特殊的平行四边形同步讲义精编.docx
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特殊的平行四边形同步讲义精编
第一讲平行四边形的性质
一、【基础知识精讲】
1.平行四边形的定义：
两组对边分别平行的四边形是平行四边形．用符号“
”表示．
2．平行四边形的性质：
（1）平行四边形的对边平行且相等．
（2）平行四边形的对角相等，邻角互补。
（3）平行四边形的对角线互相平分．
3．两条平行线间的距离：
（1）定义：
两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，
叫做这两条平行线间的距离．
（2）两平行线间的距离处处相等．（3）平行线间的平行线段相等．
4．平行四边形的面积：
（1）如图12-1-2①，
．
（
（
（2）同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
如图12-1-2②，
有公共边BC，则
．
二、【例题精讲】
例1
（1）已知
中，∠A比∠B小20°，那么∠C的度数是_______．
（2）在
中，周长为28，两邻边之比为3︰4，
则各边长为________．
（3）一个平行四边形的一边长是8，一条对角线长是6，
则它的另一条对角线x的取值范围为__________．
（4）平行四边形邻边长是4cm和8cm，较短边上的高是5cm，
则另一边上的高是____________．
例2．已知：
在□ABCD中，过AC与BD的交点O作直线，与BA、DC的两条延长线
交于M、N两点，
求证：
OM＝ON．
例3．如图，在□ABCD中，E、F分别是BC、AD上的点，且AE∥CF，AE与CF相等吗？
说明理由.
三、【同步练习】
A组
1.已知□ABCD中，∠B=70°，则∠A=_____，∠C=_____，∠D=______．
2．在
ABCD中：
①∠A:
∠B=5:
4，则∠A=_______；
②∠A+∠C=200°，则∠A=______，∠B=______；
3．在□ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，则□ABCD的周长等于_______．
4.若平行四边形周长为54，两邻边之比为4:
5，则这两边长度分别______________；
5.已知
ABCD对角线交点为O，AC=24mm,BD=26mm,若AD=22mm，则△OBC的
周长为_________；
6．如图，在□ABCD中，AE交BD于E，CF交BD于F，AE∥CF．求证：
AE＝CF．
7.如图，已知
ABCD的周长为60cm，对角线交于O，△BOC的周长比△AOB
的周长少8cm，求AB，BC的长．
B组
1.如图，P是
ABCD内的一点，且S⊿PAB=5，S⊿PAD=2，则S⊿PAC等于（）
A、2B、3C、3.5D、4
2．如图，在
ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，AE=2cm，AF=3cm，
ABCD
的周长为20cm，求S
ABCD.
第二讲平行四边形的判定
一、【基础知识精讲】
1.平行四边形的判定方法：
①两组对边分别平行
②两组对边分别相等
的四边形是平行四边形
③一组对边平行且相等
④两组对角分别相等
⑤对角线互相平分
2.平行四边形性质的运用：
①直接运用平行四边形性质解决某些问题，如求角的度数，线段的长度,证明角相等或互补,证明线段相等或倍分等．
②判别一个四边形为平行四边形，从而得到两直线平行．
③先判别—个四边形是平行四边形，然后再用平行四边形的特征去解决某些问题．
二、【例题精讲】
例1．
（1）根据下列条件，不能判别四边形是平行四边形的是（）
A．一组对边平行且相等的四边形 B．两组对角分别相等的四边形
C．对角线相等的四边形 D．对角线互相平分的四边形
（2）下列条件中不能确定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB=CD，AD∥BCB．AB=CD，AB∥CD
C．AB∥CD，AD∥BCD．AB=CD，AD=BC
例2．已知：
如图，□ABCD中，点E、F在对角线上，且AE＝CF．
求证：
四边形BEDF是平行四边形．
例3．如图，□ABCD的对角线AC、BD交于O，EF过点O交AD于E，交BC于F，
G是OA的中点，H是OC的中点，求证：
四边形EGFH是平行四边形．
三、【同步练习】A组
1．如图，四边形ABCD，AC、BD相交于点O，
若OA=OC,OB=OD,则四边形ABCD是______,
根据是_____________________.
2．在图中，AC=BD，AB=CD=EF，CE=DF，
图中有哪些互相平行的线段？
3．一个四边形的三个内角的度数依次如下选项，其中是平行四边形的是（ ）
A．88°，108°，88°B．88°，104°，108°
C．88°，92°，92°D．88°，92°，88°
4．如图，四边形ABCD中，AD=BC，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别是E、F，AF=CE．
求证：
四边形ABCD是平行四边形．
5、已知如图：
在
ABCD中，延长AB到E，延长CD到F，使BE=DF，
则线段AC与EF是否互相平分？
说明理由.
6．如图，在
ABCD中，点E、F在对角线AC上，并且OE=OF．
（1）OA与OC，OB与OD相等吗？
（2）四边形BFDE是平行四边形吗？
（3）若点E，F在OA，OC的中点上，你能解决上述问题吗？
B组
1、在
ABCD中,∠ABC=750，AF⊥BC于F，AF交BD于E，
若DE=2AB，则∠AED等于（）
A、600B、650C、700D、750
2．如图，在
ABCD的各边AB、BC、CD、DA上，分别取点K、L、M、N，使AK=CM、BL=DN，则四边形KLMN为平行四边形
第三讲菱形
一、【基础知识精讲】
1．菱形的的定义：
有一组邻边相等的平行四边形叫菱形．
2．菱形的性质
（1）菱形具有平行四边形的一切性质．
（2）菱形的四条边相等．
（3）菱形的两条对角线互相垂直平分；并且每一条对角线平分一组对角．
3．菱形的识别方法:
（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形．
（2）对角线互相垂直的平行四边形为菱形．
（3）四条边相等的四边形是菱形．
4．菱形的面积等于两对角线乘积的一半．
二、【例题精讲】
例1.
（1）菱形的周长是8cm，则菱形的一边长是______．
（2）菱形的一个内角为1200，平分这个内角的对角线长为11厘米，
菱形的周长为____．
（3）菱形的面积为24cm2，一对角线长为6cm，则另一对角线长为______，
边长为____．
（4）菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）
A．对角相等B．对边相等
C．对角线互相垂直D．对角线相等
（5）能够判别一个四边形是菱形的条件是（ ）
A．对角线相等且互相平分B．对角线互相垂直且相等
C．对角线互相平分D．一组对角相等且一条对角线平分这组对角
例2．□ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F，
求证：
四边形AFCE是菱形。
三、【同步练习】A组
一、选择题
1.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）
A.对角相等B.对边相等
C.对角线互相垂直D.对角线相等
2.菱形的周长为100cm，一条对角线长为14cm，它的面积是（）
A.168cm2B.336cm2C.672cm2D.84cm2
3.菱形的周长为16，两邻角度数的比为1∶2，此菱形的面积为（）
A.4
B.8
C.10
D.12
4.下列语句中，错误的是（）
A.菱形是轴对称图形，它有两条对称轴
B.菱形的两组对边可以通过平移而相互得到
C.菱形的两组对边可以通过旋转而相互得到
D.菱形的相邻两边可以通过旋转而相互得到
5.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，
E为BC的中点，则下列式子中一定成立的是（ ）
A．AC=2OEB．BC=2OE
C．AD=OED．OB=OE
6.如图，在菱形ABCD中，∠A=110°，E，F分别是边
AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠FPC=（）
A．35°B．45°C．50°D．55
二、填空题
1.菱形的对角线的一半的长分别为8cm和11cm，则菱形的面积是_______.
2.菱形的面积为8
平方厘米，两条对角线的比为1∶
那么菱形的边长为_______
三、解答题
1.如图，AD是△ABC的角平分线.DE∥AC交AB于E，
DF∥AB交AC于F，四边形AEDF是菱形吗？
说明你的理由.
2.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且AC=16cm，BD=12cm，
求菱形ABCD的高DH.
B组
1．如图，已知：
在平行四边形ABCD中，AB=
BC,延长AB至F，使BF=AB再延长BA至E，使AE=BA，请你判断EC与FD的位置关系，并说明理由。
第四讲矩形、正方形
一、【基础知识精讲】
（一）矩形：
有一个角为直角的平行四边形叫矩形．
1．矩形的性质:
（1）具有平行四边形的一切性质．
（2）矩形的四个内角是直角．
（3）矩形的对角线相等且互相平分．
2．矩形的判定方法:
（1）有一个内角是直角的平行四边形是矩形
（2）对角线相等的平行四边形为矩形．
（3）三个角是直角的四边形是矩形．
3．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
（二）正方形:
有一组邻边相等的矩形叫正方形．（或有一个角是直角的菱形叫正方形）
1.正方形的性质:
由于正方形既是特殊的平行四边形，又是特殊的矩形和菱形，
它集平行四边形、矩形、菱形的性质于一身.
因此，正方形具有以下性质：
（1）对边平行，四条边都相等.
（2）四个角都是直角．
（3）两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．
2.正方形的判定方法:
（1）有一组邻边相等的矩形是正方形.
（2）有一个角是直角的菱形是正方形.
二、【例题精讲】
例1．矩形具有一般平行四边形不具有的性质是（）
A.对角相等B.对边相等C.对角线相等D.对角线互相平分
例2．已知矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，则两条对角线所成锐角的度数为__.
例3．四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，能判定这个四边形是正方形的是（）
A.AO=BO=CO=DO，AC⊥BDB.AB∥CD，AC⊥BD
C.AD∥BC，∠A=∠CD.AO=CO，BO=DO，AB=BC
例4．矩形的两条对角线的夹角为60°，一条对角线与短边的和为15，
则对角线长为_______，短边长为_______．
例5．正方形的一条边长是3，那么它的对角线长是_______．
例6．如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，
垂足分别为E、F．求证：
四边形CFDE是正方形．
三、【同步练习】A组
一、选择题
1.两条平行线被第三条直线所截，两组内错角的平分线相交所成的四边形是（）
A.一般平行四边形B.菱形C.矩形D.正方形
2.在矩形ABCD的边AB上有一点E，且CE=DE，若AB=2AD，则∠ADE等于（）
A.45°B.30°C.60°D.75°
3.矩形的一内角平分线把矩形的一条边分成3和5两部分，则该矩形的周长是（）
A.16B.22C.26D.22或26
4.在正方形ABCD中，AB=12cm，对角线AC、BD相交于O，则△ABO的周长是（）
A.12+12
B.12+6
C.12+
D.24+6
二、填空题
1.延长等腰△ABC的腰BA到D，CA到E，分别使AD=AB，AE=AC，
则四边形BCDE是________，其判别根据是_______.
2.矩形ABCD的周长是56cm，它的两条对角线相交于O，△AOB的周长比△BOC的
周长少4cm，则AB=_______，BC=_______.
3.在一正方形的四角各截去全等的等腰直角三角形而得到一个小正方形，
若小正方形的边长为1，那么所截的三角形的直角边长是________.
三、解答题
1.在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，且AB=CD，四边形ABCD是矩形吗？
为什么？
2.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点，顺次连结E、F、G、H所得的四边形EFGH是矩形吗？
说明理由.
3.E为正方形ABCD内一点，且△EBC是等边三角形，求∠EAD的度数.
B组
1．矩形的边长为10cm和15cm，其中一个内角平分线分长边为两部分，
这两部分为______________.
2．E是正方形ABCD边BC延长线上的一点，CE＝CA，AE交CD于F，则∠AFC＝____.
3．M为□ABCD的边AD的中点，且MB=MC，你能说明□ABCD一定为矩形吗？
写出你的说明过程．
第五讲几种特殊平行四边形的关系
一、【基础知识精讲】
（一）正方形，矩形，菱形，平行四边形的关系
（二）几种特殊平行四边形的性质
边
角
对角线
平行
四边形
对边平行
且相等
对角相等
两条对角线互相平分
矩形
对边平行
且相等
四个角都是直角
两条对角线相等且互相平分
菱形
对边平行，
四条边相等
对角相等
两条对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角
正方形
对边平行，
四条边相等
四个角
都是直角
两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角
（三）几种特殊平行四边形的常用判定方法
平行四边形
（1）两组对边分别平行；
（2）两组对边分别相等；
（3）一组对边平行且相等；
（4）两条对角线互相平分；
（5）两组对角分别相等。
矩形
（1）有三个是直角；
（2）是平行四边形且有一个角是直角；
（3）是平行四边形且两条对角线相等。
菱形
（1）四条边都相等；
（2）是平行四边形且有一组邻边相等；
（3）是平行四边形且两条对角线互相垂直。
正方形
（1）是矩形，且有一组邻边相等；
（2）是菱形，且有一个角是直角。
二、【典例精讲】
例1、
（1）菱形的边长为5，一条对角线长为8，另一条对角线长为_________.
（2）在正方形ABCD中，AB=12cm，对角线AC、BD相交于O，则△ABO的周长
是___________cm.
（3）如图，正方形的对角线长是10cm，M是AB边上一点，
且ME⊥AC于点E，MF⊥BD于点F，则ME+MF=______.
（4）如图所示，正方形
的面积为12，
是等边
三角形，点
在正方形
内，在对角线
上有一点
，使
的和最小，则这个最小值为（）
A．
B．
C．3D．
（5）如图，在菱形ABCD中，∠A=110°，E，F分别是边
AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠FPC=（）
A．35°B．45°C．50°D．55
例3.如图，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，连结EB，过A作AM⊥BE，垂足为M，AM交BD于点F。
（1）求证：
OE=OF.
（2）如下右图，若点E在AC的延长线上，AM⊥BE于点M，交DB的延长线于
点F，其他条件不变，则结论“OE=OF”还成立吗？
如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由。
【同步练习】A组
1．矩形、菱形、正方形都具有的性质是（）
A对角线相等B对角线互相平分
C对角线平分一组对角D对角线互相垂直
2．对角线相等且互相平分的四边形是（）
A．一般四边形B．菱形C．矩形D．正方形
3.如图，已知O是四边形ABCD内一点，OA=OB=OC，
，则
的大小是（）
A．70°B．110°C．140°D．150°
4．如图，正方形
内有两条相交线段MN、EF、M、N、E、F
分别在边AB、CD、AD、BC上。
小明认为：
若
则
．
小亮认为：
若
，则
．
你认为（）
A．仅小明对 B．仅小亮对C．两人都对 D．两人都不对
5．已知矩形ABCD中，对角线AC,BD交于O点,∠AOB=2∠BOC，AC=18cm，
则AD=cm.
B组
1．（2009四川达州），在边长为2㎝的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为多少？
（结果不取近似值）.
第六讲梯形
一、【基础知识精讲】
1．梯形的定义：
一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形．
2．梯形的元素：
（1）梯形的底:
梯形中平行的两边叫做梯形的底,
通常把较短的底叫上底，较长的底叫下底．
（2）梯形的腰：
梯形中不平行的两边叫梯形的腰．
（3）梯形的高：
梯形两底的距离是梯形的高．
3．特殊梯形的定义:
（1）等腰梯形：
两腰相等的梯形
（2）直角梯形：
一腰垂直于底的梯形．
4等腰梯形的性质①从角看：
等腰梯形同一底上的两个内角相等；
②从边看：
等腰梯形两腰相等；
③从对角线看：
等腰梯形两条对角线相等。
5．等腰梯形的判定:
（1）两条腰相等的梯形是等腰梯形．
（2）在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形．
（3）对角线相等的梯形是等腰梯形．
二、【例题精讲】
例1．四边形的四个内角的度数比依次是2：
3：
3：
4，则这个四边形是（ ）
A．等腰梯形B．直角梯形C．平行四边形D．不能确定
例2．若等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，AC、BD相交于点O，图中全等三角形共有_____对；若梯形ABCD为一般梯形，那么图中面积相等的三角形共有__对．
例3．在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，∠C=45°，CD=10cm，BC=2AD，
则梯形的面积为_______．
例4．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，M、N分别为CD和AB的中点，且MN⊥AB.
求证：
四边形ABCD是等腰梯形.
例5．.已知：
梯形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，则S梯形ABCD是S△ABE的2倍吗？
为什么？
三、【同步练习】A组
一、选择题
1.下列说法正确的是（）
A.一组对边平行的四边形是梯形
B.有两个角是直角的四边形是直角梯形
C.只有相邻的两个角是直角的四边形是直角梯形
D.一组对边平行另一组对边相等的四边形是等腰梯形
2.以线段a=16,b=13为梯形的两底，c=10，d=6为腰画梯形，这样的梯形（）
A.只能画出一个B.能画出2个C.能画出无数个D.不能画出
3.在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AC，若∠D=110°，∠ACD=30°，则∠BAC等于（）
A.80°B.90°C.100°D.110°
4.在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AE⊥BC于E，且AE=AD，BC=3AD，则∠B等于（）
A.30°B.45°C.60°D.135°
二、填空题
1.梯形的上底长为5cm，将一腰平移到上底的另一端点位置后与另一腰和下底所构成的三角形的周长为20cm，那么梯形的周长为_______.
2.在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=50°，∠C=80°，AD=8，BC=11，则CD=_______.
3.等腰梯形的腰长为5cm，上、下底的长分别为6cm和12cm，则它的面积为_______.
4.在梯形ABCD中，AD∥BC,∠B=90°，∠C=45°，CD=10cm，BC=2AD，
则梯形的面积为_______.
5.等腰梯形的腰长为5cm，上、下底的长分别为6cm和12cm，则它的面积为_______．
三、解答题
1.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，延长AB到E，使BE=DC，
连结AC、CE，你能用几种方法说明AC与CE相等？
请你写出一种推理过程.
2.在梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，若AD=2，BC=8，BD=6，
求：
（1）对角线AC的长；
（2）梯形ABCD的面积.
3.如图，欲用一块面积为800cm2的等腰梯形彩纸作风筝，用竹条作梯形的对角线且对角线恰好互相垂直，那么需要竹条多少厘米？
4.如图，在梯形ABCD,AD‖BC．BD=CD，∠BDC=90°，AD=3，BC=8，求
的长．
5.如图，在梯形ABCD中，∠B=90º，∠C=90º，AD=1，BC=4，
AD‖BC，E为AB的中点，EF‖CD交BC于点F，求EF的长．
第七讲多边形的内角和与外角和
一、【基础知识精讲】
1．多边形的定义：
在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做多边形。
2．多边形内角和定理：
n边形的内角和等于（n-2）·180°．
3．多边形外角与外角和定理
（1）多边形外角：
多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角，
叫做这个多边形的外角．
（2）多边形外角和：
在多边形的每一个顶点处取多边形一个外角，它们的和，
叫做多边形的外角和．
（3）外角和定理：
任意多边形的外角和等于360°．
4．多边形的对角线
（1）从n边形的一个顶点，可以引（n-3）条对角线，将多边形分成（n-2）个三角形．
（2）n边形共有
条对角线.
5．多边形边数与内、外角和的关系
（1）多边形内角和与边数成正比：
边数增加，内角和增加；边数减少，内角和减少；每增加一条边，内角和增加180°，反过来也成立．
（2）多边形外角和恒等于360°，与边数多少无关．
6．正多边形：
在平面内，内角都相等、边也都相等的多边形叫做正多边形．
7．平面图形的密铺：
（1）用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺，又称作平面图形的镶嵌．
（2）密铺需满足的条件是：
在一个拼接点处有m个角，这些角的和应为360°
（3）任意的正三角形、正四边形、正六边形都可密铺，其他正多边形都不能密铺．
二、【例题精讲】
例1从多边形的一个顶点引对角线来探索多边形的内角和
三角形（3边）四边形（4边）五边形（5边）六边形（6边）
边数
图形
从某顶点出发的对角线条数
划分成的三角形个数
多边形的内角和
3
0
1
1×180°
4
1
2
2×180°
…
…
…
…
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