳的个人所得税；
（2）若丙每月缴纳的个人所得税为95元，则丙每月的工资收入额应为多少？
考点三：
一元一次方程组的应用
例4（2015•宜宾）2013年4月20日，我省芦山县发生7.0级强烈地震，造成大量的房屋损毁，急需大量帐篷．某企业接到任务，须在规定时间内生产一批帐篷．如果按原来的生产速度，每天生产120顶帐篷，那么在规定时间内只能完成任务的90%．为按时完成任务，该企业所有人员都支援到生产第一线，这样，每天能生产160顶帐篷，刚好提前一天完成任务．问规定时间是多少天？
生产任务是多少顶帐篷？
例5（2015•嘉兴）某镇水库的可用水量为12000立方米，假设年降水量不变，能维持该镇16万人20年的用水量．实施城市化建设，新迁入4万人后，水库只够维持居民15年的用水量．
（1）问：
年降水量为多少万立方米？
每人年平均用水量多少立方米？
（2）政府号召节约用水，希望将水库的保用年限提高到25年，则该镇居民人均每年需节约多少立方米才能实现目标？
．
对应训练
4．（2015•苏州）苏州某旅行社组织甲乙两个旅游团分别到西安、北京旅行，已知这两旅游团共有55人，甲旅游团的人数比乙旅游团的人数的2倍少5人．问甲、乙两个旅游团个有多少人？
5．（2015•长沙）为方便市民出行，减轻城市中心交通压力，长沙市正在修建贯穿星城南北、东西的地铁1、2号线．已知修建地铁1号线24千米和2号线22千米共需投资265亿元；若1号线每千米的平均造价比2号线每千米的平均造价多0.5亿元．
（1）求1号线，2号线每千米的平均造价分别是多少亿元？
（2）除1、2号线外，长沙市政府规划到2018年还要再建91.8千米的地铁线网．据预算，这91.8千米地铁线网每千米的平均造价是1号线每千米的平均造价的1.2倍，则还需投资多少亿元？
2016中考名题赏析
1．（2016•济宁）已知x﹣2y=3，那么代数式3﹣2x+4y的值是（ ）
A．﹣3B．0C．6D．9
2．（2016•安徽）2014年我省财政收入比2013年增长8.9%，2015年比2014年增长9.5%，若2013年和2015年我省财政收入分别为a亿元和b亿元，则a、b之间满足的关系式为（ ）
A．b=a（1+8.9%+9.5%）B．b=a（1+8.9%×9.5%）
C．b=a（1+8.9%）（1+9.5%）D．b=a（1+8.9%）2（1+9.5%）
3．（2016•菏泽）当1＜a＜2时，代数式|a﹣2|+|1﹣a|的值是（ ）
A．﹣1B．1C．3D．﹣3
4．（2016•威海）若x2﹣3y﹣5=0，则6y﹣2x2﹣6的值为（ ）
A．4B．﹣4C．16D．﹣16
5．（2016•重庆）若m=﹣2，则代数式m2﹣2m﹣1的值是（ ）
A．9B．7C．﹣1D．﹣9
6．（2016•雅安）已知a2+3a=1，则代数式2a2+6a﹣1的值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
7．（2016•淮安）已知a﹣b=2，则代数式2a﹣2b﹣3的值是（ ）
A．1B．2C．5D．7
8．（2016•重庆）若a=2，b=﹣1，则a+2b+3的值为（ ）
A．﹣1B．3C．6D．5
9．（2016•海南）若代数式x+2的值为1，则x等于（ ）
A．1B．﹣1C．3D．﹣3
10．（2016•大连）方程2x+3=7的解是（ ）
A．x=5B．x=4C．x=3.5D．x=2
11．（2016•株洲）在解方程时，方程两边同时乘以6，去分母后，正确的是（ ）
A．2x﹣1+6x=3（3x+1）B．2（x﹣1）+6x=3（3x+1）
C．2（x﹣1）+x=3（3x+1）D．（x﹣1）+x=3（x+1）
12．（2016•杭州）已知甲煤场有煤518吨，乙煤场有煤106吨，为了使甲煤场存煤是乙煤场的2倍，需要从甲煤场运煤到乙煤场，设从甲煤场运煤x吨到乙煤场，则可列方程为（ ）
A．518=2（106+x）B．518﹣x=2×106
C．518﹣x=2（106+x）D．518+x=2（106﹣x）
13．（2016•南宁）超市店庆促销，某种书包原价每个x元，第一次降价打“八折”，第二次降价每个又减10元，经两次降价后售价为90元，则得到方程（ ）
A．0.8x﹣10=90B．0.08x﹣10=90C．90﹣0.8x=10D．x﹣0.8x﹣10=90
14．（2016•绥化）一个长方形的周长为30cm，若这个长方形的长减少1cm，宽增加2cm就可成为一个正方形，设长方形的长为xcm，可列方程为（ ）
A．x+1=（30﹣x）﹣2B．x+1=（15﹣x）﹣2
C．x﹣1=（30﹣x）+2D．x﹣1=（15﹣x）+2
15．（2016•荆州）互联网“微商”经营已成为大众创业新途径，某微信平台上一件商品标价为200元，按标价的五折销售，仍可获利20元，则这件商品的进价为（ ）
A．120元B．100元C．80元D．60元
16．（2016•哈尔滨）某车间有26名工人，每人每天可以生产800个螺钉或1000个螺母，1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套．设安排x名工人生产螺钉，则下面所列方程正确的是（ ）
A．2×1000（26﹣x）=800xB．1000（13﹣x）=800x
C．1000（26﹣x）=2×800xD．1000（26﹣x）=800x
【备考真题】
一、选择题
1．（2016•宜宾）宜宾市某化工厂，现有A种原料52千克，B种原料64千克，现用这些原料生产甲、乙两种产品共20件．已知生产1件甲种产品需要A种原料3千克，B种原料2千克；生产1件乙种产品需要A种原料2千克，B种原料4千克，则生产方案的种数为（ ）
A．4B．5C．6D．7
2．（2016•常德）某气象台发现：
在某段时间里，如果早晨下雨，那么晚上是晴天；如果晚上下雨，那么早晨是晴天，已知这段时间有9天下了雨，并且有6天晚上是晴天，7天早晨是晴天，则这一段时间有（ ）
A．9天B．11天C．13天D．22天
3．（2016•茂名）我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：
求100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？
若设大马有x匹，小马有y匹，那么可列方程组为（ ）
A．B．C．D．
4．（2016•临沂）为了绿化校园，30名学生共种78棵树苗．其中男生每人种3棵，女生每人种2棵，该班男生有x人，女生有y人．根据题意，所列方程组正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．（2016•温州）已知甲、乙两数的和是7，甲数是乙数的2倍．设甲数为x，乙数为y，根据题意，列方程组正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．（2016•台湾）若二元一次联立方程式的解为x=a，y=b，则a+b之值为何？
（ ）
A．B．C．7D．13
7．（2016•台湾）x=﹣3，y=1为下列哪一个二元一次方程式的解？
（ ）
A．x+2y=﹣1B．x﹣2y=1C．2x+3y=6D．2x﹣3y=﹣6
8．（2016•贵州）已知关于x，y的方程x2m﹣n﹣2+4ym+n+1=6是二元一次方程，则m，n的值为（ ）
A．m=1，n=﹣1B．m=﹣1，n=1C．D．
二、填空题
10．（2015•泉州）方程x+1=0的解是x=-1
．
11．（2015•安顺）4xa+2b-5-2y3a-b-3=8是二元一次方程，那么a-b=0
．
12．（2015•鞍山）若方程组，则3（x+y）-（3x-5y）的值是24
．
13．（2015•江西）某单位组织34人分别到井冈山和瑞金进行革命传统教育，到井冈山的人数是到瑞金的人数的2倍多1人，求到两地的人数各是多少？
设到井冈山的人数为x人，到瑞金的人数为y人，请列出满足题意的方程组．
14．（2015•深圳）某商场将一款空调按标价的八折出售，仍可获利10%，若该空调的进价为2000元，则标价2750
元．
15．（2015•绥化）某班组织20名同学去春游，同时租用两种型号的车辆，一种车每辆有8个座位，另一种车每辆有4个座位．要求租用的车辆不留空座，也不能超载．有2
种租车方案．
16．（2015•鞍山）如图，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根露出水面的长度是它的，另一根露出水面的长度是它的．两根铁棒长度之和为220cm，此时木桶中水的深度是80
cm．
三、解答题
17．（2015•邵阳）解方程组：
．
18．（2015•扬州）已知关于x、y的方程组的解满足x＞0，y＞0，求实数a的取值范围．
19．（2015•曲靖）某种仪器由1种A部件和1个B部件配套构成．每个工人每天可以加工A部件1000个或者加工B部件600个，现有工人16名，应怎样安排人力，才能使每天生产的A部件和B部件配套？
20．（2015•凉山州）根据图中给出的信息，解答下列问题：
（1）放入一个小球水面升高2
cm，放入一个大球水面升高3
cm；
（2）如果要使水面上升到50cm，应放入大球、小球各多少个？
第八讲一元二次方程及应用
【基础知识回顾】
一、一元二次方程的定义：
1、一元二次方程：
含有个未知数，并且未知数最高次数是2的方程
2、一元二次方程的一般形式：
其中二次项是一次项是，是常数项
【名师提醒：
1、在一元二次方程的一般形式要特别注意强调a≠0这一条件
2、将一元二次方程化为一般形式时要按二次项、一次项、常数项排列，并一般首项为正】
二、一元二次方程的常用解法：
1、直接开平方法：
如果ax2=b则X2=X1=X2=
2、配方法：
解法步骤：
①、化二次项系数为即方程两边都二次项系数,②、移项：
把项移到方程的边
③、配方：
方程两边都加上把左边配成完全平方的形式
④、解方程：
若方程右边是非负数，则可用直接开平方法解方程
3、公式法：
如果方程ax2+bx+c=0（a≠0）满足b2-4ac≥0，则方程的求根公式
为
4、因式分解法：
一元二次方程化为一般形式后，如果左边能分解因式，即产生A.B=0的形式，则可将原方程化为两个方程，即、从而得方程的两根
【名师提醒：
一元二次方程的四种解法应根据方程的特点灵活选用，较常用到的是法和法】
三、一元二次方程根的判别式
关于X的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的情况由决定，我们把它叫做一元二次方程根的判别式，一般用符号表示
方程有两个实数跟，则
①当时，方程有两个不等的实数根
②当时，方程看两个相等的实数根
③当时，方程没有实数根
【名师提醒：
在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母一定要保证二次项系数】
四、一元二次方程根与系数的关系：
关于X的一元二次方程ax2+bx+c=0（a±0）有两个根分别为X1、X2
则x1+x2=x1x2=
五、一元二次方程的应用：
解法步骤同一元一次方程一样，仍按照审、设、列、解、验、答六步进行
常见题型
1、增长率问题：
连续两率增长或降低的百分数a（1+x）2=b
2、利润问题：
总利润=×或总利润=—
3、几何图形的面积、体积问题：
按面积、体积的计算公式列方程
【名师提醒：
因为通常情况下一元二次方程有两个根，所以解一元二次方程的应用题一定要验根，检验结果是否符合实际问题或是否满足题目中隐含的条件】
【重点考点例析】
考点一：
一元二次方程的解
例1（2015•牡丹江）若关于x的一元二次方程为ax2+bx+5=0（a≠0）的解是x=1，则2013-a-b的值是（ ）
A．2018 B．2008 C．2014 D．2012
对应训练
1．（2015•黔西南州）已知x=1是一元二次方程x2+ax+b=0的一个根，则代数式a2+b2+2ab的值是1
．
1．1
考点二：
一元二次方程的解法
例2（2015•宁夏）一元二次方程x（x-2）=2-x的根是（ ）
A．-1 B．2 C．1和2 D．-1和2
例3（2015•佛山）用配方法解方程x2-2x-2=0+1
．
例4（2015•兰州）解方程：
x2-3x-1=0．
对应训练
2．（2015•陕西）一元二次方程x2-3x=0的根是x1=0，x2=3
．
3．（2015•白银）现定义运算“★”，对于任意实数a、b，都有a★b=a2-3a+b，如：
3★5=32-3×3+5，若x★2=6，则实数x的值是-1或4
．
4．（2015•山西）解方程：
（2x-1）2=x（3x+2）-7．
考点三：
根的判别式的运用
例5（2015•乐山）已知关于x的一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+k=0．
（1）求证：
方程有两个不相等的实数根；
（2）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根．第三边BC的长为5，当△ABC是等腰三角形时，求k的值．
对应训练
5．（2015•泰州）下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的方程是（ ）
A．x2-3x+1=0 B．x2+1=0 C．x2-2x+1=0 D．x2+2x+3=0
6．（2015•乌鲁木齐）若关于x的方程式x2-x+a=0有实根，则a的值可以是（ ）
A．2 B．1 C．0.5 D．0.25
7．（2015•六盘水）已知关于x的一元二次方程（k-1）x2-2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜-2 B．k＜2 C．k＞2 D．k＜2且k≠1
8．（2015•北京）已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k-4=0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值．
考点四：
一元二次方程的应用
例6（2015•连云港）小林准备进行如下操作实验；把一根长为40cm的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形．
（1）要使这两个正方形的面积之和等于58cm2，小林该怎么剪？
（2）小峰对小林说：
“这两个正方形的面积之和不可能等于48cm2．”他的说法对吗？
请说明理由．
对应训练
9．（2015•重庆）随着铁路客运量的不断增长，重庆火车北站越来越拥挤，为了满足铁路交通的快速发展，该火车站去年开始启动了扩建工程，其中某项工程，甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需时间多5个月，并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍．
（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月？
（2）若甲队每月的施工费为100万元，乙队每月的施工费比甲队多50万元．在保证工程质量的前提下，为了缩短工期，拟安排甲、乙两队分工合作完成这项工程，在完成这项工程中，甲队施工时间是乙队施工时间的2倍，那么，甲队最多施工几个月才能使工程款不超过1500万元？
（甲、乙两队的施工时间按月取整数）
2016中考名题赏析
1．（2016•扬州）已知M=a﹣1，N=a2﹣a（a为任意实数），则M、N的大小关系为（ ）
A．M＜NB．M=NC．M＞ND．不能确定
2．（2016•台湾）如图的六边形是由甲、乙两个长方形和丙、丁两个等腰直角三角形所组成，其中甲、乙的面积和等于丙、丁的面积和．若丙的一股长为2，且丁的面积比丙的面积小，则丁的一股长为何？
（ ）
A．B．C．2﹣D．4﹣2
3．（2016•台州）有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（ ）
A．x（x﹣1）=45B．x（x+1）=45C．x（x﹣1）=45D．x（x+1）=45
4．（2016•随州）随州市尚市“桃花节”观赏人数逐年增加，据有关部门统计，2014年约为20万人次，2016年约为28.8万人次，设观赏人数年均增长率为x，则下列方程中正确的是（ ）
A．20（1+2x）=28.8B．28.8（1+x）2=20
C．20（1+x）2=28.8D．20+20（1+x）+20（1+x）2=28.8
5．（2016•兰州）公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为18m2，求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长为xm，则可列方程为（ ）
A．（x+1）（x+2）=18B．x2﹣3x+16=0C．（x﹣1）（x﹣2）=18D．x2+3x+16=0
6．（2016•衡阳）随着居民经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，抽样调查显示，截止2015年
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