高考数列专题.docx
《高考数列专题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数列专题.docx（22页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
高考数列专题
数列练习专题
第八单元第一节
一、选择题
1．（精选考题·沈阳模拟）在数列1,1,2,3,5,8，x,21,34,55中，x等于（ ）
A．11B．12C．13D．14
【解析】 根据数列规律从第3项开始每一项等于其前两项之和，故x＝5＋8＝13.
【答案】 C
2．在数列{an}中，a1＝，an＝（－1）n·2an－1（n≥2），则a5等于（ ）
A．－B.C．－D.
【解析】 ∵an＝（－1）n·2an－1，a1＝，∴a2＝，a3＝－，a4＝－，a5＝.
【答案】 B
3．如果数列{an}的前n项和Sn＝an－3，那么这个数列的通项公式（ ）
A．an＝2（n2＋n＋1）B．an＝3×2n
C．an＝3n＋1D．an＝2×3n
【解析】 当n＝1时，a1＝a1－3，∴a1＝6；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an－3－an－1＋3，
∴an＝3an－1，
∴{an}为等比数列，an＝6×3n－1＝2×3n.
【答案】 D
4．已知数列{an}满足a1＝0，an＋1＝（n∈N*），则a20等于（ ）
A．0B．－C.D.
【解析】 ∵a1＝0，an＋1＝，
∴a2＝－，a3＝，a4＝0，…，
∴数列{an}的最小正周期为3，
∴a20＝a3×6＋2＝a2＝－.
【答案】 B
5．一个正整数表如下（表中第二行起，每行中数字个数是上一行中数字个数的2倍）：
第一行
1
第二行
2 3
第三行
4 5 6 7
…
…
则第9行中的第4个数是（ ）
A．132B．255C．259D．260
【解析】 观察数表，每行数的个数20,21,22,23,24，…，2n－1.
∴第八行最后一个数是数列1,2,3,4,5，…中第1＋2＋23＋…＋27＝28－1个数，
∴其值为1＋（28－1－1）×1＝28－1＝255，
∴第9行中的第4个数是259.
【答案】 C
6．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－9n，第k项满足5＜ak＜8，则k＝（ ）
A.6B.7C.8D.9
【解析】 由Sn＝n2－9n可得等差数列{an}的通项公式an＝2n－10，由5＜ak＜8可得5＜2k－10＜8且k∈Z，解得＜k＜9且k∈Z，∴k＝8.
【答案】 C
7．（精选考题·陕西高考）对于数列{an}：
“an＋1>|an|（n＝1,2，…）”是“{an}为递增数列”的（ ）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解析】 充分性，因为an＋1>|an|，则{an}必为正项数列，即an＋1>|an|⇒an＋1>an，即{an}为递增数列．
必要性，若{an}为－4，－3，－2，－1,0,1,2…这样的一个数列，则“an＋1>|an|（n＝1,2，…）”不成立，故选B.
【答案】 B
二、填空题
8．设{an}是首项为1的正数项数列，且（n＋1）an＋12－nan2＋an＋1·an＝0（n＝1,2,3，…），则它的通项公式是________．
【解析】 ∵（n＋1）an＋12－nan2＋an＋1·an＝0可化为（an＋1＋an）[（n＋1）an＋1－nan]＝0，
又∵an>0，∴＝，
∴an＝·…·a1＝··…··1＝.
【答案】 an＝
9．数列{an}满足a1＝，an＋1＝则a2009的值为________．
【解析】 依据条件得a2＝2×－1＝，a3＝，a4＝，∴数列{an}以3为周期，∴a2009＝a3×669＋2＝a2＝.
【答案】
10．根据图中的5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n个图中有________个点．
【解析】 观察图中5个图形，点的个数分别为1,1×2＋1,2×3＋1,3×4＋1,4×5＋1，故第n个圆中点的个数为（n－1）×n＋1＝n2－n＋1.
【答案】 n2－n＋1
三、解答题
11．已知数列{an}满足a1＝1，a2＝－13，an＋2－2an＋1＋an＝2n－6.
（1）设bn＝an＋1－an，求数列{bn}的通项公式；
（2）求n为何值时，an最小．
【解析】
（1）由an＋2－2an＋1＋an＝2n－6得：
（an＋2－an＋1）－（an＋1－an）＝2n－6，
∴bn＋1－bn＝2n－6.
当n≥2时，bn－bn－1＝2（n－1）－6，
bn－1－bn－2＝2（n－2）－6，
⋮
b3－b2＝2×2－6，b2－b1＝2×1－6，
累加，得bn－b1＝2（1＋2＋…＋n－1）－6（n－1）
＝n（n－1）－6n＋6＝n2－7n＋6.
又∵b1＝a2－a1＝－14，∴bn＝n2－7n－8（n≥2），
当n＝1时，b1也适合此式，
故bn＝n2－7n－8（n∈N*）．
（2）由bn＝（n－8）（n＋1）得，an＋1－an＝（n－8）（n＋1），
∴当n<8时，an＋1当n>8时，an＋1>an.
∴当n＝8或n＝9时，an的值最小．
12．设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝a，an＋1＝Sn＋3n，n∈N*.
（1）设bn＝Sn－3n，求数列{bn}的通项公式；
（2）若an＋1≥an，n∈N*，求a的取值范围．
【解析】
（1）依题意，Sn＋1－Sn＝an＋1＝Sn＋3n，
即Sn＋1＝2Sn＋3n，
∴Sn＋1－3n＋1＝2（Sn－3n），即bn＋1＝2bn.
∴数列{bn}是首项b1＝a－3，公比为2的等比数列．
∴所求通项公式为bn＝Sn－3n＝（a－3）2n－1，n∈N*①
（2）由①知Sn＝3n＋（a－3）2n－1，n∈N*，
于是，当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1
＝3n＋（a－3）2n－1－3n－1－（a－3）2n－2
＝2×3n－1＋（a－3）2n－2，
an＋1－an＝4×3n－1＋（a－3）2n－2
＝2n－2×，
当n≥2时，
∵an＋1≥an，
∴12×n－2＋a－3≥0，∴a≥－9.
又a2＝a1＋3>a1，
综上，所求a的取值范围是[－9，＋∞）．第八单元第二节
一、选择题
1．记等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝，S4＝20，则S6＝（ ）
A．16B．24C．36D．48
【解析】 ∵S4＝4a1＋d＝2＋6d＝20，
∴d＝3，∴S6＝6a1＋d＝3＋45＝48.
【答案】 D
2．（精选考题·重庆高考）在等差数列{an}中，a1＋a9＝10，则a5的值为（ ）
A．5B．6C．8D．10
【解析】 由题意得a1＋a9＝2a5＝10，a5＝5.
【答案】 A
3．（精选考题·安徽高考）设数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a8的值为（ ）
A．15B．16C．49D．64
【解析】 a8＝S8－S7＝82－72＝15.
【答案】 A
4．（精选考题·福建高考）设等差数列{an}的前n项和Sn，若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取最小值时，n等于（ ）
A．6B．7C．8D．9
【解析】 ∵a4＋a6＝2a5＝－6，∴a5＝－3，∴d＝＝2，∴Sn＝－11n＋·2＝n2－12n＝（n－6）2－36，∴n＝6时，Sn取最小值．
【答案】 A
5．等差数列的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（ ）
A．130B．170C．210D．260
【解析】 ∵Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列，
∴2（100－30）＝30＋S3m－100，
∴S3m＝140＋70＝210.
【答案】 C
6．一个只有有限项的等差数列，它的前5项和为34，最后5项的和为146，所有项的和为234，则它的第7项a7等于（ ）
A.22B.21C.19D.18
【解析】 ∵a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝34，
an－4＋an－3＋an－2＋an－1＋an＝146，
又∵a1＋an＝a2＋an－1＝…＝a5＋an－4，
∴5（a1＋an）＝180，∴a1＋an＝36.
∴Sn＝234＝＝，∴n＝13.
∴a1＋a13＝2a7＝36，故a7＝18.
【答案】 D
7．若数列{an}是等差数列，首项a1<0，a1005＋a1006<0，a1005·a1006<0，则使前n项和Sn<0成立的最大正整数n是（ ）
A．2009B．2010C．2011D．2012
【解析】 由题意知a1005<0，a1006>0，则S2010＝×2010<0，S2011＝2011a1006>0，故选B.
【答案】 B
二、填空题
8．在等差数列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a6＝________.
【解析】 设公差为d，∵a5＝a2＋6，∴3d＝6，∴d＝2，
∴a6＝a3＋3d＝7＋6＝13.
【答案】 13
9．将等差数列{an}中的所有项依次排列，并如下分组：
{a1}，{a2，a3}，{a4，a5，a6，a7}…，第一组中有1项，第二组中有2项，第三组中有4项，…，第n组中有2n－1项．记Tn为第n组各项的和，已知T3＝－48，T4＝0，则等差数列{an}的通项公式为________．
【解析】 由已知得
即∴∴an＝2n－23.
【答案】 an＝2n－23
10．在如下数表中，已知每行每列中的数都成等差数列．
第1列
第2列
第3列
…
第1行
1
2
3
…
第2行
2
4
6
…
第3行
3
6
9
…
…
…
…
…
…
那么位于表中的第n行第n＋1列的数是________．
【解析】 由表可知第n行形成首项为n，公差为n的等差数列，∴an＋1＝n＋（n＋1－1）·n＝n2＋n.
【答案】 n2＋n
三、解答题
11．设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知S3与S4的等比中项为S5，S3与S4的等差中项为1，求等差数列{an}的通项an.
【解析】 由题意得（其中S5≠0）．
设数列公差为d，
将a1，d代入整理得
解得或
∴an＝1，或an＝4＋（n－1）＝－n.
经验证，an＝1时，S5＝5；
an＝－n时，S5＝－4均满足题意．
故所求通项为an＝1或an＝－n.
12．已知首项为负的数列{an}中，相邻两项不为相反数，且前n项和Sn＝（an－5）（an＋7）．
（1）求证：
数列{an}为等差数列；
（2）设数列的前n项和为Tn，对一切正整数n都有Tn≥M成立，求M的最大值．
【解析】
（1）证明：
∵Sn＝（an－5）（an＋7），
∴an＋1＝Sn＋1－Sn
＝（an＋1－5）（an＋1＋7）－（an－5）（an＋7），
∴（an＋1－an－2）（an＋1＋an）＝0，
∴an＋1－an＝2或an＋1＋an＝0.
又相邻两项不为相反数，
∴an＋1－an＝2，
∴数列{an}为公差为2的等差数列．
（2）由S1＝（a1－5）（a1＋7）⇒a1＝7或a1＝－5，
∵数列{an}的首项为负，∴a1＝－5，
由
（1）得an＝2n－7，
∴＝＝.
∴Tn＝
＝，
∴数列{Tn}（n∈N*）在[1,2]，[3，＋∞）上是递增数列．
又当n＝1时，T1＝，当n＝3时，T3＝－，
∴要使得对于一切正整数n都有Tn≥M成立，
只要M≤－，所以M的最大值为－.
第八单元第三节
一、选择题
1．（精选考题·全国高考Ⅰ卷）已知在各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6＝（ ）
A．5B．7C．6D．4
【解析】 ∵{an}为等比数列，∴a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9成等比数列，即（a4a5a6）2＝a1a2a3·a7a8a9＝50，∴a4a5a6＝5.
【答案】 A
2．设等比数列{an}的公比q＝2，前n项和为Sn，则＝（ ）
A．2B．4C.D.
【解析】 ＝×＝×＝.
【答案】 C
3．（精选考题·菱湖模拟）在等比数列{an}中，a1＝2，前n项和为Sn，若数列{an＋1}也是等比数列，则Sn＝（ ）
A．2nB．3nC．3n－1D．2n＋1－2
【解析】 由题意得（a2＋1）2＝（a1＋1）（a3＋1），
∵数列{an}是等比数列且a1＝2，
∴（2q＋1）2＝（2＋1）（2q2＋1），解得q＝1.
∴Sn＝na1＝2n.
【答案】 A
4．（精选考题·辽宁高考）设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．已知a2a4＝1，S3＝7，则S5＝（ ）
A.B.C.D.
【解析】 ∵a2a4＝1，∴a32＝1.又∵a3>0，∴a3＝1.
∵S3＝7，∴a1＋a2＋1＝7，即＋＝6，
∴q＝或q＝－（舍去）．∵a1·q2＝1，∴a1＝4，
∴S5＝＝＝.
【答案】 B
5．已知{an}是递减等比数列，a2＝2，a1＋a3＝5，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1（n∈N*）的取值范围是（ ）
A．[12,16）B．[8,16）
C.D.
【解析】 ∵a2＝2，a1＋a3＝5，
∴＋2q＝5，∵{an}递减，∴q＝，a1＝4，
∵数列{anan＋1}是以a1a2为首项，q2为公比的等比数列，
∴a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝
＝＝，
而是递增数列，≤1－n<1，
∴8≤<.
【答案】 C
6．（精选考题·山东高考）设{an}是首项大于零的等比数列，则“a1A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 充分性：
因a1>0，有a11，所以数列{an}是递增数列；必要性：
∵数列{an}是递增的等比数列，∴q>1且a1>0，∴a1【答案】 C
7．已知等比数列{an}的前n项和Sn＝t·5n－2－，则实数t的值为（ ）
A.4B.5C.D.
【解析】 ∵a1＝S1＝t－，a2＝S2－S1＝t，a3＝S3－S2＝4t，∴2＝×4t，显然t≠0，∴t＝5.
【答案】 B
二、填空题
8．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1,2S2,3S3成等差数列，则{an}的公比为________．
【解析】 ∵S1,2S2,3S3成等差数列，
∴4S2＝S1＋3S3，若q＝1，则8a1＝10a1，a1＝0矛盾，
∴q≠1，∴＝a1＋，解得q＝.
【答案】
9．{an}是公差不等于零的等差数列，且a7，a10，a15是等比数列{bn}的连续三项，若b1＝3，则bn＝________.
【解析】 ∵a7，a10，a15成等比数列，
∴a102＝a7·a15，即（a1＋9d）2＝（a1＋6d）（a1＋14d），
整理得a1＝－d，∴q＝＝＝.
∴bn＝3×n－1.
【答案】 3×n－1
10．一直角三角形三边的长成等比数列，则较小锐角的正弦值为________．
【解析】 设三边a，b，c成等比数列，且a则b2＝ac，且c2＝a2＋b2，∴ac＝c2－a2，即＝1－.
∵sinA＝，∴sin2A＋sinA－1＝0，
解得sinA＝.
【答案】
三、解答题
11．（精选考题·福建高考）数列{an}中，a1＝，前n项和Sn满足Sn＋1－Sn＝n＋1（n∈N*）．
（1）求数列{an}的通项公式an以及前n项和Sn；
（2）若S1，t（S1＋S2），3（S2＋S3）成等差数列，求实数t的值．
【解析】
（1）由Sn＋1－Sn＝n＋1得
an＋1＝n＋1（n∈N*），
又a1＝，故an＝n（n∈N*）．
从而Sn＝＝（n∈N*）．
（2）由
（1）可得S1＝，S2＝，S3＝.
由S1，t（S1＋S2），3（S2＋S3）成等差数列可得
＋3×＝2×t，解得t＝2.
12．数列{an}的前n项和Sn＝2an－1，数列{bn}满足：
b1＝3，bn＋1＝an＋bn（n∈N*）．
（1）求证：
数列{an}为等比数列；
（2）求数列{bn}的前n项和Tn.
【解析】
（1）∵Sn＝2an－1，n∈N*，
∴Sn＋1＝2an＋1－1，两式相减得an＋1＝2an＋1－2an，
∴an＋1＝2an，n∈N*.由a1＝1，知an≠0，∴＝2.
由定义知{an}是首项为1，公比为2的等比数列．
（2）∵an＝2n－1，bn＋1＝2n－1＋bn，∴bn＋1－bn＝2n－1.
∴b2－b1＝20，b3－b2＝21，b4－b3＝22，…，bn－bn－1＝2n－2，等式两边分别相加得
bn＝b1＋20＋21＋…＋2n－2＝3＋＝2n－1＋2.
∴Tn＝（20＋2）＋（21＋2）＋…＋（2n－1＋2）
＝（20＋21＋…＋2n－1）＋2n＝2n＋2n－1.
第八单元第四节
一、选择题
1．（精选考题·浙江高考）设Sn为等比数列前n项和，8a2＋a5＝0，则＝（ ）
A．－11B．－8C．5D．11
【解析】 ∵＝q3＝－8，∴q＝－2，
∴＝×＝＝－11.
【答案】 A
2．公差不为零的等差数列{an}的前n项和Sn，若a4是a3与a7的等比中项，S8＝32，则S10等于（ ）
A．18B．24C．60D．90
【解析】 由得
解得∴S10＝10a1＋d＝60.
【答案】 C
3．已知数列{an}的通项公式是an＝，其前n项和Sn＝，则项数n等于（ ）
A．13B．10C．9D．6
【解析】 ∵an＝1－，∴Sn＝n－＝n－1＋n＝，∴n＝6.
【答案】 D
4．已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2＋3，a3＝4＋5＋6，a4＝7＋8＋9＋10，…，则a10的值为（ ）
A．750B．610C．510D．505
【解析】 a10的最后一个加数为1＋2＋…＋10＝55，
∴a10＝46＋47＋…＋55＝505.
【答案】 D
5．设{an}是公差不为0的等差数列，a1＝2且a1，a3，a6成等比数列，则{an}的前n项和Sn＝（ ）
A.＋nB.＋n
C.－nD．n2＋n
【解析】 由a32＝a1a6得，（2＋2d）2＝2（2＋5d），∴d＝，∴Sn＝2n＋·＝＋n.
【答案】 A
6．（精选考题·南昌模拟）已知函数f（x）＝x2＋bx的图象在点（1，f
（1））处的切线的斜率为3，数列的前n项和为Sn，则S2010值为（ ）
A.B.C.D.
【解析】 f′（x）＝2x＋b，∴2＋b＝3，即b＝1，
∴f（n）＝n2＋n，＝＝－，
＋＋…＋
＝＋＋…＋
＝1－＝.
【答案】 D
7．（精选考题·临沂模拟）已知数列{xn}满足xn＋3＝xn，xn＋2＝|xn＋1－xn|（n∈N*），若x1＝1，x2＝a（a≤1，a≠0），则数列前2010项的和为（ ）
A．669B．670C．1338D．1340
【解析】 ∵xn＋3＝xn，∴{xn}的周期为3，
x3＝|x2－x1|＝|a－1|＝1－a，
∴x1＋x2＋x3＝1＋a＋1－a＝2.
∴S2010＝S670×3＝670×2＝1340.
【答案】 D
二、填空题
8．设Sn表示等差数列{an}的前n项和，且S9＝18，Sn＝240.若an－4＝30（n>4），则n＝________.
【解析】 ∵S9＝×9＝9a5＝18，∴a5＝2，
∵Sn＝·n＝·n＝·n＝240，
∴n＝15.
【答案】 15
9．已知数列{an}中，an＝Sn是其前n项和，则S9＝________.
【解析】 S9＝1＋3＋22＋7＋24＋11＋26＋15＋28
＝×4＋＝36＋341＝377.
【答案】 377
10．（精选考题·辽宁高考）已知数列{an}满足a1＝33，an＋1－an＝2n，则的最小值为________．
【解析】 由an＋1－an＝2n知：
a2－a1＝2，a3－a2＝2×2，a4－a3＝2×3，…，an－an－1＝2（n－1），
以上各式相加得an－a1＝2[1＋2＋…＋（n－1）]＝n2－n，
∴an＝n2－n＋33，∴＝n＋－1.
∴在（0,5]上递减，在[6，＋∞）上递增，
又∵＝>＝，∴的最小值为.
【答案】
三、解答题
13．（精选考题·东北三省模拟）已知等差数列{an}满足a4＝6，a6＝10.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设等比数列{bn}的各项均为正数，其前n项和Tn，若b3＝a3，T2＝3，求Tn.
【解析】
（1）设等差数列{an}的公差为d，首项为a1，
∵a4＝6，a6＝10，∴解得
∴数列{an}的通项公式an＝a1＋（n－1）d＝2n－2.
（2）设各项均为正数的等比数列{bn}的公比为q（q>0）．
∵an＝2n－2，∴a3＝4，
解得或（舍去）
∴Tn＝＝＝2n－1.
14．（精选考题·皖南八校第二次联考）已知数列{an}中，a1＝2，a2＝4，an＋1＝3an－2an－1（n≥2，n∈N*）．
（1）证明：
数列{an＋1－an}是等比数列，并求出数列{an}的通项公式；
（2）记bn＝（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Sn.
【解析】
（1）∵an＋1＝3an－2an－1（n≥2，n∈N*），
∴（an＋1－an）＝2（an－an－1）（n≥2，n∈N*）．
∵a1＝2，a2＝4，∴a2－a1＝2≠0，
∴an－an－1≠0（n≥2，n∈N*）．
故数列{an＋1－an}是首项为2，公比为2的等比数列，
∴an＋1－an＝（a2－a1）2n－1＝2n，
∴an＝（an－an－1）＋（an－1－an－2）＋（an－2－an－3）＋…＋（a2－a1）＋a1＝2n－1＋2n－2＋2n－3＋…＋21＋2
＝＋2＝2n（n≥2，n∈N*）．
又a1＝2满足上式，∴an＝2n（n∈N*）．
（2）由
（1）知bn＝＝2
＝2＝2－（n∈N*），
∴Sn＝2n－
＝2n－＝2n－2＝2n－2＋.
第八单元第五节
一、选择题
1．（精选考题·临沂模拟）在各项是正数的等比数列{an}中，a2，a3，a1成等差数列，则的值为（ ）
A.B.
C.D.，
【解析】 由a2，a3，a1成等差数列，得a3＝a2＋a1，即q2－q－1＝0，∴q＝，又an>0，∴＝q＝.
【答案】 B
2．已知－9，a1，a2，a3，－1成等比数列，－9，b1，b2，－1成等差数列，则a2（b1－b2）等于（ ）
A．－B．8C．－8D．±8
【解析】 由题意得a22＝9，∵a2<0，∴a2＝－3，
又∵3（b2－b1）＝（－1）－（－9），∴b2－b1＝，
∴a2（b1－b2）＝（－3）＝8.
【答案】 B
3．已知x>0，y>0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则的最小值是（ ）
A．0B．1C．2D．4
【解析】 ∵a＋b＝x＋y，cd＝xy，
∴＝＝≥＝4，
当且仅当x＝y时取“＝”，选D.
【答案】 D
4．在等比数列{an}中，a1＝2，前n项和为Sn，若数列{an＋1}也是等比数列，则Sn等于（ ）
A．2n＋1－2B．3nC．2nD．3n－1
【解析】 ∵数列{an}为等比数列，则an＝
升级会员 