高考数学二轮复习专题17排列组合二项式定理教学案理Word文档下载推荐.docx
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【解析】
7．【xx山东，理11】已知的展开式中含有项的系数是，则.
【答案】
【解析】由二项式定理的通项公式
，令得：
，解得．
二．高考研究
【考纲解读】
1.考纲要求
排列、组合、二项式定理
（1）分类加法计数原理、分步乘法计数原理：
①理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理；
②会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题.
（2）排列与组合
①理解排列、组合的概念.
②能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.
③能解决简单的实际问题.
（3）二项式定理
①能用计数原理证明二项式定理.
②会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
2.命题规律：
（1）排列、组合与二项式定理每年交替考查，主要以选择、填空的形式出现，试题难度中等或偏易.
（2）排列、组合试题具有一定的灵活性和综合性，常与实际相结合，转化为基本的排列组合模型解决问题，需用到分类讨论思想，转化思想.排列与组合问题一直是高考数学的热点内容之一．从近几年的高考试题统计分析来看，对排列与组合知识的考查均以应用题的形式出现，题型为选择题、填空题，题量最多是一道，分值为5分，属于中档题．内容以考查排列、组合的基础知识为主．高考中对本讲注重基础知识和基本解题方法、规律的考查,以及运算能力的考查,基本都为中等难度试题.最近几个年份考查多少不一.
（3）与二项式定理有关的问题比较简单，但非二项问题也是今后高考的一个热点，解决此类问题的策略是转化思想.考查的重点是二项式定理的通项公式、二项式系数及项的系数；
以考查基本概念、基础知识为主，如系数和、求某项的系数、求常数项、求有理项、求所含参数的值或范围等；
难度不大，属于中档题和容易题，题型为选择题或填空题．
3．学法导航
1.切实理解“完成一件事”的含义，以确定需要分类还是需要分步进行．分类时要做到不重不漏．对于复杂的计数问题，可以分类、分步综合应用．
2.要能够写出所有符合条件的排列或组合，尽可能使写出的排列或组合与计算的排列数相符，使复杂问题简单化，这样既可以加深对问题的理解，检验算法的正确与否，又可以对排列数或组合数较小的问题的解决起到事半功倍的效果．
3．解排列、组合的综合应用问题，要按照“先选后排”的原则进行，即一般是先将符合要求的元素取出（组合），再对取出的元素进行排列，常用的分析方法有：
元素分析法、位置分析法、图形分析法．要根据实际问题探索分类、分步的技巧，做到层次清楚，条理分明．区分排列、组合问题主要是判断“有序”和“无序”，更重要的是弄清怎样的算法有序，怎样的算法无序，关键是在计算中体现“有序”和“无序”．
递推公式转化为：
，其中，再利用换元法转化为等比数列求解.
4.组合问题常有以下两类题型变化：
（1）“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：
“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；
“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．
（2）“至少”或“最多”含有几个元素的题型：
解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解．通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．
5．运用二项式定理一定要牢记通项，注意与虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不相同的，我们一定要注意顺序问题.另外二项展开式的二项式系数与该项的（字母）系数是两个不同的概念，前者只指，而后者是字母外的部分，对于二项式系数问题，应注意以下几点：
①求二项式所有项的系数和，可采用“特殊值取代法”，通常令字母变量的值为1；
②关于组合恒等式的证明，常采用“构造法”——构造函数或构造同一问题的两种算法；
③证明不等式时，应注意运用放缩法.求二项展开式中指定的项，通常是先根据已知条件求，再求，有时还需先求，再求，才能求出.有些三项展开式问题可以变形为二项式问题加以解决；
有时也可以通过组合解决，但要注意分类清楚，不重不漏.对于二项式系数问题，首先要熟记二项式系数的性质，其次要掌握赋值法，赋值法是解决二项式系数问题的一个重要手段.近似计算要首先观察精确度，然后选取展开式中若干项.用二项式定理证明整除问题，一般将被除式变为有关除式的二项式的形式再展开，常采用“配凑法”“消去法”配合整除的有关知识来解决.
主干整合归纳扩展
一．基础知识整合
基础知识：
1.应用两个计数原理解题的方法
（1）在应用分类计数原理和分步计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类计数原理．
（2）对于复杂的两个原理综合使用的问题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、直观化．
2.排列、组合数公式及相关性质
（1）排列数公式：
；
.
（2）组合数公式
（3）排列数与组合数的性质
排列:
组合:
.
3.二项式定理
，这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做的二项展开式，其中的系数（）叫做二项式系数．式中的叫做二项展开式的通项，用表示，即展开式的第项；
4．二项展开式形式上的特点
（1）项数为.
（2）各项的次数都等于二项式的幂指数，即与的指数的和为.
（3）字母按降幂排列，从第一项开始，次数由逐项减1直到零；
字母按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到.
（4）二项式的系数从，，一直到，.
5.二项式系数的性质
（1）对称性：
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即，，，.
（2）增减性与最大值：
二项式系数，当时，二项式系数是递增的；
由对称性知：
当时，二项式系数是递减的．当是偶数时，中间的一项取得最大值．当是奇数时，中间两项和相等，且同时取得最大值．
（3）各二项式系数的和
的展开式的各个二项式系数的和等于，即
，二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即
二．高频考点突破
考点1分类计数原理与分步计数原理
【例1】将3本相同的诗集，2本相同的小说全部分给4名同学，每名同学至少1本，则不同的分法有（）
A．24种B．28种C．32种D．36种
【分析】本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，属于难题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.
【规律方法】1.计数问题中如何判定是分类加法计数原理还是分步乘法计数原理：
如果已知的每类方法中的每一种方法都能单独完成这件事，用分类加法计数原理；
如果每类方法中的每一种方法只能完成事件的一部分，用分步乘法计数原理．
2.利用分类计数原理解决问题时：
（1）将一个比较复杂的问题分解为若干个“类别”，先分类解决，然后将其整合，如何合理进行分类是解决问题的关键．
（2）要准确把握分类加法计数原理的两个特点：
①根据问题的特点确定一个合适的分类标准，分类标准要统一，不能遗漏；
②分类时，注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，不能重复；
③对于分类问题所含类型较多时也可考虑使用间接法．
3.利用分步乘法计数原理解决问题时要注意：
（1）要按事件发生的过程合理分步，即考虑分步的先后顺序．
（2）各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步骤都完成才算完成这个事件．
（3）对完成各步的方法数要准确确定．
4.用两个计数原理解决计数问题时，关键是明确需要分类还是分步．
（1）分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．
（2）分步要做到“步骤完整”，只有完成了所有步骤，才完成任务，根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数．
（3）对于复杂问题，可同时运用两个计数原理或借助列表、画图的方法来帮助分析，使问题形象化、直观化．
（4）在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类加法计数原理．
5.在解决具体问题时，首先必须弄清楚是“分类”还是“分步”，接着还要搞清楚“分类”或者“分步”的具体标准是什么．
5.
（1）分类加法计数原理在使用时易忽视每类做法中每一种方法都能完成这件事情，类与类之间是独立的．
（2）分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分，而未完成这件事，步步之间是相关联的．
6.分类加法计数原理的两个条件：
（1）根据问题的特点能确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；
（2）完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同类的两种方法是不同的方法，只有满足这些条件，才可以用分类加法计数原理．
分步乘法计数原理的两个条件：
（1）明确题目中的“完成这件事”是什么，确定完成这件事需要几个步骤，且每步都是独立的．
（2）将完成这件事划分成几个步骤来完成，各步骤之间有一定的连续性，只有当所有步骤都完成了，整个事件才算完成，这是分步的基础，也是关键．从计数上来看，各步的方法数的积就是完成事件的方法总数．
【举一反三】【xx江西南昌摸底】某校毕业典礼由6个节目组成，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：
节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起，则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有
A.种B.种C.种D.种
【答案】A
考点2排列、组合及性质
【例2】化简:
+2+3+…+n=．
分析：
通过组合数性质=将原式转化成相同的系数，然后利用性质
可化简原式得到.
解析：
=，原式=+n+n+n+…+n=
++++…+）=．
【规律方法】通过观察式子的结构，利用排列数和组合数的相关性质及二项式系数的相关性质以含有排列、组合数结构的代数式进行化简，有时需要拆分、拼凑项来进行结构重组.
【举一反三】设
，且，其中当为偶数时，；
当为奇数时，．
（1）证明：
当，时，；
（2）记
，求的值．
考点3排列、组合的应用
【例3】从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（）
A．40种B．60种C．100种D．120种
【答案】B
【解析】先排星期五,从人中选人有,种,再从剩下的人中选人参加星期六、星期日,有种,故共有种,选B.
【规律方法】1.解答排列组合应用题要从“分析”“分辨”“分类”“分步”的角度入手．
（1）“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”；
（2）“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有无限制等；
（3）“分类”就是对于较复杂的应用题中的元素往往分成互斥的几类，然后逐类解决；
（4）“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列组合问题，然后逐步解决．
2.解决排列组合问题的13个策略.
（1）特殊元素、特殊位置优先法；
（2）相邻问题捆绑法；
（3）不相邻（相间）问题插空法；
（4）多排问题单排法；
（5）多元问题分类法；
（6）有序分配问题分步法；
（7）交叉问题集合法；
（8）至少或至多问题间接法；
（9）选排问题先选后排法；
（10）局部与整体问题排除法；
（11）复杂问题转化法；
（12）定序问题倍缩法；
（13）相同元素分组可采用隔板法.
3.对解组合问题，应注意以下四点：
（1）对“组合数”恰当的分类计算，是解组合题的常用方法；
（2）是用“直接法”还是“间接法”解组合题，其原则是“正难则反”；
（3）设计“分组方案”是解组合题的关键所在；
（4）分组问题：
要注意区分是平均分组还是非平均分组，平均分成n组问题别忘除以n！
【举一反三】【xx黑龙江齐齐哈尔一模】由1、2、3、4、5、6、7七个数字组成七位数，要求没有重复数字且6、7均不得排在首位与个位，1与6必须相邻，则这样的七位数的个数是（）
A.300B.338C.600D.768
考点4二项式定理及应用
【例4】已知二项式的展开式中的系数为，则的值为（）
A.B.C.D.
【分析】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：
（1）求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.
（2）已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.
【规律方法】1.二项定理问题的处理方法和技巧:
⑴运用二项式定理一定要牢记通项，注意与虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不同的，一定要注意顺序问题，另外二项展开式的二项式系数与该项的（字母）系数是两个不同的概念，前者只指，而后者是字母外的部分．前者只与和有关，恒为正，后者还与，有关，可正可负．
⑵对于二项式系数问题，应注意以下几点：
③证明不等式时，应注意运用放缩法.
⑶求二项展开式中指定的项，通常是先根据已知条件求，再求，有时还需先求，再求，才能求出.
⑷有些三项展开式问题可以变形为二项式问题加以解决；
有时也可以通过组合解决，但要注意分类清楚，不重不漏.
⑸对于二项式系数问题，首先要熟记二项式系数的性质，其次要掌握赋值法，赋值法是解决二项式系数问题的一个重要手段.
⑹近似计算要首先观察精确度，然后选取展开式中若干项.
⑺用二项式定理证明整除问题，一般将被除式变为有关除式的二项式的形式再展开，常采用“配凑法”“消去法”配合整除的有关知识来解决.
多项式乘法的进位规则:
在求系数过程中,尽量先化简，降底数的运算级别,尽量化成加减运算，在运算过程可以适当注意令值法的运用，例如求常数项，可令.在二项式的展开式中，要注意项的系数和二项式系数的区别.
2.排列组合在二项展开式中的应用：
展开式可以由次数、项数和系数来确定．
（1）次数的确定：
从个相同的中各取一个（或）乘起来，可以构成展开式中的一项，展开式中项的形式是，其中.
（2）项数的确定：
满足条件的共组．
即将展开共项，合并同类项后共项．
（3）系数的确定：
展开式中含（）项的系数为（即个，个的排列数）因此展开式中的通项是：
（）
这种方法比数学归纳法推导二项式定理更具一般性和创造性，不仅可二项展开，也可三项展开，四项展开等．
3.求几个二项式积的展开式中某项的系数或特定项时，一般要根据这几个二项式的结构特征进行分类搭配，分类时一般以一个二项式逐项分类，分析其他二项式应满足的条件，然后再求解结果．
4.求展开式系数最大项：
如求（）的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为，且第项系数最大，应用从而解出k来，即得．
5.
（1）利用二项式定理解决整除问题时，关键是进行合理地变形构造二项式，应注意：
要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可．
（2）求余数问题时，应明确被除式与除式（），商式与余式的关系及余式的范围．
（3）展开式中常数项、有理项的特征是通项中未知数的指数分别为零和整数．解决这类问题时，先要合并通项中同一字母的指数，再根据上述特征进行分析．
（4）有关求二项展开式中的项、系数、参数值或取值范围等，一般要利用通项公式，运用方程思想进行求值，通过解不等式（组）求取值范围．
【举一反三】【xx陕西两校联考】的展开式中的系数是（）
A.56B.84C.112D.168
考点5赋值法在二项式定理中的应用
【例5】若
，则的值为（）
A．B．C．253D．126
【分析】赋值法研究二项式的系数和问题：
“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如（ax＋b）n、（ax2＋bx＋c）m（a，b∈R）的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；
对形如（ax＋by）n（a，b∈R）的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可.
【解析】令，得，，∴.选C．
【规律方法】二项式定理是一个恒等式，使用时有两种思路：
一是利用恒等定理（两个多项式恒等，则对应项系数分别相等）；
二是赋值．二项式定理结合“恒等”与“赋值”两条思路可以使很多求二项展开式的系数的问题迎刃而解．
赋值法是处理组合数问题、系数问题的最有效的经典方法，一般对任意，某式子恒成立，则对中的特殊值，该式子一定成立，特殊值如何选取视具体情况决定，灵活性较强，一般取居多.若
则设.有：
①②
③
④
⑤
【举一反三】【xx东北名校联考】若
，则
（）
A.B.C.D.
考点6二项式定理与其他知识交汇
【例6】若，则展开式中常数项为（）
A．B．C．D．
【解析】因为，所以，，常数项为
，故选B.
【规律方法】二项式定理内容的考查常出现二项式内容与其它知识的交汇、整合，这是命题的一个创新方向．如二项式定理与函数、数列、复数，不等式，三角等其他知识点综合成题时，对其他模块的知识点要能熟练运用.
【举一反三】若变量满足约束条件
，，则取最大值时，二项展开式中的常数项为.
【解析】画出不等式组表示平面区域如图,由图象可知当动直线经过点时,取最大值.当时,故由二项式展开式的通项公式
由题设可得,所以展开式中的常数项是,故应填答案.
原创预测考题探究
1.xx年3月全国两会在北京召开，现从A组4人和B组5人中任取3人参加一项议程讨论，在取出的3人中至少有A组和B组各一人的不同取法有
（A）35种（B）70种C.80种D.140种
押题依据本题主要考查分类计数原理、排列组合知识在实际中的应用，考查学生分类讨论的思想和逻辑运算变换的能力.本题是一个常规题,但考查的知识基础,有一定的综合性,符合小题综合化的高考要求.
2.设有序集合对满足：
，.记，分别表示集合，中元素的个数，则符合条件，的集合的对数是（）
A．B．C．D．
【解析】由条件，，知，.当，时，显然不成立；
当，时，则，，所以，，符合条件的集合对有1对；
当，时，则，，所以中的另一个元素从剩下6个数中选一个，故符合条件的集合对有对；
当，时，则，，所以中的另两个元素从剩下6个数中选2个，故符合条件的集合对有对；
当，时，则，，矛盾；
由对称性，剩下的几种情况类似，故符合条件的集合的对数是对，选D.
押题依据本题主要考查两个计数原理、排列组合的灵活应用，意在考查考生的分类讨论的数学思想方法，综合分析问题的能力.本题与集合结合出题,构思比较新.
3.某同学要用红、黄两种颜色给如下图中并排的七个矩形图形涂色，要求每一块矩形只涂一种颜色，要求任意两相邻的两块矩形至多有1块涂红色，且任意相邻三块矩形至少有一块矩形涂红色，则涂色方案有___________种．
【答案】12
押题依据本题主要考查计数原理的应用等基础知识，意在考查考生的理解能力，分析问题，解决问题能力及运算能力.涂色问题是高考常考题型，故选此题.
4.若已知（）展开式中二项式系数的和为256，则该展开式中含项的系数为．
【答案】112
【解析】由题知=256，所以=8，所以==，所以=-1，解得=6，所以展开式中含项的系数为=112．
押题依据 本题考查二项式定理，赋值法求系数和等基础知识，意在考查分析问题、解决问题的能力、基本运算能力及推理能力，本题是一个传统题型，也是高考常考题型，故押此题.
5.【xx年第三次全国大联考（新课标卷Ⅰ）】若
，其中，则的值为.
押题依据 本题考查二项式定理，定积分求值，赋值法求系数和等基础知识，意在考查分析问题、解决问题的能力、基本运算能力及推理能力，二项式定理，定积分结合出题，在高考中曾经出现过，故押此题.
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