一元二次方程根的判别式与根与系数的关系Word文件下载.doc

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内容分析

1.一元二次方程的根的判别式

一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△＝b2-4ac

当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；

当△＝0时，方程有两个相等的实数根，

当△＜0时，方程没有实数根．

2.一元二次方程的根与系数的关系

（1）如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根是x1，x2，那么，

（2）如果方程x2+px+q=0的两个根是x1，x2，那么x1+x2=-P，

x1x2=q

（3）以x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是

x2-（x1+x2）x+x1x2=0．

3.二次三项式的因式分解（公式法）

在分解二次三项式ax2+bx+c的因式时，如果可用公式求出方程ax2+bx+c=0的两个根是x1,x2，那么ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）．

〖考查重点与常见题型〗

1.利用根的判别式判别一元二次方程根的情况，有关试题出现在选择题或填空题中，如：

关于x的方程ax2－2x＋1＝0中，如果a<

0，那么根的情况是（）

（A）有两个相等的实数根（B）有两个不相等的实数根

（C）没有实数根（D）不能确定

2.利用一元二次方程的根与系数的关系求有关两根的代数式的值，有关问题在中考试题中出现的频率非常高，多为选择题或填空题，如：

设x1，x2是方程2x2－6x＋3＝0的两根，则x12＋x22的值是（）

（A）15（B）12（C）6（D）3

3．在中考试题中常出现有关根的判别式、根与系数关系的综合解答题。

在近三年试题中又出现了有关的开放探索型试题，考查了考生分析问题、解决问题的能力。

已知方程5x2＋kx-6＝0的根是2，求它的另一根及k的值

考查题型

1．关于x的方程ax2－2x＋1＝0中，如果a<

（C）没有实数根（D）不能确定

2．设x1，x2是方程2x2－6x＋3＝0的两根，则x12＋x22的值是（）

3．下列方程中，有两个相等的实数根的是（）

（A）2y2+5=6y（B）x2+5=2x（C）x2－x+2=0（D）3x2－2x+1=0

4．以方程x2＋2x－3＝0的两个根的和与积为两根的一元二次方程是（）

（A）y2+5y－6=0（B）y2+5y＋6=0（C）y2－5y＋6=0（D）y2－5y－6=0

5、知方程5x2＋kx-6＝0的根是2，求它的另一根及k的值

6．如果一元二次方程x2＋4x＋k2＝0有两个相等的实数根，那么k＝

7．如果关于x的方程2x2－（4k+1）x＋2k2－1＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是

8．已知x1，x2是方程2x2－7x＋4＝0的两根，则x1＋x2＝，x1·

x2＝，（x1－x2）2＝

9．若关于x的方程（m2－2）x2－（m－2）x＋1＝0的两个根互为倒数，则m＝

二、考点训练：

1、不解方程，判别下列方程根的情况：

（1）x2－x=5

（2）9x2－6+2=0（3）x2－x+2=0

2、当m=时，方程x2+mx+4=0有两个相等的实数根；

当m=时，方程mx2+4x+1=0有两个不相等的实数根；

3、已知关于x的方程10x2－（m+3）x+m－7=0，若有一个根为0，则m=，这时方程的另一个根是；

若两根之和为－，则m=，这时方程的两个根为.

4、已知3－是方程x2+mx+7=0的一个根，求另一个根及m的值。

5、求证：

方程（m2+1）x2－2mx+（m2+4）=0没有实数根。

6、求作一个一元二次方程使它的两根分别是1－和1+。

7、设x1,x2是方程2x2+4x－3=0的两根，利用根与系数关系求下列各式的值：

（1）（x1+1）（x2+1）

（2）+　　　（3）x12+x1x2+2x1

解题指导　　　　　　

1、如果x2－2（m+1）x+m2+5是一个完全平方式，则m=;

2、方程2x（mx－4）=x2－6没有实数根，则最小的整数m=;

3、已知方程2（x－1）（x－3m）=x（m－4）两根的和与两根的积相等，则m=;

4、设关于x的方程x2－6x+k=0的两根是m和n，且3m+2n=20，则k值为;

5、设方程4x2－7x+3=0的两根为x1,x2，不解方程，求下列各式的值:

（1）x12+x22

（2）x1－x2　　

学生练习：

1、不解方程，请判别下列方程根的情况；

（1）2t2+3t－4=0,;

（2）16x2+9=24x,;

（3）5（u2+1）－7u=0,;

2、若方程x2－（2m－1）x+m2+1=0有实数根，则m的取值范围是;

3、一元二次方程x2+px+q=0两个根分别是2+和2－，则p=,q=;

4、已知方程3x2－19x+m=0的一个根是1，那么它的另一个根是，m=;

5、若方程x2+mx－1=0的两个实数根互为相反数，那么m的值是;

6、m,n是关于x的方程x2-（2m-1）x+m2+1=0的两个实数根，则代数式mn=。

7、已知关于x的方程x2－（k+1）x+k+2=0的两根的平方和等于6，求k的值;

8、已知方程x2－3x+1=0的两个根为α,β，则α+β=,αβ=;

9、如果关于x的方程x2－4x+m=0与x2－x－2m=0有一个根相同，则m的值为　　　;

10、已知方程2x2－3x+k=0的两根之差为2，则k=;

11、若方程x2+（a2－2）x－3=0的两根是1和－3，则a=;

12、方程4x2－2（a-b）x－ab=0的根的判别式的值是;

13、若关于x的方程x2+2（m－1）x+4m2=0有两个实数根，且这两个根互为倒数，那么m的值为;

14、已知p<

0,q<

0，则一元二次方程x2+px+q=0的根的情况是;

15、以方程x2－3x－1=0的两个根的平方为根的一元二次方程是;

16、设x1,x2是方程2x2－6x+3=0的两个根，求下列各式的值：

（1）x12x2+x1x22

（2）－

17．m取什么值时，方程2x2－（4m+1）x+2m2－1=0

（1）有两个不相等的实数根，

（2）有两个相等的实数根，（3）没有实数根；