哈尔滨工业大学2010《现代控制理论基础》考试题A卷及答案.doc

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哈尔滨工业大学现代控制理论基础（A卷答案）班号：

姓名：

一．（本题满分10分）

如图所示为一个摆杆系统，两摆杆长度均为，摆杆的质量忽略不计，摆杆末端两个质量块（质量均为）视为质点，两摆杆中点处连接一条弹簧，与分别为两摆杆与竖直方向的夹角。

当时，弹簧没有伸长和压缩。

水平向右的外力作用在左杆中点处，假设摆杆与支点之间没有摩擦与阻尼，而且位移足够小，满足近似式，。

（1）写出系统的运动微分方程；

（2）写出系统的状态方程。

【解】

（1）对左边的质量块，有

对右边的质量块，有

在位移足够小的条件下，近似写成：

即

（2）定义状态变量

，，，

则

或写成

二．（本题满分10分）

设一个线性定常系统的状态方程为，其中。

若时，状态响应为；时，状态响应为。

试求当时的状态响应。

【解答】系统的状态转移矩阵为，根据题意有

合并得

求得状态转移矩阵为

当时的状态响应为

三．（本题满分10分）

已知某系统的方块图如下，

回答下列问题：

（1）按照上图指定的状态变量建立状态空间表达式；

（2）确定使系统状态完全能控且完全能观时，参数的取值范围。

【解答】

（1）系统的状态空间表达式为

（2）使系统状态完全能控且完全能观时，参数且。

四．（本题满分10分）

离散系统的状态方程为

（1）是否存在一个有限控制序列，使得系统由已知的初始状态，转移到，？

试给出判断依据和判断过程。

（2）若存在，求的最小值及控制序列。

【解答】

（1）由题意，

，，，，由系统能控性的定义可知：

存在有限控制序列，使得在有限时间内由状态初值转移到零。

（2）由系统状态完全能控的性质可知，此系统为二阶系统，可用适当的，，使得，即的最小值为1。

根据状态方程进行递推如下：

，

由上面最后一步可得

即

即，。

五．（本题满分10分）

对下列系统

试设计一个状态反馈控制器，满足以下要求：

闭环系统的阻尼系数；阶跃响应的峰值时间等于3.14秒。

【解答】

假设状态反馈控制律为，代入状态方程得闭环系统

闭环特征多项式为

根据题意的要求，，，，期望特征多项式为

根据多项式恒等的条件可得：

解得

状态反馈控制律为。

六．（本题满分10分）

设系统的状态空间表达式为

若该系统的状态不可测量，试设计一个降维状态观测器，使降维观测器的极点为，要求写出降维观测器动态方程，并写出状态的估计方程。

【解答】将状态空间表达式写成：

进一步写成

设降维观测器方程为

引入中间变量，两边求导数得

根据题意，降维观测器的极点为-10，即，解得。

最终得到降维观测器的动态方程为

状态估计的表达式为。

七.（本题满分10分）

证明对于线性定常系统的线性变换，其传递函数（矩阵）保持不变。

【证明】设原线性系统为

其传递函数矩阵为

设线性变换为，变换后的线性系统为

该系统的传递函数矩阵为

显然，，即其传递函数（矩阵）保持不变。

证毕

八.（本题满分10分）

某2阶非线性系统的状态方程为，证明该系统在坐标原点处渐近稳定。

【证明】

取李雅普诺夫函数，显然是正定函数；此外，沿着状态轨线的导数为：

令函数，则，关于的二次方程的根的判别式为

，，。

则有，所以表达式恒小于零，因此，为负定。

所以该系统在坐标原点处渐近稳定。

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