数学分析下二元函数的极限课后习题.docx
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数学分析下二元函数的极限课后习题
第二节二元函数的极限
1、试求以下极限（包含非正常极限）：
（1）
lim
x2y2
（2）
lim
1+x2+y2
；
2
2；
2
2
（x,y）（0,0）
x+y
（x,y）（0,0）
x+y
（3）
lim
x2+y2
；
（）
lim
xy+1
；
44
1+x2+y2
4
x+y
（x,y）（0,0）
-1
（x,y）（0,0）
（5）
lim
1
；
（）
lim
（x+y）sin
21
2
；
2x-y
6
x+y
（x,y）（1,2）
（x,y）（0,0）
（7）
lim
sin（x2+y2）
x2+y2.
2
+y
2
（x,y）（0,0）
x
2、议论以下函数在点（0,0）的重极限与累次极限：
（1）f（x,y）=
y2
；
（2）f（x,y）=（x+y）sin
1
sin
1
；
22
x
y
x+y
x2y2
x3+y3
（3）f（x,y）=x2y2+（x-y）2
；
（4）f（x,y）=x2+y
；
1
x2y2
（5）f（x,y）=ysinx
；
（6）f（x,y）=x3+y3
；
ex-ey
（7）f（x,y）=sinxy.
。
。
3、证明：
若1
lim
f（x,y）存在且等于A；2y在b的某邻域内，有limf（x,y）=（y）
（x,y）（a,b）
x
a
则
lim
limf（x,y）=A.
yb
xa
4、试应用ε—δ定义证明
x2y
lim22=0.
（x,y）（0,0）x+y
5、表达并证明：
二元函数极限的独一性定理、局部有界性定理与局部保号性定
理.
6、试写出以下种类极限的精准定义：
（1）
lim
f（x,y）=A
；
（）
f（x,y）=A.
（x,y）
）
2
lim
）
（
（x,y）
（0,
7、试求以下极限：
（1）
lim
x2+y2
；
（）
lim
2
2
-（x+y）；
44
（x,y）
）
x+y
2
（x,y）
（x
+y）e
（
（
）
（1+1
1+1
x2
（3）
lim
）xsiny
；
（4）
lim
xy
.
（x,y）
（
）
xy
（x,y）
（
0）
x
8、试作一函数f（x,y）使当x
+,y+
时，
（1）两个累次极限存在而重极限不存在；
（2）两个累次极限不存在而重极限存在；
（3）重极限与累次极限都不存在；
（4）重极限与一个累次极限存在，另一个累次极限不存在.
9、证明定理16.5及其推论3.
10、设f（x,y）在点P0（x0,y0）的某邻域U。
（P0）上有定义，且知足：
。
（i）在U（P0）上，对每个y≠y0，存在极限limxx0f（x,y）=ψ（y）；
。
P
lim
f（x,y）=
0，存
（ii）在U
（0
）上，对于x一致地存在极限yy0
（x）（即对随意ε>
。
），都有|f（x,y）-（x）|<
在δ>0，当0<|y-y0|<δ时，对全部的x，只需（x,y）∈U（P0
建立）.
试证明
lim
lim
f（x,y）=
lim
lim
f（x,y）.
xx0
yy0
yy0
xx0
1．计算以下二重积分：
（1）
xy2d
，此中D由抛物线y2
2px与直线x
p（p
0）
D
2
（2）
（x2
y2）d，此中D（x,y）|0x1,x
y
2x
所围成的地区；
；
D
（3）
D
（4）
D
d
（a0）
，此中为图21-9中暗影部分；
2a
x
xd
，此中D
（x,y）|x2
y2
x；
2
p
2
p
1p
2
p2
y
2
1
5
2
2
解
（1）
xyd
=
ydy
y2
xdx=
2
y
[（
）
（
）
]dy
p
D
p
2p
p
2
2p
21
（2）（x2
y2）d=
dx
（x2
y2）dy=
5
3
128
1
2
x
1
3
105
D
0
x
0
a
a
a2
（xa）2
a
3
（3）
dxdy
dx
1
dy=
a
x）dx
（22
8）a2
0
0
（
D
2a
x
2a
x
0
2a
x
3
（4）
xd
=
1
dx
x
x2
xdy=2
1
x
1
xdx
8
0
x
x2
0
15
D
2．求由坐标平面及
x
2,y
3,xy
z
4
所围成的角柱体的体积.
解：
角柱体如下图，暗影部分为角柱体在
xy平面上的投影地区
D.
V
zdxdy
（4
x
y）dxdy
于是DD
1
3
x
y）dy
2
4
x
55
dx
（4
dx
（4xy）dy
6.
0
0
1
0
cosx
dxdy，此中D是由
2
yx所围成的地区。
3
1
y
x及
．（）计算二重积分
D
x
x
（2）计算二重积分
eydxdy，此中D由y
x,y
1,y2,x0围成。
D
（1）解：
cosxdxdy
D
x
1
xcosx
dx
x
dy
0
x2
11
cosxdxxcosxdx
00
1cos1。
（2）解:
（联合图形）
x
2
y
x
2
x
dy
eydx
y）0ydy
eydxdy
1
（ye
D
1
0
2
y（e
1
1）dy
1
（e
1
1）y
2
2
3
1
1）
1
（e
2
1
2
4．计算二重
I
x[1
ysin（x2
y2）]dxdy，此中D是由yx3,y1,x
1所围成的
D
地区。
解：
作图y=-x3分地区D为D1
和D2，
利用对称性知：
I
xysin（x2
y2）]dxdy
0，Ixysin（x2
y2）]dxdy
0，
D1
D2
则I=
xdxdy
xy
x
2
y
2
dxdy
sin（
）
D
xdxdy
D
xdxdyxdxdy
D1D2
xdxdy
D1
0x3
=2xdxdy
10
0
x4dx
=2
1
2
。
=
5
5．计算第二型曲线积分
xdy
ydx，为随意包含原点（不经过原点）的有界闭地区
x2
y2
的界限曲线，逆时针方向。
解:
P=
y
，Q=x2
x
，
所围地区D，
x2
y2
y2
因为函数
Q和P在地区D内的原点不连续，且不拥有连续的一阶偏导数，
作D
x,y
x2
y2
2
D，界限为
D，规定方向为顺时针方向。
x
y
P
Q
2
2
Q=
2
y
2
P=
x
2
y
2
且
y
x
y
x
（x2
y2）2
x
则
xdy
ydx
x2
y2
xdy
ydx
xdy
ydx
D
x2
y2
D
x2
y2
由格林公式有
PdxQdy
xdy
ydx
0，
2
2
D
D
D
x
y
xdy
ydx
xdy
ydx
xdy
ydx
x2
y2
D
x2
y2
D
x2
y2
因为
D是逆时针方向，令x
cos,y
sin
，此中
从0变化到2
，则
xdy
ydx
2
2
2d
2
x
2
2
D
y
0
6．利用Green公式计算以下积分：
（x2
y）dx
（xsin2y）dy，此中L是圆周x2
y2
2x
L
的上半部分，方向从（
0,0）到点（2,0）；
解：
记O（0，0），A（2,0）.位于x轴上的线段AO与L合起来形成关闭曲线，关闭曲线所
围的区域设为D，且AO的方程为y0,x:
2
0.
x2
2
记P
y,Qx
siny,则
P1,Q1，
yx
于是利用Green公式得
（x2
y）dx（xsin2y）dy=
2dxdy.
LAo
D
所以
（x2
2
y）dx
（x
siny）dy
L
（x2
y）dx
2
（x2
2
=
（xsiny）dy
y）dx（xsiny）dy
LAO
AO
0
2dx
=
x
2
=
8
.
3
7．应用格林公式计算以下曲线积分；
（1）
（x
y）2dx
（x2
y2）dy，此中L是以A（1,1）,B（3,2）,C（2,5）为极点的三角形，方
L
向取正向；
（2）
AB
（exsiny
my）dx
（ex
cosy
m）dy，此中m为常数，AB为由（a,0）到（0,0）经
过圆x2
y2
ax上半部的路线.
（3）应用格林公式计算曲线积分
:
xy2dxx2ydy此中L为上半圆周x2
y2
a2从（a,0）
L
到（a,0）的一段.
解
（1）作图：
AB的方程为:
y
1（x
1）（1x
3）,
2
BC的方程为:
y
3x
11（2
x
3）
CA的方程为:
y
4x
3（1
x
2）,
设P（xy）2,Q
（x2
y2）,则Q
P
2x2（xy）
4x2y.
x
y
把三角形域分红两部分
S1和S2,于是
原式=
（4x2y）d
（
）（4x2y）d
S
S1
S2
2
4x
3
3
3x11
=1
dx1（x1）（4x2y）dy
2
dx1（x1）
（4x2y）dy
2
2
2
119
2
77
x
35
3
21
2
49
483
2
=
（
x
）dx
（x
x
）dx
46.
1
4
2
2
2
4
2
4
3
（2）在Ox轴上连结点O（0,0）与点
A（a,0）这样就构成关闭的半圆形
AOA,且在线段OA
上,y0,dy
0于是
（
e
x
sin
y
）
dx
（
e
xcos
y
）
0.
my
mdy
OA
而
.由格林公式得
:
AOA
AO
AOAO
（exsiny
my）dx
（ex
cosy
m）dy
mdxdy
m
1
（a）2
ma2
AOA
D:
x2
y2ax
2
2
8
所以,原式=m
a2
.
8
（3）解以a为半径的上半圆域
D,应用格林公式有
4xyd
xy2dx
x2ydy
xy2dx
x2ydy
BA
xy2dx
x2ydy
D
L
L
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