材料力学答案第三版单辉祖.docx
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材料力学答案第三版单辉祖
第二章轴向拉压应力与材料的力学性能
2-1试画图示各杆的轴力图。
Cb'
（JI
题2-1图
解：
各杆的轴力图如图2-1所示。
2-2试画图示各杆的轴力图，并指出轴力的最大值。
图a与b所示分布载荷均沿杆轴均匀分布，集度为q。
题2-2图
（a）解：
由图2-2a
（1）可知，
FN（X）2qaqx
轴力图如图2-2a
（2）所示，
（b）解：
由图2-2b
（2）可知,
轴力图如图2-2b
（2）所示,
FN,max2qa
（Jl
图2-2a
FRqa
FN（XI）FRqa
Fn（X2）FRq（X2a）2qaqx2
FN,maxqa
.Γ-ι
11⅛
∣2∣
图2-2b
2-3图示轴向受拉等截面杆，横截面面积A=500mm2,载荷F=50kN。
试求图示斜截
面m-m上的正应力与切应力，以及杆内的最大正应力与最大切应力。
UI
题2-3图
解：
该拉杆横截面上的正应力为
F50IO3N
A50010-6m2
1.00108Pa100MPa
斜截面m-m的方位角α50,故有
22
σσosα100MPacos（50）41.3MPa
Tσsin2α50MPaSin（100）49.2MPa
2
杆内的最大正应力与最大切应力分别为
σmaxσ100MPa
TaX50MPa
2
2-5某材料的应力-应变曲线如图所示，图中还同时画出了低应变区的详图。
试确定
材料的弹性模量E、比例极限P、屈服极限S、强度极限b与伸长率，并判断该材料属
于何种类型（塑性或脆性材料）。
题2-5
解：
由题图可以近似确定所求各量。
6
Eδ22010Pa220109Pa220GPa
Δε0.001
σ220MPa,σ240MPa
Ob440MPa,δ29.7%
该材料属于塑性材料。
2-7一圆截面杆，材料的应力-应变曲线如题2-6图所示。
若杆径d=10mm,杆长
l=200mm,杆端承受轴向拉力F=20kN作用，试计算拉力作用时与卸去后杆的轴向变形。
题2-6图
3
解：
σF42010N22.55IO8Pa255MPa
A∏0.0102m2
查上述σ£曲线，知此时的轴向应变为
ε0.00390.39%
轴向变形为
Δlε（0200m）000397.8104m078mm
拉力卸去后，有
ε0.00364，ε0.00026
故残留轴向变形为
Δl
（0.200m）0.00026
5.2105m0.052mm
2-9图示含圆孔板件，承受轴向载荷F作用。
已知载荷F=32kN,板宽b=100mm，
板厚15mm,孔径d=20mm。
试求板件横截面上的最大拉应力（考虑应力集中）。
——*
I
F*
题2-9图
解：
根据
d/b0.020m∕（0∙100m）0.2
查应力集中因数曲线，得
K2.42
根据
CmaX
σ（bd）δ'
CmaX
Kσ
3
冷"45107Pa64.5MPa
2-10
图示板件，承受轴向载荷F作用。
已知载荷F=36kN,板宽bι=90mm,b2=6Omm,
板厚=IOmm，
孔径d=1Omm,圆角半径R=12mm。
试求板件横截面上的最大拉应力（考虑
应力集中）。
题2-10图
解：
1.在圆孔处根据
d0.010m01111
b10.090m
查圆孔应力集中因数曲线，得
K12.6
故有
σ∏axKIσ1
2.636103N
（b1-d）δ
21.17108Pa117MPa
（0.090-0.010）0.010m2
2.在圆角处根据
b
b2
0.090m
0.060m
1.5
查圆角应力集中因数曲线，得
故有
σ∏axK2σ2
K2F
b2δ
3.结论
CmaX
b2
K2
0.012m
0.060m
1.74
1.7436103N
0.0600.010m2
0.2
1.04108Pa104MPa
117MPa（在圆孔边缘处）
2-14图示桁架，承受铅垂载荷
F作用。
设各杆的横截面面积均为A,许用应力均为
[],试确定载荷F的许用值[F]。
解：
先后以节点C与B为研究对象，求得各杆的轴力分别为
Fn2Fn3F
根据强度条件，要求
由此得
■2F
A
[F]
[]A
、2
2-15图示桁架，承受载荷F作用，已知杆的许用应力为［］。
若在节点B和C的位置保持不变的条件下，试确定使结构重量最轻的值（即确定节点A的最佳位置）。
解：
1.求各杆轴力
设杆AB和BC的轴力分别为FNI和Fn2,由节点B的平衡条件求得
FNIsin
Fn2FCtanα
2.求重量最轻的值
由强度条件得
AF
A2Ctanα
AI
[Qsin
[σ
结构的总体积为
FIFl4Fr2*\
VA1I1A2I2Ctana（Ctanα
[QsinaCOSa[σ[σSin2a
dV0
da
2-16
图示桁架，承受载荷F作用，已知杆的许用应力为
[]。
若节点A和C间的指
得
2
3cosa10
由此得使结构体积最小或重量最轻的
a值为
apt5444
定距离为I,为使结构重量最轻，试确定的最佳值。
解：
1.求各杆轴力
由于结构及受载左右对称，故有
FN1
FN2
F
2sinθ
2.求的最佳值
由强度条件可得
结构总体积为
由
得
由此得的最佳值为
V2A1l1
A1
F
2[dsinθ
F_l_Fl
[σ]sinθ2cosθ[dsin2θ
dθ
cos2θ0
2-17图示杆件，承受轴向载荷F作用。
已知许用应力[]=120MPa,许用切应力[]=90MPa,许用挤压应力[bs]=240MPa,试从强度方面考虑，建立杆径d、墩头直径D及其高度h间的合理比值。
题2-17图
解：
根据杆件拉伸、挤压与剪切强度，得载荷F的许用值分别为
πd2
[F]t号[]⑻
4
[F]∏D2d2）[]心
[]b-4-[bs]（b）
[F]s∏h[]（C）
理想的情况下，
[F]t[F]b[F]s
在上述条件下，由式（a）与（C）以及式（a）与（b）,分别得
hLld
4[]
DH≡d
于是得
D:
h:
d1[]J】：
1
V[]bs4[]
由此得
D:
h:
d1.225:
0.333:
1
2-18图示摇臂，承受载荷F1与F2作用。
已知载荷F1=50kN,F2=35.4kN,许用切
应力[]=100MPa,许用挤压应力[bs]=240MPa。
试确定轴销B的直径d。
题2-18图
解：
1.求轴销处的支反力
由平衡方程FXo与Fy0,分别得
FBXF1F2cos4525kN
FByF2Sin4525kN
由此得轴销处的总支反力为
Il22
FB■.252252kN354kN
2.确定轴销的直径
（这里是双面剪）
由轴销的剪切强度条件
得
2Fb
πd2
2Fb[T
2_35.4106m0.015m
由轴销的挤压强度条件
得
d
结论：
取轴销直径d
δObS]
0.015m
⅞S
Fbd
35.4
FBd
103
[σ>s]
0.010240106
15mm。
m0.01475m
100106
2-19图示木榫接头，承受轴向载荷F=50kN作用，试求接头的剪切与挤压应力。
打_
F
-f
O-I
f
IIIi
∣ιP
F
.b
IIk
题2-19图
解：
剪应力与挤压应力分别为
bs
50103N
（0.100m）（0.100m）
5MPa
50103N
（0.040m）（0.100m）
12.5MPa
2-20图示铆接接头，铆钉与板件的材料相同，许用应力[]=16OMPa,许用切应力
[]=120MPa,许用挤压应力[bs]=340MPa,载荷F=230kN。
试校核接头的强度。
题2-20图
解：
最大拉应力为
230103N
max
2153.3MPa
（0.1700.020）（0.010）（m2）
最大挤压与剪切应力则分别为
3
bs
230MPa
230103N
5（0.020m）（0∙010m）
4230103N
5π（0.020m）
146.4MPa
2-21图示两根矩形截面木杆，用两块钢板连接在一起，承受轴向载荷F=45kN作
用。
已知木杆的截面宽度b=250mm,沿木纹方向的许用拉应力[]=6MPa，许用挤压应力
[bs]=10MPa,许用切应力[]=1MPa。
试确定钢板的尺寸与I以及木杆的高度h。
解：
由拉伸强度条件
得
题2-21图
F
b（h2δ）
b[σ
45103
0.2506106
0.030m
（a）
由挤压强度条件
CbS
F
2bδ
[ObS]
由剪切强度条件
F
2b[os]
45103
20.25010
m0.009m9mm
106
（b）
F
τ
45103
2bl
百m0.090m90mm
20.250110
得
F
2b∏
取δ0.009m代入式（a）,
h（0.03020.009）m0.048m48mm
结论：
取
δ9mm,I90mm,h
48mm。
2-22图示接头，承受轴向载荷F作用。
已知铆钉直径d=20mm,许用应力
[]=160MPa,许用切应力[]=120MPa,许用挤压应力[bs]=340MPa。
板件与铆钉的材料相同。
试计算接头的许用载荷。
题2-22图
解：
1.考虑板件的拉伸强度由图2-22所示之轴力图可知,
Fn1F，Fn23F/4
FNIF
σLO
A1（bd）δ
F（bd）δO（0.200-0.020）0.015160106N4.32105N432kN
FN23FLl
σLO
A?
4（b2d）δ
F4（b2d）δO4（0.2000.040）0.015160106N5.12105N512kN
33
2.考虑铆钉的剪切强度
FS
F2πd2[T2
3•考虑铆钉的挤压强度
4d[σs]
FS
A
4F
8∏2
π0.0202120IO6N3.02IO5N302kN
bs
Fb
FL
d
[bs]
40.0150.020340IO6N
5
4.08105N408kN
结论：
比较以上四个F值，得
[F]302kN
2-23图a所示钢带AB，用三个直径与材料均相同的铆钉与接头相连接，钢带承受轴向载荷F作用。
已知载荷F=6kN,带宽b=40mm,带厚=2mm,铆钉直径d=8mm,孔的边距a=20mm,钢带材料的许用切应力[]=100MPa,许用挤压应力[bs]=300MPa，许用拉应力[]=160MPa。
试校核钢带的强度。
题2-23图
解：
1.钢带受力分析
分析表明，当各铆钉的材料与直径均相同，且外力作用线在铆钉群剪切面上的投影,过该面的形心时，通常即认为各铆钉剪切面的剪力相同。
Fb相同,
铆钉孔所受挤压力Fb等于铆钉剪切面上的剪力，因此，各铆钉孔边所受的挤压力钢带的受力如图b所示，挤压力则为
Fb
皿2.0103N
3
孔表面的最大挤压应力为
2.0
IO3N
d（0∙002m）（0.008m）
1.25
IO8Pa125MPa[bs]
在挤压力作用下，钢带左段虚线所示纵截面受剪（图
b），切应力为
2.0IO3N
2FI2（0.002m）（0∙020m）空
107Pa25MPa[]
钢带的轴力图如图C所示。
由图b与C可以看出，截面1-1削弱最严重，而截面力最大，因此，应对此二截面进行拉伸强度校核。
截面1-1与2-2的正应力分别为
2-2的轴
Fn12F
A13（b2d）
3
2（6103N）
3（0.040m20.008m）（0.002m）
83.3MPa
Fn2F
Ar（bd）
6103N
（0.040m0.008m）（0.002m）
93.8MPa
第三章轴向拉压变形
I=400mm，两端承受轴
3-2一外径D=60mm、内径d=20mm的空心圆截面杆，杆长
向拉力F=200kN作用。
若弹性模量E
=80GPa,泊松比
=0.30。
试计算该杆外径的改变量
D及体积改变量
解：
1.
由于
计算
F
EA，
AD
^D^
F
EA
故有
ΔD
FD
EA
1.79105m
εD
FD
EQ2d2）
0.0179mm
0.30200103
80109
Tt
0.060
（0.06020.0202）m
2.计算
变形后该杆的体积为
lA（ll
εD）2（dεd）2]Al（1
ε（1ε2V（1ε2ε）
故有
AVVV
V（ε2
4.00
107m3
εFL（I2μ
400mm3
200103
0400m3（120.3）
80109
3-4
图示螺栓,
拧紧时产生I=0.10mm
的轴向变形。
已知：
di=8.0mm,d2=6.8mm,
d3=7.0mm;
l1=6.0mm,
∣2=29mm,l3=8mm;E=210GPa,[]=500MPa。
试求预紧力F,并校
核螺栓的强度。
题3-4图
解：
1.求预紧力F
各段轴力数值上均等于F,因此，
F（l1l2l3）4F（l1l213）
E（AIA2A3）∏≡'d12dfdj
由此得
2.校核螺栓的强度
1865104N
18.65kN
π2101090.10103N
ylZ0.0060.0290.008、
4（222）
0.00820.006820.0072
CmaX
F
Amin
∏4π≡m2N5.14108Pa514MPa
此值虽然超过［σ,但超过的百分数仅为2.6%,在5%以内，故仍符合强度要求。
3-5图示桁架，在节点A处承受载荷F作用。
从试验中测得杆1与杆2的纵向正应变分别为ε1=4.0×10-4与ε2=2.0×10-4。
已知杆1与杆2的横截面面积A1=A2=200mm2，弹性
模量E1=E2=200GPa。
试确定载荷F及其方位角之值。
解：
1.求各杆轴力
FNIE1εAι2001094.0104200106N1.6104N16kN
Fn2E2εA22001092.0104200106N8103N8kN
2.确定F及θ之值
由节点A的平衡方程FX0和Fy0得
FN2sin30
FSinθFNISin300
FNICOS30
FN2cos30Fcosθ0
化简后，成为
FN1
Fn22Fsinθ
及
（b）
.3（FniFn2）2FCOSθ
联立求解方程（a）与（b）,得
tanθFNIFN2（168）1030.1925
√3（FniFn2）√3（168）103
由此得
θ10.8910.9
3
FFNIFNl（168）10N2.12104N21.2kN
2sinθ2sin1089
3-6图示变宽度平板，承受轴向载荷F作用。
已知板的厚度为，长度为I,左、右端的宽度分别为b1与b2,弹性模量为E。
试计算板的轴向变形。
Ai
斗
I£
1T
题3-6图
解：
对于常轴力变截面的拉压平板，其轴向变形的一般公式为
Δl
0EA（x）
Eb（x）
dx
b（x）
b1l
1X
代入式（a）,于是得
ΔF
l1
dx
Fl
lnb2
E
0δb1b2
b1x
Eδb2b
由图可知，若自左向右取坐标
X,则该截面的宽度为
3-7图示杆件，长为I，横截面面积为A，材料密度为，弹性模量为E，试求自重
下杆端截面B的位移。
d
J
I
1
题3-7图
解：
自截面B向上取坐标y,y处的轴力为
FNgAy
该处微段dy的轴向变形为
于是得截面B的位移为
dΔyIAydyψdy
gE
l
°ydy
g∣2
2E
3-8图示为打入土中的混凝土地桩，顶端承受载荷F,并由作用于地桩的摩擦力所支
A，
持。
设沿地桩单位长度的摩擦力为f,且f=ky2，式中，k为常数。
已知地桩的横截面面积为弹性模量为E，埋入土中的长度为I。
试求地桩的缩短量。
解：
1.轴力分析
摩擦力的合力为
根据地桩的轴向平衡，
由此得
截面y处的轴力为
2.地桩缩短量计算
Fylfdy
l2
0ky2dy
kl3
3
kl3
F
3
k
3F
l3
y
FNOfdy
y2
0ky2dy
ky
3
（a）
截面y处微段dy的缩短量为
dδ
FNdy
EA
积分得
将式（a）代入上式，于是得
IFNdy上ly3dy山
0EA3EA012EA
Fl
4EA
3-9图示刚性横梁AB,由钢丝绳并经无摩擦滑轮所支持。
设钢丝绳的轴向刚度（即产生单位轴向变形所需之力）为k,试求当载荷F作用时端点B的铅垂位移。
2
题3-9图
解：
载荷F作用后，刚性梁AB倾斜如图（见图3-9）。
设钢丝绳中的轴力为FN，其总伸长
FNa
F
B
P-
由此得
由图3-9可以看出,
Δ∣
Fn（ab）F（2ab）
（2ab）
AlAy2a
（ab）（2ab）
Δl
可见,
（b）
根据k的定义，有
于是得
3-10
位移。
（a）解：
利用截面法,
FNkΔlkΔy
FN
图示各桁架，各杆各截面的拉压刚度均为EA,试计算节点A的水平与铅垂
求得各杆的轴力分别为
Fn2F（拉力）
Fw2F（压力）
FN30
于是得各杆的变形分别为
∣1∣2EA（伸长）
14=2fl（伸长）
EAEA
∣30
如图3-10
（1）所示，根据变形Ii与∣4确定节点B的新位置B',然后，过该点作长为1+∣2的垂线，并过其下端点作水平直线，与过A点的铅垂线相交于A',此即结构变形后节点A的新位置。
于是可以看出，节点A的水平与铅垂位移分别为
Δxx0
∣12∣4
F∣
EA212IA
（2）
FniF（拉力）
FN20
于是由图3—10
（2）可以看出，节点A的水平与铅垂位移分别为
∣1
Fl
EA
∣1
Fl
EA
E,
3-11图示桁架ABC，在节点B承受集中载荷F作用。
杆1与杆2的弹性模量均为
横截面面积分别为A1=320mm2与A2=2580mm2。
试问在节点B和C的位置保持不变的条件下，
为使节点B的铅垂位移最小,
解：
1.求各杆轴力
由图3-11a得
FN1
Sinθ
Fn2FCtanθ
图3-11
2.求变形和位移
由图3-11b得
Fni∣i2F∣2Fn2∣2F∣2Ctanθ
Δl1,Δl2=∙
EA1EASin2θEA2EA2
及
馆ΔιΔ2F∣2（2ctan2B）
ySinθtanθEA1sin2θsinθA2
3.求θ的最佳值
由dΔy/dθO,得
2
2（2cos2θinθCOSθsin2θ）2ctanθCSCθO
29U
A1Sin2θsinθA
由此得
32
2A1cosθA2（13cosθ）0
将A1与A2的已知数据代入并化简，得
COS3θ12∙09375cos2θ4.031250
解此三次方程，舍去增根，得
cosθ0564967
由此得θ的最佳值为
θpt55.6
3-12图示桁架，承受载荷F作用。
设各杆的长度为I,横截面面积均为A,材料的
应力应变关系为n=B,其中n与B为由试验测定的已知常数。
试求节点C的铅垂位移。
解：
两杆的轴力均为
轴向变形则均为
于是得节点C的铅垂位移为
F
2cos
Fnχ
2AcosB
cos
Fnl
2nAnBcosn1
3-13
图示结构，梁BD为刚体，杆1、杆2与杆3的横截面面积与材料均相同。
在
题3-13图
梁的中点C承受集中载荷F作用。
已知载荷F=20kN,各杆的横截面面积均为A=Ioomm2,弹性模量E=200GPa,梁长I=1000mm。
试计算该点的水平与铅垂位移。
解：
1.求各杆轴力
由FX0,得
FN20
由Fy0，得
FNIFN3IIOkN
2.求各杆变形
Δl20
AhFN^
1EA
3.求中点C的位移由图3-13易知，
101031∙0006m5.010-4m0.50mmA3
Δδ∣1
200109100106
3-14图a所示桁架，承受载荷F作用。
设各杆各截面的拉压刚度均为EA,试求节点B与C间的相对位移b/c。
题3-14图
解：
1.内力与变形分析
利用截面法，求得各杆的轴力分别为
FN1FN2
FN3FN4
（拉力）
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