高中数学 集合与常用逻辑用语集合间的基本关系讲义 新人教A版必修一第一册.docx

高中数学 集合与常用逻辑用语集合间的基本关系讲义 新人教A版必修一第一册.docx

《高中数学 集合与常用逻辑用语集合间的基本关系讲义 新人教A版必修一第一册.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 集合与常用逻辑用语集合间的基本关系讲义 新人教A版必修一第一册.docx（16页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

高中数学集合与常用逻辑用语集合间的基本关系讲义新人教A版必修一第一册

1.2　集合间的基本关系

最新课程标准：

（1）在具体情境中，了解空集的含义．

（2）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.

知识点一　子集

文字语言

符号语言

图形语言

对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集

对任意元素x∈A，必有x∈B，则A⊆B（或B⊇A），读作A包含于B或B包含A

　“A是B的子集”的含义是：

集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即任意x∈A都能推出x∈B.

知识点二　集合相等

文字语言：

一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A＝B.

符号语言：

若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.

　1.若A⊆B，又B⊆A，则A＝B；反之，如果A＝B，则A⊆B，且B⊆A.

2．若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关．

知识点三　真子集

文字语言：

如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集（propersubset）．

符号语言：

AB（或BA）．

　在真子集的定义中，AB首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉A.

知识点四　空集

不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.

规定：

空集是任何集合的子集．

知识点五　子集的性质

1．任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A.

2．对于集合A，B，C，

若A⊆B，B⊆C，则A⊆C.

[教材解难]

教材P8思考

{a}表示含有一个元素a的集合，{a}⊆A表示集合A包含{a}，这是两个集合之间的关系；a∈A，表示a是A的一个元素，这是元素与集合之间的关系．

[基础自测]

1．下列四句话中：

①∅＝{0}；

②空集没有子集；

③任何一个集合必有两个或两个以上的子集；

④空集是任何一个集合的子集．

其中正确的有（　　）

A．0个　　　　　　　　　　　B．1个

C．2个D．3个

解析：

由空集的性质可知，只有④正确，①②③均不正确．

答案：

B

2．集合{0,1}的子集有（　　）

A．1个B．2个

C．3个　D．4个

解析：

集合{0,1}的子集为∅，{0}，{1}，{0,1}．

答案：

D

3．已知集合A＝{x|－1－x<0}，则下列各式正确的是（　　）

A．0⊆AB．{0}∈A

C．∅∈AD．{0}⊆A

解析：

集合A＝{x|－1－x<0}＝{x|x>－1}，所以0∈A，{0}⊆A，D正确．

答案：

D

4．已知集合A＝{－1,3,2m－1}，集合B＝{3，m2}，若B⊆A，则实数m＝________.

解析：

∵B⊆A，∴2m－1＝m2，∴m＝1.

答案：

1

题型一　集合间关系的判断[经典例题]

例1　

（1）下列各式中，正确的个数是（　　）

①{0}∈{0,1,2}；②{0,1,2}⊆{2,1,0}；③∅⊆{0,1,2}；④∅＝{0}；⑤{0,1}＝{（0,1）}；⑥0＝{0}．

A．1　　　　　　　　　B．2

C．3D．4

（2）指出下列各组集合之间的关系：

①A＝{－1,1}，B＝{（－1，－1），（－1,1），（1，－1），（1,1）}；

②A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；

③M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}．

【解析】　

（1）对于①，是集合与集合的关系，应为{0}{0,1,2}；对于②，实际为同一集合，任何一个集合是它本身的子集；对于③，空集是任何集合的子集；对于④，{0}是含有单元素0的集合，空集不含任何元素，并且空集是任何非空集合的真子集，所以∅{0}；对于⑤，{0,1}是含有两个元素0与1的集合，而{（0,1）}是以有序数组（0,1）为元素的单元素集合，所以{0,1}与{（0,1）}不相等；对于⑥，0与{0}是“属于与否”的关系，所以0∈{0}．故②③是正确的，应选B.

（2）①集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系．

②等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故AB.

③方法一　两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N*，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故NM.

方法二　由列举法知M＝{1,3,5,7，…}，N＝{3,5,7,9，…}，所以NM.

【答案】　

（1）B　

（2）见解析

根据元素与集合、集合与集合之间的关系直接判断①②③④⑥，对于⑤应先明确两个集合中的元素是点还是实数．

方法归纳

判断集合间关系的方法

（1）用定义判断

首先，判断一个集合A中的任意元素是否属于另一集合B，若是，则A⊆B，否则A不是B的子集；

其次，判断另一个集合B中的任意元素是否属于第一个集合A，若是，则B⊆A，否则B不是A的子集；

若既有A⊆B，又有B⊆A，则A＝B.

（2）数形结合判断

对于不等式表示的数集，可在数轴上标出集合的元素，直观地进行判断，但要注意端点值的取舍．

跟踪训练1　

（1）若集合M＝{x|x2－1＝0}，T＝{－1，0,1}，则M与T的关系是（　　）

A．MT

B．MT

C．M＝T

D．M

T

（2）用Venn图表示下列集合之间的关系：

A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是矩形}，D＝{x|x是正方形}．

解析：

（1）因为M＝{x|x2－1＝0}＝{－1,1}，又T＝{－1,0,1}，所以MT.

（2）根据几何图形的相关知识明确各元素所在集合之间的关系，再画Venn图．如图

答案：

（1）A　

（2）见解析

（2）学习完知识点后，我们可以得到B⊆A，C⊆A，D⊆A，D⊆B，D⊆C.

题型二　子集、真子集及个数问题[教材P8例1、2]

例2　

（1）写出集合{a，b}的所有子集，并指出哪些是它的真子集．

（2）判断下列各题中集合A是否为集合B的子集，并说明理由：

①A＝{1,2,3}，B＝{x|x是8的约数}；

②A＝{x|x是长方形}，B＝{x|x是两条对角线相等的平行四边形}．

【解析】　

（1）集合{a，b}的所有子集为∅，{a}，{b}，{a，b}．真子集为∅，{a}，{b}．

（2）①因为3不是8的约数，所以集合A不是集合B的子集．②因为若x是长方形，则x一定是两条对角线相等的平行四边形，所以集合A是集合B的子集．

（1）题写出集合的子集时易忘∅，真子集是在子集的基础上去掉自身．

（2）题先确定集合A，B中的元素，再根据子集的定义判断.

教材反思

1．求集合子集、真子集个数的三个步骤

2．若集合A中含有n个元素，集合A的子集个数为2n，真子集的个数为2n－1，非空真子集的个数为2n－2.

跟踪训练2　

（1）已知集合A＝{x∈R|x2－3x＋2＝0}，B＝{x∈N|0

A．1B．2

C．3D．4

（2）已知集合A＝{x∈R|x2＝a}，使集合A的子集个数为2个的a的值为（　　）

A．－2B．4

C．0D．以上答案都不是

解析：

（1）由x2－3x＋2＝0，得x＝1或x＝2，所以A＝{1,2}．由题意知B＝{1,2,3,4}，所以满足条件的C可为{1,2,3}，{1,2，4}．

（2）由题意知，集合A中只有1个元素，必有x2＝a只有一个解；

若方程x2＝a只有一个解，必有a＝0.

答案：

（1）B　

（2）C

（1）先用列举法表示集合A，B，然后根据ACB确定集合C.

（2）先确定关于x的方程x2＝a解的个数，然后求a的值．

题型三　根据集合的包含关系求参数[经典例题]

例3　已知集合A＝{x|1

【解析】　

（1）当a＝0时，①

A＝∅，满足A⊆B.

（2）当a>0时，A＝

.

又∵B＝{x|－1

②

∴a≥2.

（3）当a<0时，A＝

.③

∵A⊆B，∴

∴a≤－2.

综上所述，a的取值范围是{a|a＝0，或a≥2，或a≤－2}．

　①欲解不等式10，a<0进行讨论．

②A⊆B用数轴表示如图所示：

（a＞0时）

由图易知，

和

需在－1与1之间．当

＝－1，或

＝1时，说明A与B的某一端点重合，并不是说其中的元素能够取到端点，如

＝1时，A＝

，x取不到1.

③a<0时，不等式两端除以a，不等号的方向改变．

方法归纳

（1）分析集合关系时，首先要分析、简化每个集合．

（2）此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误，一般含“＝”用实心点表示，不含“＝”用空心点表示．

（3）此类问题还应注意“空集”这一“陷阱”，尤其是集合中含有字母参数时，初学者会想当然认为非空集合而丢解，因此分类讨论思想是必需的．

跟踪训练3　设集合A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}．

（1）若a＝

，试判定集合A与B的关系．

（2）若B⊆A，求实数a的取值集合．

解析：

（1）由x2－8x＋15＝0得x＝3或x＝5，故A＝{3,5}，当a＝

时，由ax－1＝0得x＝5.所以B＝{5}，所以BA.

（2）当B＝∅时，满足B⊆A，此时a＝0；当B≠∅，a≠0时，集合B＝

，由B⊆A得

＝3或

＝5，所以a＝

或a＝

.

综上所述，实数a的取值集合为

（1）解方程x2－8x＋15＝0，求出A，当a＝

时，求出B，由此能判定集合A与B的关系．

（2）分以下两种情况讨论，求实数a的取值集合．

①B＝∅，此时a＝0；

②B≠∅，此时a≠0.

易错点　忽略空集的特殊性致误　

例　设M＝{x|x2－2x－3＝0}，N＝{x|ax－1＝0}，若N⊆M，求所有满足条件的a的取值集合．

【错解】　由N⊆M，M＝{x|x2－2x－3＝0}＝{－1,3}，

得N＝{－1}或{3}．

当N＝{－1}时，由

＝－1，得a＝－1.

当N＝{3}时，由

＝3，得a＝

.

故满足条件的a的取值集合为

.

【正解】　由N⊆M，M＝{x|x2－2x－3＝0}＝{－1,3}，

得N＝∅或N＝{－1}或N＝{3}．

当N＝∅时，ax－1＝0无解，即a＝0.

当N＝{－1}时，由

＝－1，得a＝－1.

当N＝{3}时，由

＝3，得a＝

.

故满足条件的a的取值集合为

.

【易错警示】

错误原因

纠错心得

错解忽略了N＝∅这种情况

空集是任何集合的子集，解这类问题时，一定要注意“空集优先”的原则

课时作业2

一、选择题

1．能正确表示集合M＝{x|x∈R且0≤x≤1}和集合N＝{x∈R|x2＝x}关系的Venn图是（　　）

解析：

N＝{x∈R|x2＝x}＝{0,1}，M＝{x|x∈R且0≤x≤1}，∴NM.

答案：

B

2．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{3，x2,2}，若A＝B，则x的值是（　　）

A．1　　B．－1

C．±1D．0

解析：

由A＝B得x2＝1，所以x＝±1，故选C.

答案：

C

3．已知集合A＝{－1,0,1}，则含有元素0的A的子集的个数为（　　）

A．2B．4

C．6D．8

解析：

根据题意，含有元素0的A的子集为{0}，{0,1}，{0，－1}，{－1,0,1}，共4个．

答案：

B

4．设A＝{x|2

A．m>3B．m≥3

C．m<3D．m≤3

解析：

因为A＝{x|2

将集合A，B表示在数轴上，如图所示，所以m≥3.

答案：

B

二、填空题

5．已知集合：

（1）{0}；

（2）{∅}；（3）{x|3m

解析：

集合

（1）中有元素0，集合

（2）中有元素∅，它们不是空集；对于集合（3），当m<0时，m>3m，不是空集；在集合（4）中，不论a取何值，a＋2总是大于a，故集合（4）是空集；对于集合（5），x2＋2x＋5＝0在实数范围内无解，故为空集．

答案：

（4）（5）

6．已知集合A＝{1,3,5}，则集合A的所有子集的元素之和为________．

解析：

集合A的子集分别是：

∅，{1}，{3}，{5}，{1,3}，{1,5}，{3,5}，{1,3,5}．注意到A中的每个元素出现在A的4个子集，即在其和中出现4次．故所求之和为（1＋3＋5）×4＝36.

答案：

36

7．若集合A{1,2,3}，且A中至少含有一个奇数，则这样的集合有________个．

解析：

若A中含有一个奇数，则A可能为{1}，{3}，{1,2}，{3,2}；若A中含有两个奇数，则A＝{1,3}．

答案：

5

三、解答题

8．已知{1,2}⊆A{1,2,3,4}，写出所有满足条件的集合A.

解析：

∵{1,2}⊆A，∴1∈A,2∈A.

又∵A{1,2,3,4}，

∴集合A中还可以有3,4中的一个，

即集合A可以是{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}．

9．已知M＝{2，a，b}，N＝{2a,2，b2}，且M＝N，试求a与b的值．

解析：

方法一　根据集合中元素的互异性，

有

或

解得

或

或

再根据集合中元素的互异性，得

或

方法二　∵两个集合相同，则其中的对应元素相同．

∴

即

∵集合中的元素互异，

∴a，b不能同时为零．

当b≠0时，由②得a＝0或b＝

.

当a＝0时，由①得b＝1或b＝0（舍去）．

当b＝

时，由①得a＝

.

当b＝0时，a＝0（舍去）．

∴

或

[尖子生题库]

10．已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1

解析：

∵B⊆A，

（1）当B＝∅时，m＋1≤2m－1，

解得m≥2.

（2）当B≠∅时，

有

解得－1≤m<2.

综上得m≥－1.

即实数m的取值范围为[－1，＋∞）．