版高中数学苏教版必修一学案222 函数的奇偶性Word格式.docx
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梳理 判断函数奇偶性要注意定义域优先原则，即首先要看定义域是否关于________对称．
类型一 证明函数的奇偶性
命题角度1 已知函数解析式，证明奇偶性
例1
（1）证明f（x）＝
既非奇函数又非偶函数；
（2）证明f（x）＝（x＋1）（x－1）是偶函数；
（3）证明f（x）＝
＋
既是奇函数又是偶函数．
反思与感悟 利用定义法判断函数是否具有奇偶性时，首先应看函数定义域是否关于原点对称，即对于定义域内的任意一个x，则－x也一定属于定义域．
跟踪训练1
（1）证明f（x）＝（x－2）
（2）证明
命题角度2 证明分段函数的奇偶性
例2 判断函数f（x）＝
的奇偶性．
反思与感悟 分段函数也是函数，证明奇偶性也是抓住两点
（1）定义域是否关于原点对称．
（2）对于定义域内的任意x，是否都有f（－x）＝f（x）（或－f（x）），只不过对于不同的x，f（x）有不同的表达式，要逐段验证是否都有f（－x）＝f（x）（或－f（x））．
跟踪训练2 证明f（x）＝
是奇函数．
命题角度3 证明抽象函数的奇偶性
例3 f（x），g（x）是定义在R上的奇函数，试判断y＝f（x）＋g（x），y＝f（x）g（x），y＝f[g（x）]的奇偶性．
反思与感悟 利用基本的奇（偶）函数，通过加减乘除、复合，可以得到新的函数，判断这些新函数的奇偶性，主要是代入－x，看总的结果．
跟踪训练3 设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论中正确的是______．（填序号）
①f（x）g（x）是奇函数；
②f（x）g（x）是偶函数；
③|f（x）|g（x）是偶函数；
④f（x）|g（x）|是奇函数．
类型二 奇偶性的应用
命题角度1 奇（偶）函数图象的对称性的应用
例4 定义在R上的奇函数f（x）在[0，＋∞）上的图象如图所示．
（1）画出f（x）的图象；
（2）解不等式xf（x）>
0.
引申探究
将本例中的“奇函数”改为“偶函数”，重做该题．
反思与感悟 鉴于奇（偶）函数图象关于原点（y轴）对称，可以用这一特性去画图，求值，求解析式，研究单调性．
跟踪训练4 已知奇函数f（x）的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如图所示．
（1）画出在区间[－5,0]上的图象；
（2）写出使f（x）<
0的x的取值集合．
命题角度2 利用函数奇偶性的定义求值
例5
（1）若函数f（x）＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1,2a]，则a＝________，b＝________.
（2）函数f（x）是定义域为R的奇函数，当x>
0时，f（x）＝－x＋1，求当x<
0时f（x）的解析式．
反思与感悟 函数奇偶性的定义有两处常用
（1）定义域关于原点对称．
（2）对定义域内任意x，恒有f（－x）＝f（x）（或－f（x））成立，常用这一特点得一个恒成立的等式，或对其中的x进行赋值．
跟踪训练5 已知函数f（x）＝
为奇函数，则a＋b＝________.
1．函数f（x）＝0（x∈R）的奇偶性是________．
2．函数f（x）＝x（－1<
x≤1）的奇偶性是________．
3．已知函数y＝f（x）＋x是偶函数，且f
（2）＝1，则f（－2）＝________.
4．若函数f（x）＝（m－1）x2＋（m－2）x＋m2－7m＋12为偶函数，则m的值是________．
5．下列说法错误的是________．（填序号）
①图象关于原点对称的函数是奇函数；
②图象关于y轴对称的函数是偶函数；
③奇函数的图象一定过原点；
④偶函数的图象一定与y轴相交．
1．两个定义：
对于f（x）定义域内的任意一个x，如果都有f（－x）＝－f（x）⇔f（－x）＋f（x）＝0⇔f（x）为奇函数；
如果都有f（－x）＝f（x）⇔f（－x）－f（x）＝0⇔f（x）为偶函数．
2．两个性质：
函数为奇函数⇔它的图象关于原点对称；
函数为偶函数⇔它的图象关于y轴对称．
3．证明一个函数是奇函数，必须对f（x）的定义域内任意一个x，都有f（－x）＝－f（x）．而证明一个函数不是奇函数，只要能举出一个反例就可以了．
答案精析
问题导学
知识点一
思考 ①②关于y轴对称，③④关于原点对称．
梳理 偶 奇
知识点二
思考1 因为很多函数图象我们不知道，即使画出来，细微之处是否对称也难以精确判断．
思考2 好处有两点：
（1）等价：
只要所有点均关于y轴（原点）对称，则图象关于y轴（原点）对称，反之亦然．
（2）可操作：
要判断点是否关于y轴（原点）对称，只要代入解析式验证即可．
知识点三
思考 由函数奇偶性定义，对于定义域内任一元素x，其相反数－x必须也在定义域内，才能进一步判断f（－x）与f（x）的关系．而本问题中，1∈（－1,1]，－1∉（－1,1]，f（－1）无定义，自然也谈不上是否与f
（1）相等了．所以该函数是既非奇函数，也非偶函数．
梳理 原点
题型探究
例1 证明
（1）因为它的定义域为{x|x∈R且x≠1}，所以对于定义域内的－1，其相反数1不在定义域内，故f（x）＝
既非奇函数又非偶函数．
（2）函数的定义域为R，因函数f（x）＝（x＋1）（x－1）＝x2－1，又因f（－x）＝（－x）2－1＝x2－1＝f（x），所以函数为偶函数．
（3）定义域为{－1,1}，因为对定义域内的每一个x，都有f（x）＝0，所以f（－x）＝f（x），故函数f（x）＝
为偶函数．又f（－x）＝－f（x），故函数f（x）＝
为奇函数．即该函数既是奇函数又是偶函数．
跟踪训练1 证明
（1）由
≥0，得定义域为[－2,2），关于原点不对称，故f（x）为非奇非偶函数．
（2）函数的定义域为R，因f（－x）＝（－x）|－x|＝－x|x|＝－f（x），所以函数为奇函数．
例2 解 由题意可知f（x）的定义域为（－6，－1]∪[1,6），
关于原点对称，
当x∈（－6，－1]时，－x∈[1,6），
所以f（－x）＝（－x－5）2－4＝（x＋5）2－4＝f（x）；
当x∈[1,6）时，－x∈（－6，－1]，
所以f（－x）＝（－x＋5）2－4
＝（x－5）2－4＝f（x）．
综上可知对于任意的x∈（－6，－1]∪[1,6），
都有f（－x）＝f（x），
所以f（x）＝
是偶函数．
跟踪训练2 证明 定义域为{x|x≠0}．
若x<
0，则－x>
0，
∴f（－x）＝x2，f（x）＝－x2，
∴f（－x）＝－f（x）；
若x>
0，则－x<
∴f（－x）＝－（－x）2＝－x2，f（x）＝x2，
即对任意x≠0，都有f（－x）＝－f（x）．
∴f（x）为奇函数．
例3 解 ∵f（x），g（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（－x）＋g（－x）＝－f（x）－g（x）＝－[f（x）＋g（x）]，y＝f（x）＋g（x）是奇函数．
f（－x）g（－x）＝[－f（x）][－g（x）]＝f（x）g（x），y＝f（x）g（x）是偶函数．
f[g（－x）]＝f[－g（x）]＝－f[g（x）]，y＝f[g（x）]是奇函数．
跟踪训练3 ①③④
解析 ①令h（x）＝f（x）g（x），则h（－x）＝f（－x）·
g（－x）＝－f（x）g（x）＝－h（x），∴h（x）是奇函数，故①对，②不对；
③令h（x）＝|f（x）|g（x），则h（－x）＝|f（－x）|g（－x）＝|－f（x）|g（x）＝|f（x）|g（x）＝h（x），∴h（x）是偶函数，故③对；
④令h（x）＝f（x）|g（x）|，则h（－x）＝f（－x）·
|g（－x）|＝－f（x）|g（x）|＝－h（x），∴h（x）是奇函数，故④对．
例4 解
（1）先描出（1,1），（2,0）关于原点的对称点（－1，－1），（－2,0），连线可得f（x）的图象如图．
（2）xf（x）>
0即图象上横坐标、纵坐标同号．结合图象可知，xf（x）>
0的解集是（－2,0）∪（0,2）．
解
（1）f（x）的图象如图所示．
0的解集是（－∞，－2）∪（0,2）．
跟踪训练4 解
（1）如图，在[0,5]上的图象上选取5个关键点O，A，B，C，D.
分别描出它们关于原点的对称点O′，A′，B′，C′，D′，
再用光滑曲线连接即得．
（2）由
（1）图可知，当且仅当
x∈（－2,0）∪（2,5）时，f（x）<
∴使f（x）<
0的x的取值集合为
（－2,0）∪（2,5）．
例5
（1）
0
解析 ∵偶函数的定义域关于原点对称，
∴a－1＝－2a，解得a＝
，
f（x）＝
x2＋bx＋b＋1.
又f（x）为偶函数，
∴f（－x）＝
（－x）2＋b（－x）＋b＋1
＝f（x）＝
x2＋bx＋b＋1，
对定义域内任意x恒成立，
即2bx＝0对任意x∈[－
]恒成立，
∴b＝0.综上，a＝
，b＝0.
（2）解 设x<
∴f（－x）＝－（－x）＋1＝x＋1，
又∵函数f（x）是定义域为R的奇函数，
∴f（－x）＝－f（x）＝x＋1，
∴当x<
0时，f（x）＝－x－1.
跟踪训练5 0
解析 由题意知
则
解得
当a＝－1，b＝1时，经检验知f（x）为奇函数，
故a＋b＝0.
当堂训练
1．既是奇函数又是偶函数
2．既不是奇函数又不是偶函数
3．5 4.2 5.③④
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