高三数学一轮复习第九章平面解析几何第六节双曲线夯基提能作业本理.docx

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高三数学一轮复习第九章平面解析几何第六节双曲线夯基提能作业本理

2019-2020年高三数学一轮复习第九章平面解析几何第六节双曲线夯基提能作业本理

1.已知椭圆+=1（a>0）与双曲线-=1有相同的焦点,则a的值为（　　）　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.B.C.4D.

2.已知双曲线-=1（a>0,b>0）的一个焦点与圆x2+y2-10x=0的圆心重合,且双曲线的离心率等于,则该双曲线的标准方程为（　　）

A.-=1B.-=1

C.-=1D.-=1

3.已知a>b>0,椭圆C1的方程为+=1,双曲线C2的方程为-=1,C1与C2的离心率之积为,则C2的渐近线方程为（　　）

A.x±y=0B.x±y=0C.x±2y=0D.2x±y=0

4.（xx课标Ⅰ,5,5分）已知M（x0,y0）是双曲线C:

-y2=1上的一点,F1,F2是C的两个焦点.若·<0,则y0的取值范围是（　　）

A.B.

C.D.

5.设F1,F2分别为双曲线-=1（a>0,b>0）的左,右焦点.若在双曲线右支上存在点P,满足|PF2|=|F1F2|,且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的离心率为（　　）

A.B.C.D.

6.（xx北京,12,5分）已知双曲线-=1（a>0,b>0）的一条渐近线为2x+y=0,一个焦点为（,0）,则a=　　　;b=　　　　. 

7.设中心在原点的双曲线与椭圆+y2=1有公共的焦点,且它们的离心率互为倒数,则该双曲线的方程是　　　　　　　. 

8.已知F1,F2为双曲线-=1（a>0,b>0）的焦点,过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P和Q,且△F1PQ为正三角形,则双曲线的渐近线方程为　　　　. 

9.已知双曲线的中心在原点,左,右焦点F1,F2在坐标轴上,离心率为,且过点（4,-）.

（1）求双曲线的方程;

（2）若点M（3,m）在双曲线上,求证:

·=0.

10.已知双曲线E:

-=1（a>0,b>0）的两条渐近线分别为l1:

y=2x,l2:

y=-2x.

（1）求双曲线E的离心率;

（2）如图,O为坐标原点,动直线l分别交直线l1,l2于A,B两点（A,B分别在第一、四象限）,且△OAB的面积恒为8.试探究:

是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E.若存在,求出双曲线E的方程.

B组　提升题组

11.（xx安徽江南十校3月联考）已知l是双曲线C:

-=1的一条渐近线,P是l上的一点,F1,F2是C的两个焦点,若·=0,则P到x轴的距离为（　　）　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.B.C.2D.

12.（xx吉林长春二模）过双曲线x2-=1的右支上一点P分别向圆C1:

（x+4）2+y2=4和圆C2:

（x-4）2+y2=1作切线,切点分别为M,N,则|PM|2-|PN|2的最小值为（　　）　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.10B.13C.16D.19

13.（xx北京,13,5分）双曲线-=1（a>0,b>0）的渐近线为正方形OABC的边OA,OC所在的直线,点B为该双曲线的焦点.若正方形OABC的边长为2,则a=　　　　. 

14.已知双曲线x2-=1的左顶点为A1,右焦点为F2,P为双曲线右支上一点,则·的最小值为　　　　. 

15.已知椭圆C1的方程为+y2=1,双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点,而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点,O为坐标原点.

（1）求双曲线C2的方程;

（2）若直线l:

y=kx+与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B,且·>2,求k的取值范围.

16.设A,B分别为双曲线-=1（a>0,b>0）的左,右顶点,双曲线的实轴长为4,焦点到渐近线的距离为.

（1）求双曲线的方程;

（2）已知直线y=x-2与双曲线的右支交于M,N两点,且在双曲线的右支上存在点D,使+=t,求t的值及点D的坐标.

答案全解全析

A组　基础题组

1.C　因为椭圆+=1（a>0）与双曲线-=1有相同的焦点（±,0）,则有a2-9=7,所以a=4.

2.A　由题意知圆心坐标为（5,0）,即c=5,又e==,所以a=,所以a2=5,b2=20,所以双曲线的标准方程为-=1.

3.A　设椭圆C1和双曲线C2的离心率分别为e1和e2,则e1=,e2=.因为e1·e2=,所以=,即=,∴=.

故双曲线的渐近线方程为y=±x=±x,即x±y=0.

4.A　若·=0,则点M在以原点为圆心,半焦距c=为半径的圆上,则

解得=.可知:

·<0⇒点M在圆x2+y2=3的内部⇒<⇒y0∈.故选A.

5.B　|PF2|=|F1F2|=2c,所以由双曲线的定义知|PF1|=2a+2c,因为F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长,所以（a+c）2+（2a）2=（2c）2,即3c2-2ac-5a2=0,两边同除以a2,得3e2-2e-5=0,解得e=或e=-1（舍去）.

6.答案　1;2

解析　由题可知双曲线焦点在x轴上,

故渐近线方程为y=±x,又一条渐近线为2x+y=0,即y=-2x,∴=2,即b=2a.

又∵该双曲线的一个焦点为（,0）,

∴c=.

由a2+b2=c2可得a2+（2a）2=5,

解得a=1,b=2.

7.答案　2x2-2y2=1

解析　∵椭圆的焦点为（±1,0）,∴双曲线的焦点为（±1,0）.∵椭圆的离心率e=,∴双曲线的离心率e'=.∴双曲线中c2=2a2,∴1=2a2,∴a2=,又双曲线中b2=c2-a2,∴b2=,∴所求双曲线的方程为2x2-2y2=1.

8.答案　y=±x

解析　解法一:

设F2（c,0）（c>0）,P（c,y0）,

代入双曲线方程得y0=±,

∵PQ⊥x轴,∴|PQ|=.

在Rt△F1F2P中,∠PF1F2=30°,

∴|F1F2|=|PF2|,即2c=·.

又∵c2=a2+b2,

∴b2=2a2或2a2=-3b2（舍去）,

∵a>0,b>0,∴=.

故所求双曲线的渐近线方程为y=±x.

解法二:

∵在Rt△F1F2P中,∠PF1F2=30°,

∴|PF1|=2|PF2|.

由双曲线定义知|PF1|-|PF2|=2a,

∴|PF2|=2a,

由已知易得|F1F2|=|PF2|,

∴2c=2a,∴c2=3a2=a2+b2,∴2a2=b2,

∵a>0,b>0,∴=,

故所求双曲线的渐近线方程为y=±x.

9.解析　

（1）∵e=,∴可设双曲线的方程为x2-y2=λ（λ≠0）.

∵双曲线过点（4,-）,∴16-10=λ,即λ=6,

∴双曲线的方程为x2-y2=6.

（2）证法一:

由

（1）可知,双曲线中a=b=,

∴c=2,∴F1（-2,0）,F2（2,0）,

∴=,=,

∴·==-.

∵点M（3,m）在双曲线上,∴9-m2=6,m2=3,

故·=-1,∴MF1⊥MF2,即·=0.

证法二:

由证法一知=（-3-2,-m）,

=（2-3,-m）,

∴·=（3+2）×（3-2）+m2=-3+m2,

∵点M在双曲线上,

∴9-m2=6,即m2-3=0,

∴·=0.

10.解析　

（1）因为双曲线E的渐近线方程分别为y=2x,y=-2x,所以=2,所以=2,故c=a,

从而双曲线E的离心率e==.

（2）由

（1）知,双曲线E的方程为-=1.

设直线l与x轴相交于点C.

当l⊥x轴时,若直线l与双曲线E有且只有一个公共点,

则|OC|=a,|AB|=4a,

又因为△OAB的面积为8,

所以|OC|·|AB|=8,因此a·4a=8,解得a=2,

此时双曲线E的方程为-=1.

B组　提升题组

11.C　F1（-,0）,F2（,0）,不妨设l的方程为y=x,则可设P（x0,x0）,由·=（--x0,-x0）·（-x0,-x0）=3-6=0,得x0=±,故P到x轴的距离为|x0|=2,故选C.

12.B　由题意可知,|PM|2-|PN|2=（|PC1|2-4）-（|PC2|2-1）

=|PC1|2-|PC2|2-3=（|PC1|-|PC2|）·（|PC1|+|PC2|）-3

=2（|PC1|+|PC2|）-3≥2|C1C2|-3=13,故选B.

13.答案　2

解析　由OA、OC所在的直线为渐近线,且OA⊥OC,知两条渐近线的夹角为90°,从而双曲线为等轴双曲线,则其方程为x2-y2=a2.OB是正方形的对角线,且点B是双曲线的焦点,则c=2,根据c2=2a2可得a=2.

14.答案　-2

解析　由已知可得A1（-1,0）,F2（2,0）,设点P的坐标为（x,y）（x≥1）,则·=（-1-x,-y）·（2-x,-y）=x2-x-2+y2,因为x2-=1,所以·=4x2-x-5,当x=1时,·有最小值-2.

15.解析　

（1）设双曲线C2的方程为-=1（a>0,b>0）,则a2=4-1=3,c2=4,再由a2+b2=c2,得b2=1,故双曲线C2的方程为-y2=1.

（2）将y=kx+代入-y2=1,得（1-3k2）x2-6kx-9=0.

由直线l与双曲线C2交于不同的两点,得

∴k2<1且k2≠.①

设A（x1,y1）,B（x2,y2）,

则x1+x2=,x1x2=.

∴·=x1x2+y1y2

=x1x2+（kx1+）（kx2+）

=（k2+1）x1x2+k（x1+x2）+2

=.

又∵·>2,

∴>2,即>0,

解得

由①②得

故k的取值范围为∪.

16.解析　

（1）由题意知a=2,

∴一条渐近线方程为y=x,

即bx-2y=0,∴=,

∴b2=3,∴双曲线的方程为-=1.

（2）设M（x1,y1）,N（x2,y2）,D（x0,y0）,

∵+=t,∴x1+x2=tx0,y1+y2=ty0,

将直线方程代入双曲线方程得x2-16x+84=0,

则x1+x2=16,y1+y2=12,

∵点D在双曲线的右支上,

∴

解得

∴t=4,点D的坐标为（4,3）.

2019-2020年高三数学一轮复习第九章平面解析几何第四节直线与圆圆与圆的位置关系夯基提能作业本文

1.直线l:

x-y+1=0与圆C:

x2+y2-4x-2y+1=0的位置关系是（　　）

A.相离B.相切

C.相交且过圆心D.相交但不过圆心

2.直线y=x+4与圆（x-a）2+（y-3）2=8相切,则a的值为（　　）

A.3B.2C.3或-5D.-3或5

3.（xx安徽,6,5分）过点P（-,-1）的直线l与圆x2+y2=1有公共点,则直线l的倾斜角的取值范围是（　　）

A.B.C.D.

4.直线l与圆x2+y2+2x-4y+a=0（a<3）相交于A,B两点,若弦AB的中点为（-2,3）,则直线l的方程为（　　）

A.x+y-3=0B.x+y-1=0

C.x-y+5=0D.x-y-5=0

5.过点P（1,）作圆O:

x2+y2=1的两条切线,切点分别为A和B,则弦长|AB|=（　　）

A.B.2C.D.4

6.（xx重庆,12,5分）若点P（1,2）在以坐标原点为圆心的圆上,则该圆在点P处的切线方程为　　　　　　　. 

7.已知圆C的圆心是直线x-y+1=0与x轴的交点,且圆C与圆（x-2）2+（y-3）2=8相外切,则圆C的方程为　　　　　　. 

8.圆x2+y2+2y-3=0被直线x+y-k=0分成两段圆弧,且较短弧长与较长弧长之比为1∶3,则k=　　　　. 

9.（xx天津南开中学模拟）在平面直角坐标系xOy中,圆C:

x2+y2+4x-2y+m=0与直线x-y+-2=0相切.

（1）求圆C的方程;

（2）若圆C上有两点M,N关于直线x+2y=0对称,且|MN|=2,求直线MN的方程.

10.（xx课标Ⅰ,20,12分）已知点P（2,2）,圆C:

x2+y2-8y=0,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点.

（1）求M的轨迹方程;

（2）当|OP|=|OM|时,求l的方程及△POM的面积.

B组　提升题组

11.过点（-2,3）的直线l与圆x2+y2+2x-4y=0相交于A,B两点,则|AB|取得最小值时l的方程为（　　）

A.x-y+5=0B.x+y-1=0

C.x-y-5=0D.2x+y+1=0

12.（xx重庆一中模拟）已知圆C:

（x-1）2+（y-2）2=2.y轴被圆C截得的弦长与直线y=2x+b被圆C截得的弦长相等,则b=（　　）

A.-B.±C.-D.±

13.（xx辽宁抚顺二模）已知直线l:

kx+y-2=0（k∈R）是圆C:

x2+y2-6x+2y+9=0的对称轴,过点A（0,k）作圆C的一条切线,切点为B,则线段AB的长为（　　）

A.2B.2C.3D.2

14.（xx山东,7,5分）已知圆M:

x2+y2-2ay=0（a>0）截直线x+y=0所得线段的长度是2.则圆M与圆N:

（x-1）2+（y-1）2=1的位置关系是（　　）

A.内切B.相交

C.外切D.相离

15.（xx课标Ⅱ,16,5分）设点M（x0,1）,若在圆O:

x2+y2=1上存在点N,使得∠OMN=45°,则x0的取值范围是　　　　. 

16.（xx江苏,18,16分）如图,在平面直角坐标系xOy中,已知以M为圆心的圆M:

x2+y2-12x-14y+60=0及其上一点A（2,4）.

（1）设圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x=6上,求圆N的标准方程;

（2）设平行于OA的直线l与圆M相交于B,C两点,且BC=OA,求直线l的方程;

（3）设点T（t,0）满足:

存在圆M上的两点P和Q,使得+=,求实数t的取值范围.

答案全解全析

A组　基础题组

1.D　将圆C的方程化为标准方程得C:

（x-2）2+（y-1）2=4,圆心为（2,1）,半径为2,圆心到直线l的距离为=<2,所以直线l与圆相交.又圆心不在直线l上,所以直线不过圆心.故选D.

2.C　解法一:

联立消去y可得,2x2-（2a-2）x+a2-7=0,则由题意可得Δ=[-（2a-2）]2-4×2×（a2-7）=0,整理可得a2+2a-15=0,解得a=3或-5.

解法二:

（x-a）2+（y-3）2=8的圆心为（a,3）,半径为2,由直线y=x+4与圆（x-a）2+（y-3）2=8相切,知圆心到直线的距离等于半径,即=2,即|a+1|=4,解得a=3或-5.

3.D　过P点作圆的切线PA、PB,连接OP,如图所示.

显然,直线PA的倾斜角为0,又OP==2,PA=,OA=1,因此∠OAP=,∠OPA=,由对称性知,直线PB的倾斜角为.若直线l与圆有公共点,由图形知其倾斜角的取值范围是.故选D.

4.C　由题意知直线l的斜率存在,设直线l的斜率为k,又弦AB的中点为（-2,3）,所以直线l的方程为y-3=k（x+2）,即kx-y+2k+3=0,由x2+y2+2x-4y+a=0得圆的圆心坐标为（-1,2）,所以圆心到直线的距离为,所以=,解得k=1,所以直线l的方程为x-y+5=0.

5.A　如图所示,

∵PA、PB分别为圆O:

x2+y2=1的切线,

∴OA⊥AP.

∵P（1,）,O（0,0）,

∴|OP|==2.

又∵在Rt△APO中,|OA|=1,cos∠AOP=,

∴∠AOP=60°,

∴|AB|=2|OA|sin∠AOP=.

6.答案　x+2y-5=0

解析　设圆的方程为x2+y2=r2,将P的坐标代入圆的方程,得r2=5,故圆的方程为x2+y2=5.

设该圆在点P处的切线上的任意一点为M（x,y）,则=（x-1,y-2）.由⊥（O为坐标原点）,得·=0,即1×（x-1）+2×（y-2）=0,即x+2y-5=0.

7.答案　（x+1）2+y2=2

解析　设圆C的半径为R.由题意知圆心C（-1,0）,其与已知圆圆心（2,3）的距离d=3,由两圆相外切可得R+2=d=3,R=,故圆C的标准方程为（x+1）2+y2=2.

8.答案　1或-3

解析　由题意知,圆的标准方程为x2+（y+1）2=4.较短弧所对圆心角是90°,所以圆心（0,-1）到直线x+y-k=0的距离为×2=,即=,解得k=1或-3.

9.解析　

（1）将圆C:

x2+y2+4x-2y+m=0化为（x+2）2+（y-1）2=5-m,

∵圆C:

x2+y2+4x-2y+m=0与直线x-y+-2=0相切,

∴圆心（-2,1）到直线x-y+-2=0的距离d==2=r,

∴圆C的方程为（x+2）2+（y-1）2=4.

（2）若圆C上有两点M,N关于直线x+2y=0对称,则可设直线MN的方程为2x-y+c=0,

∵|MN|=2,半径r=2,

∴圆心（-2,1）到直线MN的距离为=1,即=1,

∴c=5±,

∴直线MN的方程为2x-y+5±=0.

10.解析　

（1）圆C的方程可化为x2+（y-4）2=16,所以圆心为C（0,4）,半径为4.设M（x,y）,则=（x,y-4）,=（2-x,2-y）.

由题设知·=0,

故x（2-x）+（y-4）（2-y）=0,

即（x-1）2+（y-3）2=2.

由于点P在圆C的内部,所以M的轨迹方程是（x-1）2+（y-3）2=2.

（2）由

（1）可知M的轨迹是以点N（1,3）为圆心,为半径的圆.

由于|OP|=|OM|,故O在线段PM的垂直平分线上,又P在圆N上,从而ON⊥PM.

因为ON的斜率为3,所以l的斜率为-,故l的方程为y=-x+.

又|OM|=|OP|=2,O到l的距离为,|PM|=,所以△POM的面积为.

B组　提升题组

11.A　由题意得圆的标准方程为（x+1）2+（y-2）2=5,则圆心C（-1,2）.过圆心与点（-2,3）的直线l1的斜率为=-1.当直线l与l1垂直时,|AB|取得最小值,故直线l的斜率为1,所以直线l的方程为y-3=x-（-2）,即x-y+5=0.

12.D　在（x-1）2+（y-2）2=2中,令x=0,得（y-2）2=1,解得y1=3,y2=1,则y轴被圆C截得的弦长为2,所以直线y=2x+b被圆C截得的弦长为2,所以圆心C（1,2）到直线y=2x+b的距离为1,

即=1,解得b=±.选D.

13.D　由圆C:

x2+y2-6x+2y+9=0得（x-3）2+（y+1）2=1,则C（3,-1）.

由题意可得,直线l:

kx+y-2=0经过圆C的圆心（3,-1）,

故有3k-1-2=0,解得k=1,则点A（0,1）,

则|AC|==.

故线段AB的长为==2.故选D.

14.B　由题意知圆M的圆心为（0,a）,半径R=a,因为圆M截直线x+y=0所得线段的长度为2,所以圆心M到直线x+y=0的距离d==（a>0）,解得a=2（舍负）,又知圆N的圆心为（1,1）,半径r=1,所以|MN|=,则R-r<

15.答案　[-1,1]

解析　解法一:

当x0=0时,M（0,1）,由圆的几何性质得在圆上存在点N（-1,0）或N（1,0）,使∠OMN=45°.当x0≠0时,过M作圆的两条切线,切点为A、B.

若在圆上存在N,使得∠OMN=45°,

应有∠OMB≥∠OMN=45°,∴∠AMB≥90°,∴-1≤x0<0或0

解法二:

过O作OP⊥MN,P为垂足,OP=OM·sin45°≤1,

∴OM≤,∴OM2≤2,∴+1≤2,∴≤1,∴-1≤x0≤1.

16.解析　圆M的标准方程为（x-6）2+（y-7）2=25,所以圆心为M（6,7）,半径为5.

（1）由圆心N在直线x=6上,可设N（6,y0）.

因为圆N与x轴相切,与圆M外切,

所以0

从而7-y0=5+y0,解得y0=1.

因此,圆N的标准方程为（x-6）2+（y-1）2=1.

（2）因为直线l∥OA,所以直线l的斜率为=2.

设直线l的方程为y=2x+m,即2x-y+m=0,

则圆心M到直线l的距离

d==.

因为BC=OA==2,

而MC2=d2+,

所以25=+5,解得m=5或m=-15.

故直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.

（3）设P（x1,y1）,Q（x2,y2）.

因为A（2,4）,T（t,0）,+=,

所以①

因为点Q在圆M上,所以（x2-6）2+（y2-7）2=25.②

将①代入②,得（x1-t-4）2+（y1-3）2=25.

于是点P（x1,y1）既在圆M上,又在圆[x-（t+4）]2+（y-3）2=25上,

从而圆（x-6）2+（y-7）2=25与圆[x-（t+4）]2+（y-3）2=25有公共点,

所以5-5≤≤5+5,

解得2-2≤t≤2+2.

因此,实数t的取值范围是[2-2,2+2].