中考相似三角形汇编.doc
《中考相似三角形汇编.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《中考相似三角形汇编.doc（47页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
2018中考数学试题分类汇编：
考点36相似三角形
一．选择题（共28小题）
1．（2018•重庆）制作一块3m×2m长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是（ ）
A．360元 B．720元 C．1080元 D．2160元
【分析】根据题意求出长方形广告牌每平方米的成本，根据相似多边形的性质求出扩大后长方形广告牌的面积，计算即可．
【解答】解：
3m×2m=6m2，
∴长方形广告牌的成本是120÷6=20元/m2，
将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，
则面积扩大为原来的9倍，
∴扩大后长方形广告牌的面积=9×6=54m2，
∴扩大后长方形广告牌的成本是54×20=1080m2，
故选：
C．
2．（2018•玉林）两三角形的相似比是2：
3，则其面积之比是（ ）
A．：
B．2：
3 C．4：
9 D．8：
27
【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．
【解答】解：
∵两三角形的相似比是2：
3，
∴其面积之比是4：
9，
故选：
C．
3．（2018•重庆）要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5cm，6cm和9cm，另一个三角形的最短边长为2.5cm，则它的最长边为（ ）
A．3cm B．4cm C．4.5cm D．5cm
【分析】根据相似三角形的对应边成比例求解可得．
【解答】解：
设另一个三角形的最长边长为xcm，
根据题意，得：
=，
解得：
x=4.5，
即另一个三角形的最长边长为4.5cm，
故选：
C．
4．（2018•内江）已知△ABC与△A1B1C1相似，且相似比为1：
3，则△ABC与△A1B1C1的面积比为（ ）
A．1：
1 B．1：
3 C．1：
6 D．1：
9
【分析】利用相似三角形面积之比等于相似比的平方，求出即可．
【解答】解：
已知△ABC与△A1B1C1相似，且相似比为1：
3，
则△ABC与△A1B1C1的面积比为1：
9，
故选：
D．
5．（2018•铜仁市）已知△ABC∽△DEF，相似比为2，且△ABC的面积为16，则△DEF的面积为（ ）
A．32 B．8 C．4 D．16
【分析】由△ABC∽△DEF，相似比为2，根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，即可得△ABC与△DEF的面积比为4，又由△ABC的面积为16，即可求得△DEF的面积．
【解答】解：
∵△ABC∽△DEF，相似比为2，
∴△ABC与△DEF的面积比为4，
∵△ABC的面积为16，
∴△DEF的面积为：
16×=4．
故选：
C．
6．（2017•重庆）已知△ABC∽△DEF，且相似比为1：
2，则△ABC与△DEF的面积比为（ ）
A．1：
4 B．4：
1 C．1：
2 D．2：
1
【分析】利用相似三角形面积之比等于相似比的平方计算即可．
【解答】解：
∵△ABC∽△DEF，且相似比为1：
2，
∴△ABC与△DEF的面积比为1：
4，
故选：
A．
7．（2018•临安区）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据正方形的性质求出∠ACB，根据相似三角形的判定定理判断即可．
【解答】解：
由正方形的性质可知，∠ACB=180°﹣45°=135°，
A、C、D图形中的钝角都不等于135°，
由勾股定理得，BC=，AC=2，
对应的图形B中的边长分别为1和，
∵=，
∴图B中的三角形（阴影部分）与△ABC相似，
故选：
B．
8．（2018•广东）在△ABC中，点D、E分别为边AB、AC的中点，则△ADE与△ABC的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
【分析】由点D、E分别为边AB、AC的中点，可得出DE为△ABC的中位线，进而可得出DE∥BC及△ADE∽△ABC，再利用相似三角形的性质即可求出△ADE与△ABC的面积之比．
【解答】解：
∵点D、E分别为边AB、AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴=（）2=．
故选：
C．
9．（2018•自贡）如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若△ADE的面积为4，则△ABC的面积为（ ）
A．8 B．12 C．14 D．16
【分析】直接利用三角形中位线定理得出DE∥BC，DE=BC，再利用相似三角形的判定与性质得出答案．
【解答】解：
∵在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE∥BC，DE=BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵=，
∴=，
∵△ADE的面积为4，
∴△ABC的面积为：
16，
故选：
D．
10．（2018•崇明县一模）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：
EC=3：
1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（ ）
A．3：
4 B．9：
16 C．9：
1 D．3：
1
【分析】可证明△DFE∽△BFA，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得出答案．
【解答】解：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DC∥AB，
∴△DFE∽△BFA，
∵DE：
EC=3：
1，
∴DE：
DC=3：
4，
∴DE：
AB=3：
4，
∴S△DFE：
S△BFA=9：
16．
故选：
B．
11．（2018•随州）如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，则的值为（ ）
A．1 B． C．1 D．
【分析】由DE∥BC可得出△ADE∽△ABC，利用相似三角形的性质结合S△ADE=S四边形BCED，可得出=，结合BD=AB﹣AD即可求出的值，此题得解．
【解答】解：
∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，
∴△ADE∽△ABC，
∴（）2=．
∵S△ADE=S四边形BCED，
∴=，
∴===﹣1．
故选：
C．
12．（2018•哈尔滨）如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，GE∥BD，且交AB于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是（ ）
A．= B．= C．= D．=
【分析】由GE∥BD、GF∥AC可得出△AEG∽△ABD、△DFG∽△DCA，根据相似三角形的性质即可找出==，此题得解．
【解答】解：
∵GE∥BD，GF∥AC，
∴△AEG∽△ABD，△DFG∽△DCA，
∴=，=，
∴==．
故选：
D．
13．（2018•遵义）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=5，BC=10，连接AC、BD，以BD为直径的圆交AC于点E．若DE=3，则AD的长为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【分析】先求出AC，进而判断出△ADF∽△CAB，即可设DF=x，AD=x，利用勾股定理求出BD，再判断出△DEF∽△DBA，得出比例式建立方程即可得出结论．
【解答】解：
如图，在Rt△ABC中，AB=5，BC=10，
∴AC=5
过点D作DF⊥AC于F，
∴∠AFD=∠CBA，
∵AD∥BC，
∴∠DAF=∠ACB，
∴△ADF∽△CAB，
∴，
∴，
设DF=x，则AD=x，
在Rt△ABD中，BD==，
∵∠DEF=∠DBA，∠DFE=∠DAB=90°，
∴△DEF∽△DBA，
∴，
∴，
∴x=2，
∴AD=x=2，
故选：
D．
14．（2018•扬州）如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，CD与BE、AE分别交于点P，M．对于下列结论：
①△BAE∽△CAD；②MP•MD=MA•ME；③2CB2=CP•CM．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．① C．①② D．②③
【分析】
（1）由等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE三边份数关系可证；
（2）通过等积式倒推可知，证明△PAM∽△EMD即可；
（3）2CB2转化为AC2，证明△ACP∽△MCA，问题可证．
【解答】解：
由已知：
AC=AB，AD=AE
∴
∵∠BAC=∠EAD
∴∠BAE=∠CAD
∴△BAE∽△CAD
所以①正确
∵△BAE∽△CAD
∴∠BEA=∠CDA
∵∠PME=∠AMD
∴△PME∽△AMD
∴
∴MP•MD=MA•ME
所以②正确
∵∠BEA=∠CDA
∠PME=∠AMD
∴P、E、D、A四点共圆
∴∠APD=∠EAD=90°
∵∠CAE=180°﹣∠BAC﹣∠EAD=90°
∴△CAP∽△CMA
∴AC2=CP•CM
∵AC=AB
∴2CB2=CP•CM
所以③正确
故选：
A．
15．（2018•贵港）如图，在△ABC中，EF∥BC，AB=3AE，若S四边形BCFE=16，则S△ABC=（ ）
A．16 B．18 C．20 D．24
【分析】由EF∥BC，可证明△AEF∽△ABC，利用相似三角形的性质即可求出则S△ABC的值．
【解答】解：
∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∵AB=3AE，
∴AE：
AB=1：
3，
∴S△AEF：
S△ABC=1：
9，
设S△AEF=x，
∵S四边形BCFE=16，
∴=，
解得：
x=2，
∴S△ABC=18，
故选：
B．
16．（2018•孝感）如图，△ABC是等边三角形，△ABD是等腰直角三角形，∠BAD=90°，AE⊥BD于点E，连CD分别交AE，AB于点F，G，过点A作AH⊥CD交BD于点H．则下列结论：
①∠ADC=15°；②AF=AG；③AH=DF；④△AFG∽△CBG；⑤AF=（﹣1）EF．其中正确结论的个数为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【分析】①由等边三角形与等腰直角三角形知△CAD是等腰三角形且顶角∠CAD=150°，据此可判断；②求出∠AFP和∠FAG度数，从而得出∠AGF度数，据此可判断；③证△ADF≌△BAH即可判断；④由∠AFG=∠CBG=60°、∠AGF=∠CGB即可得证；⑤设PF=x，则AF=2x、AP==x，设EF=a，由△ADF≌△BAH知BH=AF=2x，根据△ABE是等腰直角三角形之BE=AE=a+2x，据此得出EH=a，证△PAF∽△EAH得=，从而得出a与x的关系即可判断．
【解答】解：
∵△ABC为等边三角形，△ABD为等腰直角三角形，
∴∠BAC=60°、∠BAD=90°、AC=AB=AD，∠ADB=∠ABD=45°，
∴△CAD是等腰三角形，且顶角∠CAD=150°，
∴∠ADC=15°，故①正确；
∵AE⊥BD，即∠AED=90°，
∴∠DAE=45°，
∴∠AFG=∠ADC+∠DAE=60°，∠FAG=45°，
∴∠AGF=75°，
由∠AFG≠∠AGF知AF≠AG，故②错误；
记AH与CD的交点为P，
由AH⊥CD且∠AFG=60°知∠FAP=30°，
则∠BAH=∠ADC=15°，
在△ADF和△BAH中，
∵，
∴△ADF≌△BAH（ASA），
∴DF=AH，故③正确；
∵∠AFG=∠CBG=60°，∠AGF=∠CGB，
∴△AFG∽△CBG，故④正确；
在Rt△APF中，设PF=x，则AF=2x、AP==x，
设EF=a，
∵△ADF≌△BAH，
∴BH=AF=2x，
△ABE中，∵∠AEB=90°、∠ABE=45°，
∴BE=AE=AF+EF=a+2x，
∴EH=BE﹣BH=a+2x﹣2x=a，
∵∠APF=∠AEH=90°，∠FAP=∠HAE，
∴△PAF∽△EAH，
∴=，即=，
整理，得：
2x2=（﹣1）ax，
由x≠0得2x=（﹣1）a，即AF=（﹣1）EF，故⑤正确；
故选：
B．
17．（2018•泸州）如图，正方形ABCD中，E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G，若AE=3ED，DF=CF，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【分析】如图作，FN∥AD，交AB于N，交BE于M．设DE=a，则AE=3a，利用平行线分线段成比例定理解决问题即可；
【解答】解：
如图作，FN∥AD，交AB于N，交BE于M．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，∵FN∥AD，
∴四边形ANFD是平行四边形，
∵∠D=90°，
∴四边形ANFD是解析式，
∵AE=3DE，设DE=a，则AE=3a，AD=AB=CD=FN=4a，AN=DF=2a，
∵AN=BN，MN∥AE，
∴BM=ME，
∴MN=a，
∴FM=a，
∵AE∥FM，
∴===，
故选：
C．
18．（2018•临安区）如图，在△ABC中，DE∥BC，DE分别与AB，AC相交于点D，E，若AD=4，DB=2，则DE：
BC的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似，再根据相似三角形的对应边成比例解则可．
【解答】解：
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴===．
故选：
A．
19．（2018•恩施州）如图所示，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长交BC边的延长线于E点，对角线BD交AG于F点．已知FG=2，则线段AE的长度为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【分析】根据正方形的性质可得出AB∥CD，进而可得出△ABF∽△GDF，根据相似三角形的性质可得出==2，结合FG=2可求出AF、AG的长度，由CG∥AB、AB=2CG可得出CG为△EAB的中位线，再利用三角形中位线的性质可求出AE的长度，此题得解．
【解答】解：
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABF=∠GDF，∠BAF=∠DGF，
∴△ABF∽△GDF，
∴==2，
∴AF=2GF=4，
∴AG=6．
∵CG∥AB，AB=2CG，
∴CG为△EAB的中位线，
∴AE=2AG=12．
故选：
D．
20．（2018•杭州）如图，在△ABC中，点D在AB边上，DE∥BC，与边AC交于点E，连结BE．记△ADE，△BCE的面积分别为S1，S2（ ）
A．若2AD＞AB，则3S1＞2S2 B．若2AD＞AB，则3S1＜2S2
C．若2AD＜AB，则3S1＞2S2 D．若2AD＜AB，则3S1＜2S2
【分析】根据题意判定△ADE∽△ABC，由相似三角形的面积之比等于相似比的平方解答．
【解答】解：
∵如图，在△ABC中，DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴=（）2，
∴若2AD＞AB，即＞时，＞，
此时3S1＞S2+S△BDE，而S2+S△BDE＜2S2．但是不能确定3S1与2S2的大小，
故选项A不符合题意，选项B不符合题意．
若2AD＜AB，即＜时，＜，
此时3S1＜S2+S△BDE＜2S2，
故选项C不符合题意，选项D符合题意．
故选：
D．
21．（2018•永州）如图，在△ABC中，点D是边AB上的一点，∠ADC=∠ACB，AD=2，BD=6，则边AC的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【分析】只要证明△ADC∽△ACB，可得=，即AC2=AD•AB，由此即可解决问题；
【解答】解：
∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB，
∴△ADC∽△ACB，
∴=，
∴AC2=AD•AB=2×8=16，
∵AC＞0，
∴AC=4，
故选：
B．
22．（2018•香坊区）如图，点D、E、F分别是△ABC的边AB、AC、BC上的点，若DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式一定成立的是（ ）
A．= B．= C．= D．=
【分析】用平行线分线段成比例定理和相似三角形的判定即可得出结论．
【解答】解：
∵DE∥BC，
∴，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∵EF∥AB，
∴，
∵EF∥AB，
∴△CEF∽△CAB，
∴，
∵DE∥BC，EF∥AB，
∴四边形BDEF是平行四边形，
∴DE=BF，EF=BD，
∴，，，，
∴正确，
故选：
C．
23．（2018•荆门）如图，四边形ABCD为平行四边形，E、F为CD边的两个三等分点，连接AF、BE交于点G，则S△EFG：
S△ABG=（ ）
A．1：
3 B．3：
1 C．1：
9 D．9：
1
【分析】利用相似三角形的性质面积比等于相似比的平方即可解决问题；
【解答】解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB，CD∥AB，
∵DE=EF=FC，
∴EF：
AB=1：
3，
∴△EFG∽△BAG，
∴=（）2=，
故选：
C．
24．（2018•达州）如图，E，F是平行四边形ABCD对角线AC上两点，AE=CF=AC．连接DE，DF并延长，分别交AB，BC于点G，H，连接GH，则的值为（ ）
A． B． C． D．1
【分析】首先证明AG：
AB=CH：
BC=1：
3，推出GH∥AC，推出△BGH∽△BAC，可得==（）2=（）2=，=，由此即可解决问题．
【解答】解：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD=BC，DC=AB，
∵AC=CA，
∴△ADC≌△CBA，
∴S△ADC=S△ABC，
∵AE=CF=AC，AG∥CD，CH∥AD，
∴AG：
DC=AE：
CE=1：
3，CH：
AD=CF：
AF=1：
3，
∴AG：
AB=CH：
BC=1：
3，
∴GH∥AC，
∴△BGH∽△BAC，
∴==（）2=（）2=，
∵=，
∴=×=，
故选：
C．
25．（2018•南充）如图，正方形ABCD的边长为2，P为CD的中点，连结AP，过点B作BE⊥AP于点E，延长CE交AD于点F，过点C作CH⊥BE于点G，交AB于点H，连接HF．下列结论正确的是（ ）
A．CE= B．EF= C．cos∠CEP= D．HF2=EF•CF
【分析】首先证明BH=AH，推出EG=BG，推出CE=CB，再证明△CEH≌△CBH，Rt△HFE≌Rt△HFA，利用全等三角形的性质即可一一判断．
【解答】解：
连接EH．
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD=AB═BC=AD=2，CD∥AB，
∵BE⊥AP，CH⊥BE，
∴CH∥PA，
∴四边形CPAH是平行四边形，
∴CP=AH，
∵CP=PD=1，
∴AH=PC=1，
∴AH=BH，
在Rt△ABE中，∵AH=HB，
∴EH=HB，∵HC⊥BE，
∴BG=EG，
∴CB=CE=2，故选项A错误，
∵CH=CH，CB=CE，HB=HE，
∴△ABC≌△CEH，
∴∠CBH=∠CEH=90°，
∵HF=HF，HE=HA，
∴Rt△HFE≌Rt△HFA，
∴AF=EF，设EF=AF=x，
在Rt△CDF中，有22+（2﹣x）2=（2+x）2，
∴x=，
∴EF=，故B错误，
∵PA∥CH，
∴∠CEP=∠ECH=∠BCH，
∴cos∠CEP=cos∠BCH==，故C错误．
∵HF=，EF=，FC=
∴HF2=EF•FC，故D正确，
故选：
D．
26．（2018•临沂）如图．利用标杆BE测量建筑物的高度．已知标杆BE高1.2m，测得AB=1.6m．BC=12.4m．则建筑物CD的高是（ ）
A．9.3m B．10.5m C．12.4m D．14m
【分析】先证明∴△ABE∽△ACD，则利用相似三角形的性质得=，然后利用比例性质求出CD即可．
【解答】解：
∵EB∥CD，
∴△ABE∽△ACD，
∴=，即=，
∴CD=10.5（米）．
故选：
B．
27．（2018•长春）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：
今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？
意即：
有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（提示：
1丈=10尺，1尺=10寸），则竹竿的长为（ ）
A．五丈 B．四丈五尺 C．一丈 D．五尺
【分析】根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论．
【解答】解：
设竹竿的长度为x尺，
∵竹竿的影长=一丈五尺=15尺，标杆长=一尺五寸=1.5尺，影长五寸=0.5尺，
∴，解得x=45（尺）．
故选：
B．
28．（2018•绍兴）学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B，D，AO=4m，AB=1.6m，CO=1m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为（ ）
A．0.2m B．0.3m C．0.4m D．0.5m
【分析】由∠ABO=∠CDO=90°、∠AOB=∠COD知△ABO∽△CDO，据此得=，将已知数据代入即可得．
【解答】解：
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABO=∠CDO=90°，
又∵∠AOB=∠COD，
∴△ABO∽△CDO，
则=，
∵AO=4m，AB=1.6m，CO=1m，
∴=，
解得：
CD=0.4，
故选：
C．
二．填空题（共7小题）
29．（2018•邵阳）如图所示，点E是平行四边形ABCD的边BC延长线上一点，连接AE，交CD于点F，连接BF．写出图中任意一对相似三角形：
△ADF∽△ECF ．
【分析】利用平行四边形的性质得到AD∥CE，则根据相似三角形的判定方法可判断△ADF∽△ECF．
【解答】解：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥CE，
∴△ADF∽△ECF．
故答案为△ADF∽△ECF．
30．（2018•北京）如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F，若AB=4，AD=3，则CF的长为 ．
【分析】根据矩形的性质可得出AB∥CD，进而可得出∠FAE=∠FCD，结合∠AFE=∠CFD（对顶角相等）可得出△AFE∽△CFD，利用相似三角形的性质可得出==2，利用勾股定理可求出AC的长度，再结合CF=•AC，即可求出CF的长．
【解答】解：
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB=CD，AD=BC，AB∥CD，
∴∠FAE=∠FCD，
又∵∠AFE=∠CFD，
∴△AFE∽△CFD，
∴==2．
∵AC==5，
∴CF=•AC=×5=．
故答案为：
．
31．（2018•包头）如图，在▱ABCD中，AC是一条对角线，EF∥BC，且EF与AB相交于点E，与AC相交于点F，3AE=2EB，连接DF．若S△AEF=1，则S△ADF的值为 ．
【分析】由3AE=2EB可设AE=2a、BE=3a，根据EF∥BC得=（）2=，结合S△AEF=1知S△ADC=S△ABC=，再由==知=，继而根据S△ADF=S△ADC可得答案．
【解答】解：
∵3AE=2EB，
∴可设AE=2a、BE=3a，
∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴=（）2=（）2=，
∵S△AEF=1，
∴S△ABC=，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴S△ADC=S△ABC=，
∵EF∥BC，
∴===，
∴==，
∴S△ADF=S△ADC=×=，
故答案为：
．
32．（2018•资阳）已知：
如图，△ABC的面积为12，点D、E分别是边AB、AC的中点，则四边形BCED的面积为 9 ．
【分析】设四边形BCED的面积为x，则S△ADE=12﹣x，由题意知
升级会员 