高考数列专题总结(全是精华)Word文件下载.doc

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∴Tn＝n2－n．

例2．设数列{an}的首项a1=1，前n项和Sn满足关系式：

3tSn－（2t+3）Sn－1=3t（t>

0，n=2，3，4，…）

求证：

数列{an}是等比数列；

（1）由a1=S1=1，S2=1+a2，得a2=

又3tSn－（2t+3）Sn－1=3t ①

3tSn－1－（2t+3）Sn－2=3t ②

①－②得3tan－（2t+3）an－1=0∴，（n=2，3，…）

所以{an}是一个首项为1，公比为的等比数列.

练习：

已知a1=2，点（an,an+1）在函数f（x）=x2+2x的图象上，其中=1，2，3，…

（1）证明数列｛lg（1+an）｝是等比数列；

（2）设Tn=（1+a1）（1+a2）…（1+an），求Tn及数列｛an｝的通项；

答案.

（2）,;

二．通项的求法

（1）利用等差等比的通项公式

（2）累加法：

例3．已知数列满足，，求。

由条件知：

分别令，代入上式得个等式累加之，即

所以

，

（3）构造等差或等比或

例4．已知数列满足

求数列的通项公式；

是以为首项，2为公比的等比数列。

即　

例5．已知数列中，,，求.

在两边乘以得：

令，则,解之得：

所以.

练习:

已知数列满足，且。

（1）求；

（2）求数列的通项公式。

（1）

（2）

∴

（4）利用

例6．若和分别表示数列和的前项和，对任意正整数

，.求数列的通项公式；

……2分当

当……4分

1.已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列{an}的通项an

解:

∵10Sn=an2+5an+6，①∴10a1=a12+5a1+6，解之得a1=2或a1=3

又10Sn－1=an－12+5an－1+6（n≥2），②

由①－②得10an=（an2－an－12）+6（an－an－1），即（an+an－1）（an－an－1－5）=0

∵an+an－1>

0，∴an－an－1=5（n≥2）

当a1=3时，a3=13，a15=73a1，a3，a15不成等比数列∴a1≠3;

当a1=2时，a3=12，a15=72，有a32=a1a15，∴a1=2，∴an=5n－3

2．设数列的前项的和

（Ⅰ）求首项与通项；

（Ⅱ）设，，证明：

（I），解得：

所以数列是公比为4的等比数列

所以：

得：

（其中n为正整数）

（II）

（5）累积法转化为，逐商相乘.

例7．已知数列满足，，求。

由条件知，分别令，代入上式得个等式累乘之，即

又，

1.已知，，求。

。

2．已知数列{an}，满足a1=1，（n≥2），

则{an}的通项

由已知，得，用此式减去已知式，得

当时，，即，又，

，将以上n个式子相乘，得

（6）倒数变形：

两边取倒数后换元转化为。

例8：

已知数列｛an｝满足：

，求数列｛an｝的通项公式。

取倒数：

是等差数列，

a1＝，且an＝

求数列｛an｝的通项公式；

将条件变为：

1－＝，因此｛1－｝为一个等比数列，其首项为

1－＝，公比，从而1－＝，据此得an＝（n³

1）

三．数列求和

1、等差数列求和公式：

2、等比数列求和公式：

3、错位相减法求和

{an}、{bn}分别是等差数列和等比数列.

例9．求和：

由题可知，设………………………①

…②（设制错位）

①－②得（错位相减）再利用等比数列的求和公式得：

。

∴

求数列前n项的和.

由题可知，{}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{}的通项之积

设…………………………………①

…………②①－②得

∴

4、倒序相加法求和

这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个.

5、分组法求和

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.

例10．求数列的前n项和：

，…

设

将其每一项拆开再重新组合得

（分组）

当a＝1时，＝（分组求和）

当时，＝

6、裂项法求和

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂项）

（1）为等差数列，

（2）

例11．求数列的前n项和.

设，则

＝

例12．在数列{an}中，，又，求数列{bn}的前n项的和.

　∵

　∴数列{bn}的前n项和：

＝＝

1．已知数列{}的前项和为，且满足。

求数列{}的通项公式；

（1）数列{}的前项和为，且满足

则（）

相减得：

（）

又当n=1时，，，

{}是以为首项，公比的等比数列

（）

2．已知数列：

①求证数列为等差数列，并求它的公差

②设，求。

①由条件，

∴；

∴

故为等差数列，公差

②

又知

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