河南中考数学总复习《第20讲特殊的平行四边形》同步讲练.docx
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河南中考数学总复习《第20讲特殊的平行四边形》同步讲练
第20讲 特殊的平行四边形
一、选择题
1．（2017·兰州）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ADB＝30°，AB＝4，则OC＝（ B ）
A．5B．4C．3.5D．3
2．（2017·上海）已知平行四边形ABCD，AC，BD是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平行四边形为矩形的是（ C ）
A．∠BAC＝∠DCAB．∠BAC＝∠DAC
C．∠BAC＝∠ABDD．∠BAC＝∠ADB
3．（2017·益阳）下列性质中菱形不一定具有的性质是（ C ）
A．对角线互相平分
B．对角线互相垂直
C．对角线相等
D．既是轴对称图形又是中心对称图形
4．（2017·海南）如图，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，则△ABC的周长是（ C ）
A．14B．16C．18D．20
第4题图 第5题图
5．（2017·聊城）如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，要判定四边形DBFE是菱形，还需要添加的条件是（ D ）
A．AB＝ACB．AD＝BD
C．BE⊥ACD．BE平分∠ABC
6．（2017·绍兴）在探索“尺规三等分角”这个数学名题的过程中，曾利用了如图．该图中，四边形ABCD是矩形，E是BA延长线上一点，F是CE上一点，∠ACF＝∠AFC，∠FAE＝∠FEA.若∠ACB＝21°，则∠ECD的度数是（ C ）
A．7°B．21°C．23°D．24°
7．（2017·黔东南州）如图，正方形ABCD中，E为AB中点，FE⊥AB，AF＝2AE，FC交BD于O，则∠DOC的度数为（ A ）
A．60°B．67.5°C．75°D．54°
第6题图第7题图
二、填空题
8．（2017·菏泽）菱形ABCD中，∠A＝60°，其周长为24cm，则菱形的面积为 18
cm2.
9．（2017·孝感）如图，四边形ABCD是菱形，AC＝24，BD＝10，DH⊥AB于点H，则线段BH的长为
.
第9题图 第10题图
10．（2017·六盘水）如图，在正方形ABCD中，等边三角形AEF的顶点E，F分别在边BC和CD上，则∠AEB＝ 75 度．
11．（2017·兰州）在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件．下面给出了四组条件：
①AB⊥AD，且AB＝AD；②AB＝BD，且AB⊥BD；③OB＝OC，且OB⊥OC；④AB＝AD，且AC＝BD.其中正确的序号是 ①③④ .
12．（2017·哈尔滨）如图，在矩形ABCD中，M为BC边上一点，连接AM，过点D作DE⊥AM，垂足为E.若DE＝DC＝1，AE＝2EM，则BM的长为
.
三、解答题
13．（2017·安顺）如图，DB∥AC，且DB＝
AC，E是AC的中点．
（1）求证：
BC＝DE；
（2）连接AD，BE，若要使四边形DBEA是矩形，则应给△ABC添加什么条件，为什么？
（1）证明：
∵E是AC的中点，
∴EC＝AE＝
AC.
∵DB＝
AC，
∴DB＝EC.
又∵DB∥EC，
∴四边形DBCE是平行四边形，
∴BC＝DE.
（2）解：
添加AB＝BC（或∠A＝∠C）．
理由如下：
如解图所示．
由
（1）知DB＝AE，DB∥AE，
∴四边形DBEA是平行四边形．
∵BC＝DE，AB＝BC，
∴AB＝DE.
∴平行四边形DBEA是矩形．
14．（2017·北京）如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，AD∥BC，AD＝2BC，∠ABD＝90°，E为AD的中点，连接BE.
（1）求证：
四边形BCDE为菱形；
（2）连接AC，若AC平分∠BAD，BC＝1，求AC的长．
（1）证明：
∵AD＝2BC，E为AD的中点，
∴DE＝BC.
∵AD∥BC，
∴四边形BCDE为平行四边形．
∵∠ABD＝90°，AE＝DE，
∴BE＝DE，
∴四边形BCDE为菱形；
（2）解：
如解图所示．
∵AD∥BC，AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC＝∠BCA，
∴AB＝BC＝1.
∵AD＝2BC＝2，
∠ABD＝90°，
∴sin∠ADB＝
＝
，
∴∠ADB＝30°，
∴∠DAC＝30°，∠ADC＝60°，∠ACD＝90°.
在Rt△ACD中，AD＝2，CD＝1，
由勾股定理得AC＝
＝
＝
.
15．（2017·陕西）如图，在正方形ABCD中，E，F分别为边AD和CD上的点，且AE＝CF，连接AF，CE交于点G.求证：
AG＝CG.
证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADF＝∠CDE＝90°，AD＝CD.
∵AE＝CF，
∴DE＝DF，
∴△ADF≌△CDE（SAS），
∴∠DAF＝∠DCE.
在△AGE和△CGF中，
∴△AGE≌△CGF（AAS），
∴AG＝CG.
16．如图，AD是△ABC的中线，AE∥BC，BE交AD于点F，且AF＝DF.
（1）求证：
四边形ADCE是平行四边形；
（2）当AB，AC之间满足__________时，四边形ADCE是矩形；
（3）当AB，AC之间满足__________时，四边形ADCE是正方形．
（1）证明：
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD.
∵AE∥BC，
∴∠AEF＝∠DBF，
在△AFE和△DFB中，
∴△AFE≌△DFB（AAS），
∴AE＝DB，
∴AE＝CD.
∵AE∥BC，即AE∥CD，
∴四边形ADCE是平行四边形；
（2）解：
AB＝AC；
【提示】∵四边形ADCE是矩形，∴∠ADC＝90°.∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，易证△ADB≌△ADC（SAS），∴AB＝AC.
（3）解：
AB⊥AC，AB＝AC.
【提示】∵四边形ADCE是正方形，∴∠ADC＝90°，AD＝CD，∠ACD＝45°.∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，易证△ADB≌△ADC（SAS），∴AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACD＝45°，∴∠BAC＝90°，即AB⊥AC.
17．（2017·青岛）已知：
如图，在菱形ABCD中，点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，连接CE，CF，OE，OF.
（1）求证：
△BCE≌△DCF；
（2）当AB与BC满足什么关系时，四边形AEOF是正方形？
请说明理由．
（1）证明：
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠B＝∠D，AB＝BC＝DC＝AD.
∵点E，F分别为AB，AD的中点，
∴AE＝BE＝DF＝AF.
在△BCE和△DCF中，
∴△BCE≌△DCF（SAS）；
（2）解：
当AB⊥BC时，四边形AEOF是正方形．
理由如下：
∵E，O分别是AB，AC的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE∥BC.
又∵BC∥AD，∴OE∥AD，即OE∥AF，
同理可证OF∥AE，
∴四边形AEOF是平行四边形．
由
（1）可得AE＝AF，
∴平行四边形AEOF为菱形．
∵AB⊥BC，∴∠BAD＝90°，
∴菱形AEOF是正方形．
一、选择题
1．（2017·绵阳）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点O作BD的垂线分别交AD，BC于E，F两点．若AC＝2
，∠AEO＝120°，则FC的长度为（ A ）
A．1B．2C.
D.
第1题图 第2题图
2．（2017·河北）求证：
菱形的两条对角线互相垂直．
已知：
如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O.
求证：
AC⊥BD.
以下是排乱的证明过程：
①又BO＝DO；
②∴AO⊥BD，即AC⊥BD；
③∵四边形ABCD是菱形；
④∴AB＝AD.
证明步骤正确的顺序是（ B ）
A．③→②→①→④B．③→④→①→②
C．①→②→④→③D．①→④→③→②
3．（2017·苏州）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AD＝8，F是AB的中点．过点F作FE⊥AD，垂足为E.将△AEF沿点A到点B的方向平移，得到△A′E′F′.设P，P′分别是EF，E′F′的中点，当点A′与点B重合时，四边形PP′CD的面积为（ A ）
A．28
B．24
C．32
D．32
－8
第3题图 第4题图
4．（2017·泰安）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是边CD上一点，且BC＝EC，CF⊥BE交AB于点F，P是EB延长线上一点，下列结论：
①BE平分∠CBF；②CF平分∠DCB；③BC＝FB；④PF＝PC.其中正确结论的个数为（ D ）
A．1B．2C．3D．4
5．（2017·广东）如图，已知正方形ABCD，点E是BC边的中点，DE与AC相交于点F，连接BF，下列结论：
①S△ABF＝S△ADF；②S△CDF＝4S△CEF；③S△ADF＝2S△CEF；④S△ADF＝2S△CDF.其中正确的是（ C ）
A．①③B．②③
C．①④D．②④
二、填空题
6．（2017·怀化）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，AB＝10cm，点P是这个菱形内部或边上的一点，若以P，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则P，A（P，A两点不重合）两点间的最短距离为 （10
－10） cm.
三、解答题
7．（2017·广东）如图所示，已知四边形ABCD，ADEF都是菱形，∠BAD＝∠FAD，∠BAD为锐角．
（1）求证：
AD⊥BF；
（2）若BF＝BC，求∠ADC的度数．
（1）证明：
连接DB，DF，如解图所示．
∵四边形ABCD，ADEF都是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，AD＝DE＝EF＝FA.
在△BAD与△FAD中，
∴△BAD≌△FAD（ASA），
∴DB＝DF，
∴点D在线段BF的垂直平分线上．
∵AB＝AF，
∴点A在线段BF的垂直平分线上，
∴AD是线段BF的垂直平分线，
∴AD⊥BF；
（2）解：
设AD⊥BF于点H，过点D作DG⊥BC于点G，如解图所示，则四
边形BGDH是矩形．
∴DG＝BH＝
BF.
∵BF＝BC，BC＝CD，
∴DG＝
CD.
在Rt△CDG中，∵∠CGD＝90°，DG＝
CD，
∴∠C＝30°.
∵BC∥AD，
∴∠ADC＝180°－∠C＝150°.
8．如图，正方形ABCD的边长为4cm，两动点P，Q分别同时从D，A出发，以1cm/s的速度各自沿着DA，AB边向A，B运动（不与端点D，A，B重合）．试解答下列各题：
（1）当P出发__________s时，△PDO为等腰三角形；
（2）①当P，Q出发__________s时，四边形PDOQ为平行四边形；
②当P，Q出发__________s时，四边形APOQ为正方形．
解：
（1）2或2
；
【提示】 设当P出发ts时，△PDO为等腰三角形，有PD＝PO，OP＝
OD，DP＝DO三种情况．当PD＝PO时，∵四边形ABCD是正方形，∴AO
＝DO，∠ADB＝45°，∴∠POD＝45°，∠DPO＝90°，即OP⊥AD，∴DP
＝AP＝
AD＝2，∴t＝
＝2；当OP＝OD时，此时点P与点A重合，不符
合题意，此种情况不存在；当DP＝DO时，在Rt△ABD中，BD＝
＝4
，∴DP＝DO＝
BD＝2
，∴t＝
＝2
；
（2）①2；
【提示】 设当P，Q出发ts时，四边形PDOQ为平行四边形．∵四边形
ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，∠BAO＝45°，点O是BD的中点．∵四
边形PDOQ为平行四边形，∴OQ∥PD，∴∠AQO＝90°，∴△AQO是等腰
直角三角形，∴AQ＝OQ.∵OQ∥AD，点O是BD的中点，∴AQ＝OQ＝
AD
＝2，∴t＝
＝2；
②2.
【提示】 设当P，Q出发ts时，四边形APOQ为正方形．∵四边形APOQ
为正方形，∴AP＝AQ.∵DP＝AQ，∴DP＝AP＝
AD＝2，∴t＝
＝2.
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