大学毕业论文微分中值定理应用初探.doc
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皖西学院
本科毕业论文（设计）
论文题目
微分中值定理应用初探
姓名（学号）
倪森
系别
数理系
专业
数学与应用数学
导师姓名
邵毅
二〇一一年四月
微分中值定理应用初探
作者倪森
指导教师邵毅
摘要：
本文首先介绍了微分三大中值定理以及它们之间的关系，然后论述了微分中值定理在研究函数性质，求极限，求近似值和在实际生活中的应用。
关键词：
中值定理联系应用
微分中值定理是微分学的基本定理之一，是沟通函数与其导数之间的桥梁，是应用导数的局部性研究函数整体性的重要数学工具.应用十分广泛。
1、微分中值定理及其几何意义
1.1罗尔（Rolle）中值定理：
若函数f满足如下条件:
（i）f在闭区间[a,b]上连续;
（ii）f在开区间（a,b）内可导;
（iii）,
则在内至少存在一点,使得
（1）
证明：
因为在闭区间上连续,所以有最大值与最小值,分别用表示,现分两种情况来讨论:
（1）若,则在上必为常数,从而结论显然成立。
（2）若,则因,使得最大值与最小值至少有一个在内某点处取得,从而是的极值点。
由条件（ii）,在点处可导,故由费马定理推知。
罗尔定理的几何意义:
在每一点都可导的一段连续曲线上,如果曲线的两端点高度相等,则至少存在一条水平切线（图1）。
O
x
y
B
A
P
a
b
y=f（x）
y=F（x）+f（a）
y=x
b-a
图2
1.2拉格朗日（Lagrange）中值定理：
若函数f满足如下条件:
（i）f在闭区间[a,b]上连续;
（ii）f在开区间（a,b）内可导,
则在内至少存在一点,使得
.
（2）
f（b）-f（a）
证明：
作辅助函数
显然,,且在上满足罗尔定理的另两个条件
故,使
移项后即得所要证明的
（2）式。
拉格朗日公式还有下面三种等价表示形式：
;;
拉格朗日中值定理的几何意义:
在满足定理条件的曲线上至少存在一点,该曲线在该点处的切线平行于曲线两端点的连线AB（图2）。
1.3柯西（Cauchy）中值定理:
设函数和满足:
（i）在上都连续;
（ii）在（a,b）上都可导;
（iii）f’（x）和g’（x）不同时为零;
（iv）
O
图3
x
y
B（g（b）,f（b））
C（g（）,f（））
A（g（）,f（））
则在内至少存在,使得 （3）
证明：
作辅助函数,
易见在上满足罗尔定理的条件,故存在,使得
因为（否则由上式）,所以可把上式改写成（3）式。
此定理有着与前两个中值定理相类似的几何意义,只是要把这两个函数写作以为参量的参数方程
.
在平面上表示一段曲线,由于（3）式右边的表示连接该曲线两端点的弦AB的斜率,而（3）式左边的,则表示该曲线上与相对应的一点处的切线的斜率。
因此（3）式即表示上述切线与弦AB互相平行（图3）。
1.4泰勒公式
若函数f（x）在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于（x-x.）的多项式和一个余项的和：
f（x）=f（x.）+f'（x.）（x-x.）+f''（x.）/2!
•（x-x.）^2,+f'''（x.）/3!
•（x-x.）^3+……+f（n）（x.）/n!
•（x-x.）^n+Rn 其中Rn=f（n+1）（ξ）/（n+1）!
•（x-x.）^（n+1）,这里ξ在x和x.之间，该余项称为拉格朗日型的余项。
（注：
f（n）（x.）是f（x.）的n阶导数，不是f（n）与x.的相乘。
）
Lagrange中值定理是的特例。
1.5中值定理的一些推论
1、Rolle定理的推论：
若f在[，]上连续，在（，）内可导，，则存在，使得（简言之：
可导函数的两个根之间必有导数的零点）。
2、Lagrang定理的推论：
推论若函数f在区间I上可导，且，，则f为I上的一个常量函数。
几何意义：
斜率处处为0的曲线一定是平行于x轴的直线。
推论若函数f和g均在I上可导，且，，则在区间I上f（x）与g（x）只差一个常数，即存在常数C，使得。
2、微分中值定理之间的内在联系
罗尔定理，拉格朗日定理，柯西定理以及泰勒公式是微分学的基本定理。
这些定理都具有中值性，所以统称微分学中值定理，以拉格朗日中值定理为中心，它们之间的关系可用简图示意
3、微分中值定理的应用
以罗尔定理，拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是整个微分学的理论基础，尤其是拉格朗日中值定理．它们建立了函数值与导数值之间的定量联系，因而可用中值定理通过导数去研究函数的性态。
中值定理的主要作用在于理论分析和证明；同时由柯西中值定理还可导出一个求极限的洛必达法则．中值定理的应用主要是以中值定理为基础，应用导数判断函数单调性、取极值、凹形、凸形和拐点等项的重要性态。
从而把握函数图象的各种几何特征．此外，在研究极值问题中也有重要的实际应用．
3.1判别可微函数的单调性
定理1设f（x）在区间[a,b]上可导，则f（x）在[a,b]上递增（减）.
证明：
如为增函数，则对每一，当时，有
令即得
反之，若在区间I上恒有，则对
（不妨设）由Lagrange中值定理知，，使得
由此即得在I上递增#
例1.设在上连续,在内可导,且,单调增加
求证:
在内也单调增加
证明:
由于,（当时）
又单调增加,有（当时）
在内单调增加
3.2求解不定式的极限
柯西中值定理的一个极其重要的应用就是可以用来计算未定型的极限。
仔细观察柯西中值定理里的表达式的形式，可以看到两个函数式的比值，在一定条件下可以化成者两个函数的导数的比值，这样就有可能使得作为未定型的分式的分子与分母所表示的函数，通过求导，而得到非未定型。
这是一个基本的思路，我们有下面的定理：
（Hospital法则）若函数和满足:
（i）;
（ii）在点的某空心邻域内两者都可导,且;
（iii）可为实数.也可为或）,
则.
证明:
补充定义,使得与在处连续,任取,在区间（或）上应用柯西中值定理,有
即介于与之间）。
当令时,也有,故得
注:
若将其中换成,只要相应地修正条件（ii）中的邻域,也可得同样的结论.
例2.求.
解:
易知,与在的邻域内满足Hospital法则的条件（i）和（ii）,又因,
故由洛必达法则求得.
例3.求.
解:
由洛必达法则有.
3.3证明不等式和等式
例4.设,证明不等式：
证明：
设=
根据拉格朗日中值定理得==，
由于（）#
例5.设函数在上连续，在内可导，且
求证：
对函数有成立
证明：
=
=
=#
例6.设求证：
，其中在与之间。
证明：
由于则不在与之间
令，，
则与在与所限定的区间上满足柯西中值定理的条件
整理得，#
3.4证明中值点的存在性
例7.设函数在[0，]上二阶可导，且
求证：
至少存在一点，使得。
分析：
结论可写为
即
令，移项得
取
证明：
作辅助函数
易见，由题设可知在[0，]上连续，在（0，）内可导，且
于是，在[0，]上满足罗尔定理
至少存在一点（0，），使得
即
例8.设函数在上连续，在内可导，求证：
至少存在一点，使得
分析：
令，则
可见，这是一个对称式（与互换，等式不变），故取
证明：
取辅助函数
显然，在上连续，在内可导，且
所以，在上满足罗尔定理的条件，故至少存在一点，使得即
即#
注：
例8采用的方法称为常数k值法，通常它可以如下进行：
（1）令常数部分为k；
（2）恒等变形，使等式一端为及构成的代数式，另一端为及构成的代数式；
（3）看两端的表达式是否为对称式或轮换对称式，若是，只须把（或）改为，相应的函数值（或）改成，则替换变量后的端点表达式就是所求的辅助函数.
例9.设在[-1，1]内有三阶连续导数，且，，
求证：
使
证明：
作三次多项式，满足，
，由此得，，
，即
而令，则
先在[-1，0]和[0，1]上对用罗尔中值定理知存在
，使得，再在，上
对用罗尔中值定理得，，使得再在上对用罗尔中值定理得，，使得
，又，故
注：
例9所表述的方法称为多项式函数法，在运用时须注意所设函数导数的阶数即是多项式次数.
3.5证明方程根的存在性与唯一性
例10.设在内可微，求证：
在的任何两个零点之间必有的一个零点
证明：
取辅助函数
显然，在上连续，且在内可微，其中为的任意两个零点，即，且
可知，在上满足罗尔定理的条件，于是，至少存在一点
使得即也即
例1设在[0，1]上可微，对于[0，1]上每一个，函数的值都在开区间（0，1）内，且，求证：
在（0，1）内有且仅有一个，使得
证明：
令由题意知，在[0，1]上连续，又因
由闭区间上连续函数的零点定理可知，在（0，1）内至少有一个，使
，即
下用反证法证在（0，1）内至多有一个零点
否则，，，使得，
由拉格朗日中值定理知，至少存在一个，使得
与题设矛盾，命题得证。
注：
在证唯一性时，常先利用零点定理或罗尔定理证明函数至少有一个实根，再利用函数的单调性证明最多只有一个实根，从而得证。
3.6证明有关重要理论
例12（导数极限定理）设函数在点的某邻域内连续，在内可导且极限存在，则在点可导，且
证明：
（1）任取，在上满足Lagrange中值定理，则
，使得
（*）
由于，故当时，有，对（*）式两边取极值，使得
（2）同理可得
由于，故，从而
，即
例13.（微积分基本公式）如果函数F（x）是连续函数f（x）在区间上的一个原函数，则
证明:
在中任意插入若干个分点
对于上式右边的和式中的每一项应用微分中值定理
记
因为连续函数在区间上可积,所以在上式中令,根据定积分定义即可得=
3.7利用泰勒公式求近似值
泰勒公式集中体现了微积分逼近法的精髓,是数学分析中重要知识点,并且在解决数学问题方面有着十分重要的作用.论文主要列举泰勒公式在数学中常用的几个问题,归纳泰勒公式在解决数学问题中的若干应用.
例1计算的近似值，要求精确到小数点后的第五位
解==，
选择
其中
取来计算，其误差为
，
答案符合精度要求，因此
当然，微分中值定理的应用不拘一格，在实际运用中不能机械的就用某种方法，对具体问题要注意具体条件具体分析，多种方法要学会灵活运用。
应收集的资料、主要参考文献及实习地点：
1、数学分析（上册）……《北京:
高等教育出版社》 华东师范大学数学系
2、数学分析中的典型问题与方法[M]……斐礼文．北京：
高等教育出版社，
3、数学分析………华东师范大学数学系编.北京:
人民教育出版社
4、数学分析习题课讲义……薛宗慈编，北京:
北京师范大学出版社
5、数学分析（上册）……周性伟，刘立民著.天津:
南开大学出版社
6、高等数学[M]……同济大学数学教研室.北京:
高等教育出版社
7、数学分析中的典型例题和解题方法[M]……孙本旺等.长沙;湖南科技出版
.
InquiryTheApplicationofThedifferentialtheoremofmean
AuthorLuLei
TeacherShaoYi
Abstract：
Thisarticlehasdiscussedthedifferentialtheoremofmeangeometrysignificanceandtheinnerlinkthoroughly;Thesystemsummarizeddifferentialtheoremofmeaneachkindofapplication;Introducedthestructureauxiliaryfunctioncreatestheconditionapplicationdifferentialtheoremofmeansolutionactualproblemthemethod;Alsohasfurtherexpoundedthedifferentialtheoremofmeanimportancefromthetheoryandtheactualtwoangles.
Keywords：
Differentialtheoremofmean;Using;Proof;Inferentialreasoning
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