届高考数学北师大版第八章 立体几何与空间向量 第3讲 空间图形的基本关系与公理3 Word版含答案Word下载.docx

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主要考查与点、线、面位置关系有关的命题真假判断和求解异面直线所成的角，题型主要以选择题和填空题的形式出现，解题要求有较强的空间想象能力和逻辑推理能力.

1．四个公理

公理1：

如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．

公理2：

过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．

公理3：

如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．

公理4：

平行于同一条直线的两条直线互相平行．

2．直线与直线的位置关系

（1）位置关系的分类

（2）异面直线所成的角

①定义：

设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角（或直角）叫作异面直线a与b所成的角（或夹角）．

②范围：

.

3．直线与平面的位置关系有直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情况．

4．平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．

5．等角定理

空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．

知识拓展

1．唯一性定理

（1）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．

（2）过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直．

（3）过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．

（4）过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．

2．异面直线的判定定理

经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线．

题组一　思考辨析

1．判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×

”）

（1）如果两个不重合的平面α，β有一条公共直线a，就说平面α，β相交，并记作α∩β＝a.（　√　）

（2）两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线．（　×

　）

（3）两个平面ABC与DBC相交于线段BC.（　×

（4）经过两条相交直线，有且只有一个平面．（　√　）

（5）没有公共点的两条直线是异面直线．（　×

（6）若a，b是两条直线，α，β是两个平面，且aα，bβ，则a，b是异面直线．（　×

题组二　教材改编

2．如图所示，已知M，N分别是正方体ABCD—A1B1C1D1中BB1和B1C1的中点，则MN与CD1所成的角为________．

答案　60°

解析　连接AD1，AC，因为M，N分别是正方体ABCD—A1B1C1D1中BB1和B1C1的中点，所以AD1∥MN，故∠AD1C为MN与CD1所成的角或其补角，由于AC＝AD1＝D1C，故∠AD1C＝60°

，则MN与CD1所成的角为60°

3.如图，在三棱锥A—BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则

（1）当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为菱形；

（2）当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为正方形．

答案　

（1）AC＝BD　

（2）AC＝BD且AC⊥BD

解析　

（1）∵四边形EFGH为菱形，

∴EF＝EH，故AC＝BD.

（2）∵四边形EFGH为正方形，∴EF＝EH且EF⊥EH，

∵EF綊

AC，EH綊

BD，∴AC＝BD且AC⊥BD.

题组三　易错自纠

4．若P是两条异面直线l，m外的任意一点，则（　　）

A．过点P有且仅有一条直线与l，m都平行

B．过点P有且仅有一条直线与l，m都垂直

C．过点P有且仅有一条直线与l，m都相交

D．过点P有且仅有一条直线与l，m都异面

答案　B

解析　A项，设过点P的直线为n，若n与l，m都平行，则l，m平行，与l，m异面矛盾，A错；

B项，l，m只有唯一的公垂线，而过点P与公垂线平行的直线只有1条，B对；

C项，如图所示，在正方体ABCD—A′B′C′D′中，设AD为直线l，A′B′为直线m，若点P在P1点，显然无法作出直线与两直线都相交，C错；

D项，若P在P2点，则直线CC′及D′P2均与l，m异面，D错．

5．下列命题正确的有________．（填序号）

①若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内；

②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l与平面α平行；

③若直线l与平面α相交，则l与平面α内的任意直线都是异面直线；

④如果两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线一定与该平面相交；

⑤若直线l与平面α平行，则l与平面α内的直线平行或异面．

答案　①⑤

解析　①正确；

②错误，直线l与平面α相交时，仍有无数个点不在平面α内；

③错误，直线l与平面α内过该交点的直线不是异面直线；

④错误，另一条直线可能在该平面内；

⑤正确．

6.如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面的对数为______．

答案　3

解析　平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则AB，CD，EF和GH在原正方体中，显然AB与CD，EF与GH，AB与GH都是异面直线，而AB与EF相交，CD与GH相交，CD与EF平行．故互为异面的直线有且只有3对．

题型一　平面基本性质的应用

典例如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点．求证：

（1）E，C，D1，F四点共面；

（2）CE，D1F，DA三线共点．

证明　

（1）如图，连接EF，CD1，A1B.

∵E，F分别是AB，AA1的中点，∴EF∥BA1.

又A1B∥D1C，∴EF∥CD1，

∴E，C，D1，F四点共面．

（2）∵EF∥CD1，EF<

CD1，

∴CE与D1F必相交，

设交点为P，如图所示．

则由P∈CE，CE平面ABCD，得P∈平面ABCD.

同理P∈平面ADD1A1.

又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，

∴P∈直线DA，∴CE，D1F，DA三线共点．

思维升华共面、共线、共点问题的证明

（1）证明点或线共面问题的两种方法：

①首先由所给条件中的部分线（或点）确定一个平面，然后再证其余的线（或点）在这个平面内；

②将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合．

（2）证明点共线问题的两种方法：

①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；

②直接证明这些点都在同一条特定直线上．

（3）证明线共点问题的常用方法是：

先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．

跟踪训练已知正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q，求证：

（1）D，B，F，E四点共面；

（2）若A1C交平面BDEF于R点，则P，Q，R三点共线．

证明　

（1）如图．∵EF是△D1B1C1的中位线，

∴EF∥B1D1.

在正方体AC1中，B1D1∥BD，

∴EF∥BD.

∴EF，DB确定一个平面，

即D，B，F，E四点共面．

（2）在正方体AC1中，设A1