山东省济宁市微山县高中数学第一章集合与函数概念121函数的概念学案无答案新人教A版必修1.docx
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山东省济宁市微山县高中数学第一章集合与函数概念121函数的概念学案无答案新人教A版必修1
1.2.1函数的概念
1．回顾初中
形如y=kx+b（k丰0）的函数叫一次函数，其中x叫自变量，与x对应的y的值叫函数值，它的
图象为一条倾斜直线．
形如y=ax2+bx+c（a*0）的函数叫二次函数，它的图象为抛物线.
2．函数的概念
一般地，设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个
数x,在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么f:
LB就称为从集合A到集合B的一个函数.记作y=f（x）,x€A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应y的值叫做函数值，函数值的集合｛f（x）|x€A叫做函数的值域.
例如：
正方形边长为x,与x的值相对应的面积为y，把y表示为x的函数：
y=x2；该函数的定义域为｛x|x>0｝；值域为｛y|y>0｝;当边长为4的时候，面积为16；当面积为4的时候，相应的边长为2.
3.区间
设a,b€R,且a（1）满足awx（2）满足a（3）满足awxb].
（4）实数集R用区间表示为（—8,+^）.
（5）把满足x>a,x>a,xwa,x4.函数的三要素（部分教材为二要素）
函数的定义含有三个要素，它们分别是：
定义域、值域和对应法则.当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定.因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数.
5.常见问题
1）怎样检验两个变量之间是否具有函数关系？
解析：
由函数近代定义知，我们要检验两个变量之间是否具有函数关系，只要检验：
①定义域和对应关系是否给出且定义域为非空数集；②根据给出的对应关系，自变量在其定义域内任一个值，是否都能确定唯一的函数值.
2）函数f（x）与f（a）（a是常数）有什么区别与联系?
解析：
由f（a）表示当x=a时函数f（x）的值，是一个常量，而f（x）是自变量x的函数，在一般情况下，它是一个变量，f（a）是f（x）的一个特殊值。
3）如何认识集合{x|awxwb}与区间［a,b］的区别？
解析：
区间［a,b］一定是无限集，且隐含a当a=b时，{x|awxwb}={a}是单元素集：
当a>b时，{x|a，这两种情况均不能用区间［a,b］表示.
例题讲解
题型一函数概念的理解
例1下列对应关系是否为A到B的函数？
（1）A=RB={x|x>0},f:
xty=|x|;
（2）A=Z,B=Z,f:
xty=x2;
（3）A=RB=Z,f:
xty=；
（4）A=［—1,1］,B={0},f:
xty=0.
解析：
（1）A中的元素0在B中没有对应元素，故不是A到B的函数；
（2）对于集合A中的任意一个整数X,按照对应关系f:
xty=x2，在集合B中都有唯一一个确定的整数x2与其对应，故是集合A到集合B的函数；
（3）A中元素负数没有平方根，故在B中没有对应的元素且不一定为整数，故此对应关系不是A
到B的函数；
（4）对于集合A中任意一个实数x，按照对应关系f：
xty=0，在集合B中都有唯一一个确定的
数0与它对应，故是集合A到集合B的函数.
点评：
判断所给对应是否是函数，首先观察两个集合代B是否是非空集合（数集），其次验证对
应关系下，集合A中数x的任意性，集合B中数y的唯一性.
巩固：
若集合A={x|0wx<2},B-{y|0wyw3}，则下列图形给出的对应中能构成从A到B的函
数f:
AtB的是（）
y；B、C均不满足函
解析：
A中的对应不满足函数的存在性，即存在x€A,但B中无与之对应的
数的唯一性，只有D正确.
答案：
D
题型二“f”的含义及函数值的问题
例2已知f（x）=x2—6x.
（1）求f
（2）,f（a+1）的值；
（2）若f（x）=—5，求x的值.
2
解析：
（1）f
（2）=2—6X2=—8,
22
f（a+1）=（a+1）—6（a+1）=a—4a—5.
（2）f（x）=x2—6x=—5?
x=1或x=5.
f下x对应的函数
）代入既可；
点评：
（1）在函数y=f（x）中，x为自变量，f为对应关系，f（x）是对应关系值，所以求函数值时，只需将f（x）的x用对应的值（包括值在定义域内的代数式
（2）求f[f（x）]时，一般应遵循由里到外的原则.
2
【巩固1已知f（x）=（x€R且x工一1）,g（x）=x+2（x€R）.求:
（1）f
（2）、g
（2）的值；
（2）f[g
（2）]的值；
（3）
⑶f［g（x）］的解析式.
解析：
（1）函数y=3—1x的定义域为R;
—x》0,
⑶要使函数有意义，需2x2—3x—2.0
1
x<0且x.—2*
故函数y=
—x
2x2—3x—2
的定义域为
x|x<0且XM—2=—O,—1U—20；
2x+3>0,
⑷要使函数有意义，需2—x>0,
x丰0.
3
解得—壬x<2且x丰0,
33
x|—产x<2且XM0=—-,0U（0,2）
点评：
求函数定义域的原则：
（1）分式的分母不等于零；
（2）偶次根式的被开方数（式）为非负数;
（4）零指数幕的底数不等于零等.
巩固：
求下列函数的定义域:
0
r6
（1）f（X）-x2—3x十2；
ftX十1
（2）f（x）—,：
3x—1十.1—2x十4;（3）f（x）—|x|—x
解析：
2
（1）由x—3x+2工0,
得：
XM1,x工2
6
•••f（x）=弋的定义域是{x€R|x工1且x丰2}.
x—3X十2
3x—1>0
⑵由1—2x>0
11
•f（x）=3x—1十'1—2x十4的定义域是3，2.
x+1工0X—1
⑶由|x|—XK，得|x|丰x,•x<0且x7，
题型四两函数相同的判定
例4下列各题中两个函数是否表示同一函数：
（1）f（X）=X,g（x）=0JX）2;
（2）f（t）=t,g（x）=慣；⑶f（x）=^——4,g（x）=x+2.
解析：
（1）f（x）的定义域为R,
g（x）的定义域为{x|x>0},
两个函数的定义域不同，故不是同一函数.
（2）g（x）=x,两者的定义域和对应法则相同，故是同一函数.
（3）f（x）的定义域为（一R,2）U（2,+^）,
g（x）的定义域为R故不是同一函数.
点评：
只有当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一函数，这就是
说：
（1）定义域不同，两个函数也就不同；
（2）对应法则不同，两个函数也是不同的；
（3）即使是定义域和值域分别相同的两个函数，它们也不一定是同一函数，因为函数的定义域和
值域不能唯一地确定函数的对应法则；
（4）两个函数是否相同，与自变量是什么字母无关.
［巩固］试判断下列函数是否为同一函数：
（1）f（x）=.'x•x+1与g（x）=:
xx+1;
（2）f（x）=x2—2x与g（t）=t2—2t;
（3）f（x）=1与g（x）=x°（xm0）.
解析：
⑵是，
（1）、（3）不是.
对于
（1）,f（x）的定义域为［0,+^）,
而g（x）定义域为（—a,—1］U［0,+^）.
（3）也是定义域不同.
综合练习题
A组
1.下列各图中，可表示函数y=f（x）的图象的只可能是（）
答案：
D
2•下列各组函数表示同一函数的是（）
x2-9.
A.y=与y=x+3
B.y=x2-1与y=x-1
C.y=x°（xm0）与y=1（xm0）
D.y=2x+1,x€Z与y=2x—1,x€Z
答案：
C
3.给出四个命题：
①函数就是定义域到值域的对应关系；②若函数的定义域只含有一个元素，则值域也只含有一
个元素；③因为f（x）=5（x€R），这个函数值不随x的变化而变化，所以f（0）=5也成立；④定义域和对应关系确定后，函数值域也就确定了.
以上命题正确的有（）
A.1个B.2个C.3个D.4个
答案：
D
B组
1
1.函数y=的定义域为（）
寸x+1
C.[—1,+^）D.（—1，+m）
答案：
D
2
2.设函数f（x）=x—3x+1,则f（a）—f（—a）=（）
A.0B.—6a
22
C.2a+2D.2a—6a+2
答案：
B
3•下列用表给出的函数关系中，当x=6时，对应的函数值y等于（）
x
0VxWl
1vx<5
5vxw10
x>10
y
1
2
3
4
A.2B.3
C.4D.无法确定
答案：
B
4.函数y=—3x+1,x€[—1,1]的值域为
答案：
[—2,4]
5•函数y^UR的定义域为
x
解析：
利用解不等式组的方法求解.
x>—1,解得
x工0.
x+1》0,要使函数有意义，需
x工0.
•••原函数的定义域为{x|x>—1且xm0}.
答案：
{x|x>—1且xm0}
x+4x<0
则f[f（—3）]的值为
6.已知f（x）=
x—4x>0
解析：
f（—3）=—3+4=1,f（f（—3））=f⑴=1—4=一3.
答案：
—3
1.已知集合P={x|—421
A.2y=xB.y=q（x+4）
122
C.y=4X—2D.x=—8y
答案：
B
22
2.已知函数f（x）=x+2x+a,f（bx）=9x—6x+2,其中x€R,a,b为常数，则方程f（ax+
b）=0的解集为.
a=2,
b=—3.
b=9,
22
解析：
f（bx）=（bx）+2bx+a=9x—6x+2?
2b=—6,
a=2,
22
•••f（2x—3）=（2x—3）+2（2x—3）+2,f（ax+b）=0，即为4x—8x+5=0，而△<0,故方程f（ax+b）=0的解集为?
.
答案：
？
3.求下列函数的值域：
（1）y=x+1,x€{234,5,6}；
（2）y=x+1；
（3）y=x2—4x+6.
解析：
（1）{3,4,5,6,7}.
（2）■/x>0,二y>1,故值域为{y|y>1}.
22
（3）Ty=x—4x+6=（x—2）+2,
（4）
已知函数f（x）=
1
求f
（2）+f2+f（3）+f3+…+f（2012）+f2~012的值.
2
”x
解析：
⑴•••f（x）=1+亍,
2
1x+1=~2~=1.
x+1x+1
（3）由⑵知，f（x）
•f
（2）+f2=1,
1
f（3）+f3=1,
1
f（4）+f；=1,
f（2012）+f207=1,
•f
（2）+f1+f（3）+f1+…+f（2012）+f207=2011.
5.已知f（x）的定义域为（0,1］，求g（x）=f（x+a）•f（x-a）（a<0）的定义域.
0解析：
由已知得
0—a用数轴法，讨论
（1）当a=0时，x€（0,1］；
⑵当aw—f时，x€?
，即函数不存在；
⑶当一f课后总结：
1."y=f（x），'是函数符号，可以用任意的字母表示，如"y=g（x）”.
2.函数符合"y=f（x）”中的f（x）表示与x对应的函数值，f（x）是一个数，而不是f乘x.
3.构成函数的三要素是：
定义域、对应关系和值域.
4.函数中的自变量可以在定义域范围内任意取值，包括变成其他字母，这是函数抽象的重要原因.
5.函数的定义域包含三种形式：
（1）自然型.指函数的解析式有意义的自变量x的取值范围（如：
分式函数的分母不为零，偶次
根式函数的被开方数为非负数，等等）.
（2）限制型.指命题的条件或人为对自变量x的限制，这是函数学习中重点，往往也是难点，因
为有时这种限制比较隐蔽，容易犯错误.
（3）实际型.解决函数的综合问题与应用问题时，应认真考查自变量x的实际意义.
x<0,
x工2且XM—1
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