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48对数函数

《对数函数》教案

教学课题：

对数函数

【高教版职中（基础）数学第一册第四章4.8“对数函数”第一节】

一、分析教材

1、地位和作用

本章是在初中学习函数知识的基础上，进行的又一次函数学习。

而对数函数作为这一阶段的重要的基本初等函数之一，是在已经学习对数概念、反函数以及指数函数的基础上以类比的方法进行学习的，这有利于学生加深对指数函数、反函数及性质的理解，反之这些概念又有利于本节的学习；同时对数函数作为常用数学模型在解决学生实际生活中的实例有广泛的应用：

会为学生进一步学习深造、参加酒店实习和酒店服务工作提供必要的知识保障和能力培养。

2、教学目标

（1）知识目标：

理解对数函数的概念、掌握对数函数的图像和性质，学会性质的第一个简单应用。

（2）能力目标：

培养学生用类比方法探索研究数学问题的能力及将来解决酒店各项事物的能力；

（3）德育目标

：

培养学生对待知识的逻辑性，及将来在酒店工作中处理各项事宜的类比分析的问题能力。

（4）情感目标：

在民主、和谐的教学气氛中，自己动手操作促进师生的情感交流，学会将来与客人的良好交流。

3、重点和难点：

重点：

对数函数的概念、图像与性质。

难点：

指数函数与对数函数的内在的关系。

难点突破：

利用学生自求反函数和动手折纸等类比的手段来明确指数函数与对数函数的内在关系

关键：

抓住对数函数与指数函数互为反函数的关系、

二、分析学生：

1、学生现状：

面对的学生为职中生，学习基础较差，而且同一个班的学生也是参差不齐，所以需要深入浅出的兴趣讲解；学生为餐饮课房服务类的学生，将来面向的是酒店服务工作，他们在服务过程中比如：

整理房间，非常需要逻辑性，而且面对客人服务时类比思想会对他们有很大帮助。

2、学生的知识水平起点：

初中学习了函数知识，本次为又一次函数学习。

而且前面已掌握对数概念、反函数以及指数函数的基本知识，这有利于借助指数函数研究对数函数。

三、分析教法、学法：

1、教学模式：

四层次教学法

本节课应用这种教学模式的具体操作程序是：

创设问题情境——小组协作探索（动手折纸验证）——类比整理抽象小结——知识巩固应用。

这种教学模式的特点是：

在学生已掌握对数概念、反函数以及指数函数的基础上，（特别是比较差的同学）借助老师和学习伙伴的帮助下，利用必要的学习资料探索研究，充分发挥学生的主动性和创新精神，最终达到使学生在学习过程中很好地掌握对数函数的概念、图像和性质，并对指数函数与对数函数的内在关系达到较深刻的理解的目的，其中又渗透了“从特殊到一般”、“从具体到抽象”的思维方法。

2、教学手段：

利用计算机多媒体辅助教学。

为了给学生认识理解“对数函数的图像、指数函数与对数函数的内在关系”提供更加形象、直观、清晰的材料，我利用电脑动画模拟演示了由指数函数图像作关于直线y=x的对称图像（即对数函数的图像）的过程，这样有助于学生对图像的理解及性质的顺利得出。

更加深了数学的对称美在学生心目中的印象。

3、学法

（1）类比学习法：

学习对数函数,处处与指数函数相对照，通过观察、分析、类比发现新的知识，这有利于培养学生的数学类比情感，提高学生的学习兴趣，更有助于学生对知识的理解和掌握。

（2）探究式学习法：

学生通过分析、探索，得出对数函数的定义。

（3）自主性学习法：

通过折纸实验画出函数图像、观察图像自得其性质。

（4）反馈练习法：

检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其差距。

　　这样可发挥学生的主观能动性，有利于提高学生的各种能力。

四、教学过程与教学内容：

教学内容

设计评析

创设

问题

情境

提出

问题

1、创设情境、提出问题：

直接复习提问：

问题1怎么求一个函数的反函数？

互为反函数的两个函数之间有什么关系？

问题2指数函数的定义域、图像和性质是什么？

（全班分成若干部门（由于我校的学生将来会在酒店的各部门工作），每部6人，每部门中均有好、中、差学生。

学生分部门复习讨论研究，分部门竞争回答内容如下。

以下提问都以这种方式解决）

原函数

反函数

定义域

 值域

值域

 定义域

互为反函数的图像关于直线y=x对称

表一

名称

指数函数

y=ax（a>0且≠1）

定义域

（－∞，＋∞）

值域

（0,+∞）

函数值变化情况

当a>1时，x∈（0,+∞）时，y>1

x=0时，y=1

x∈（-∞,0）时,0

当0

x=0时，y=1

x∈（-∞,0）时,y>1

单调性

当a>1时，ax是增函数

当0

分部合作交流，为学生提供了一个轻松、开放的学习环境，有助于有效地组织课堂学习提高全体（包括差生）学习的积极性、主动性，更有助于培养学生部门集体意识、合作意识以及他们的竞争意识。

学生学习了反函数及其互为反函数图像间的关系、指数函数等知识，因此为研究指数函数的反函数作好知识积累。

（为下面总结性质中突破难点做好知识准备）

创设

问题

情景

提出

问题

小结对数函数定义

问题3指数函数y=ax存在反函数吗？

若存在，你能求出它的反函数?

（学生讨论出一分总结）

（求解过程

指数函数y=ax把b对应到N

N=ab

（1）

b=logaN

（2）

函数y=logax把对N应到b

从而指数函数y=ax的反函数是

y=logax（x∈R+）

学生在求反函数的过程中可能出现情况：

在解决该问题时，注意帮助学生利用指数式与对数式的关系ab=N

logaN=b来解决

（1）到

（2）的转化）

问题4、指数函数的反函数是一个什么样的函数？

你能把它定义出来吗?

（学生回答，小结对数函数的定义在黑板板书）

定义：

把函数y=logax叫做对数函数，其中a>0且a

1

设计意图：

学生很自然的从旧知识过渡到了今天的主题---对数函数

设计意图：

使学生感受到引入“对数函数”的概念必要性，而且使学生理解它的实质（即对数函数是指数函数的反函数），为寻找对数函数的性质作好铺垫。

板书：

对数函数的定义。

四个问题内容衔接紧凑，水到渠成

抽象概括小结

动

手

操

作

验

证

结

论

抽

象

小

结

2、交流，类比联想：

（得到对数函数一部分性质）

问题5通过原函数指数函数的性质能否对比得出对数函数的性质？

（学生讨论）

（可能存在的问题：

不知道应得出对数函数那些性质？

从那方面入手研究？

）

难点突破：

教师活动：

巡查，给予点拨（想一想原函数与反函数的关系？

），提供材料（一张让学生研究后填写的互为反函数的定义域与值域的关系表，一张填有y=ax在a>1及0

原函数

反函数

定义域

 值域

值域

 定义域

互为反函数的图像关与直线y=x对称

表一

名称

指数函数

y=ax（a>0且≠1）

定义域

（－∞，＋∞）

值域

（0,+∞）

函数值变化情况

当a>1时，

x∈（0,+∞）时，y>1

x=0时，y=1

x∈（-∞,0）时,0

当0

x∈（0,+∞）时，0

x=0时，y=1

x∈（-∞,0）时,y>1

单调性

当a>1时，ax是增函数

当0

由各个小组层交并解析其总结（实物投影）。

在电脑屏幕上演示指数函数及其的反函数—对数函数的性质，并对各个小组的总结进行评价

表二

指数函数y=ax

对数函数y=logax

定义域

R

R+

值域

R+

R

对应法则

Ab=N,b

R

logaN=b,N

R+

图像

y=ax的图像与y=logax图像关于直线y=x对称

3、动手操作，折纸验证：

学生活动：

请同学们拿一张薄的白纸，把直角坐标系Oxy和指数函数y=2x的图像描下来，并且画出直线y=x。

把纸沿着直线对折，在纸的背面描下另一半纸的正面的图像。

展平白纸，得出对数函数y=log2x（a>0且a≠1）的图像。

师生互动：

模仿由y=（

）x的图像得出y=log

x的图像

yy

11

01x01x

用《几何画板》在电脑屏幕演示一般情况下（a>1,0

4、知识整合：

（小结对数函数的性质）

作了以上分析之后，由学生再分a＞1与0＜a＜1两种情况列出对数函数图像和性质表。

教师小结学生总结的过程：

把对数函数图像和性质列成一个表以便让学生对比着记忆。

请学生将得出的总结与函数的图像整理成知识结构表四

名称

指数函数

对数函数

图像

y=ax（01）

y=logax（01）

图像特征

过点（0,1）

过点（1,0）

定义域

（－∞，＋∞）

（0,+∞）

值域

（0,+∞）

（-∞,+∞）

函数值变化情况

 当a>1时，

x∈（0,+∞）时，y>1

x=0时，y=1

x∈（-∞,0）时,0

当a>1时，

x∈（1,+∞）时,y>0

x=1时，y=0

x∈（0,1）时，y<0

 当0

x∈（0，+∞）,0

x=0时，y=1

x∈（-∞,0）时,y>1

当0

x∈（0,1）时，y>0

x=1时，y=0

x∈（1,+∞）时,y<0

单调性

当a>1时，ax是增函数；

当0

当a>1时，y=logax是增函数；

当0

5、巩固达标（完成例1）

例1在下列个小题中比较两个实数的大小

（1）ln3与ln5

（2）ln0.1与0.2

（3）ln1.2与0（4）ln0.8与1

（5）log

3与log

5（6）log

0.1与log

0.2

（7）log

1.2与0（8）log

0.8与1

（为函数单调性的应用，加强单调性的应用）

6、反馈练习

P178A组1、

（1）（3）（5）（7）

7、归纳总结

　　引导学生对主要知识进行回顾，使学生对本节有一个整体的把握，因此，从三方面进行总结：

对数函数的概念、对数函数的图像和性质、比较对数值大小的方法。

8、课外作业：

（1）能力作业：

类比的思想在将来酒店工作中有哪方面的应用（举例说明）

（2）知识作业：

完成课本112页的2、3题

设计意图：

老师的点拨和材料的提供，使学生在研究对数函数的性质时,自然地回忆指数函数的性质及研究方法，层现联想、类比、数形结合思想，使学生更好地构建对数函数的相关知识，进一步加深学生对原函数与反函数的相互关系的理解。

（在此为第一次对数性质的小结，其中也给出了指数函数与对数函数图像关系）

设计意图：

图像是研究、验证性质的工具之一，也是函数的表示方法之一。

本环节

目的之一是培养学生的动手能力，积极参与意识

目的之二是加深学生对指数函数与对数函数图像的关系理解，

目的之三是由对数函数的图像验证所得出的性质，为另一部分性质作好铺垫，

目的之四是使个别不能理解对数函数的性质（由指数函数的性质类比）的同学在此环节得到更好的理解和认识。

设计意图：

由学生将总结与图形整合，使学生头脑中的知识条理化、系统化，形成从“特殊到一般”、“从具体到抽象”的思维过程

这种讲法既严谨又直观易懂，还能让学生主动参与教学过程，对培养学生的创新能力有帮助，学生易于接受易于掌握,而且利用表格,可以突破难点。

设计意图：

这一训练是为了培养学生利用所学知识解决实际问题的能力，通过这个环节学生可以加深对本节知识的理解和运用，并从讲解过程中找出所涉及的知识点，予以总结。

充分体现“数形结合”和“分类讨论”的思想。

习题是对学生所学知识的反馈过程，教师可以了解学生对知识掌握的情况。

可采用让同学到黑板上做题的方法。

五、分析板书

　　板书设计为表格式，这样的板书简明清楚，重点突出，加深学生对图像和性质的理解和掌握，便于记忆，有利于提高教学效果。

课题：

对数函数

一、引入四、例题

二、定义

三、小结图像和性质五、练习

六、预期目的：

通过本次课，学生应能够掌握重点，突破难点，学会简单应用通过类比思想，和分部门竞争的意识，进一步深化德育教育，学会用类比的思维考虑问题，增强学生的自信和学习数学的兴趣，培养其健全的人格与知难而进的精神、乐观向上的人生态度。

七、教学后记：

本节课在教学模式中采用四层次教学法，在授课过程中应用创设问题情境——小组协作探索（动手折纸验证）——类比整理——知识巩固应用。

教学设计老师：

提出问题——激发兴趣——组织讨论——巩固提高；学生：

交流探讨——团队合作——动手实验——抽象小结。

使同学在充分的活动中学到了新的知识，取得了较好的教学效果。