初中数学《锐角的三角函数值》教案精选文档.docx
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初中数学《锐角的三角函数值》教案精选文档
初中数学《锐角的三角函数值》教案
21.2锐角的三角函数值
一、教法设想：
通过同学们经常使用的三角板，让同学们计算一下，当A=30A=45由于同学们所使用三角板大小不一，但他（她）们求得的比值都是和，这是为什么呢？
由相似三角形有关性质得出：
在这些直角三角形中，锐角A取一个固定值，A的对边与斜边的比值仍是一个固定值，进而再引入正弦，余弦的概念，并向同学说明0sinA1,cosA1（A为锐角）.
再分别求出30，45，60特殊三角函数值并应用其进行计算，进一步研究任意锐角的正弦值与余角的余弦值关系.
根据30，45，60正、余弦值分析，引导同学归纳出：
当角度在090间变化时，正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；当角度在090间变化时，余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）.
适时介绍正弦和余弦表的构造.结合实例进行查表，知其角度查正弦值或余弦值，反之亦然.正确处理好修正值.
对学有余力的学生，也可适当介绍“sin2A+cos2A=1”这一重要关系式.
在学习正弦、余弦的概念后，再进一步学正切、余切较容易，可仿正弦、余弦的教法进行，对学有余力的学生也可讲授这些重要关系式.
在教学中对0，30，45，60，90的特殊角的三角函数值要求学生一定要熟记，为此，我们可分别列出表并编出口决让学生记易，省时易记.
表I：
三角函数304560
Sin
Cos
tg
口决：
一，二，三，三，二，一，三九二十七.
表II.
三角函数030456090
Sin
Cos
tg0
1
ctg──
1
口决：
0，一，二，三，四带根号，比上2要记牢.
第二行左右倒，三，四行靠推导.
【指点迷津】
本单元锐角三角函数的引进，使形与数紧密结合为一体，开辟了数形结合的新航向.因此，在本单元教学中，务必注意数形结合思维方法的引导，应用.用其法解决生活中的实际问题.达到得心应手.
二、学海导航：
【思维基础】
1.锐角三角函数定义
Rt△ABC中，C=90，AB=c，BC=a，AC=b，则A的正弦，余弦，正切，余切分别是：
SinA=________CosA=_______tgA=________CtgA=________.它们统称为A的锐角三角函数.
（1）一锐角的三角函数值是四个_______；锐角三角函数都不可能取_________，且A为锐角时，SinA，CosA均在______~______内取值.
2.特殊角的三角函数值（完成下表）
030456090增减值
Sin
Cos
tg
ctg
3.互余角间的三角函数关系，△ABC中，C=90，A+B=90，B=90－A，则有：
Sin（90－A）=___________
Cos（90－A）=___________
tg（90－A）=___________
Ctg（90－A）=___________.
4.同角三角函数关系公式：
（A为锐角）.
（1）Sin2A+Cos2A=___________;Cos2A=___________,Sin2A=____________.
【学法指要】
例1.如果A为锐角，CosA=，那么（）
A.0AB.30A
C.45AD.60A
思路分析：
当角度在090间变化时，余弦值随着角度的增大（或减少）而减小（或增大）.
60A应选D
例2.当45X时，有（）
A.SinxCosxtgxB.tgxCosxSinx
C.CosxSinxtgxD.tgxSinxCosx
思路分析：
∵45x取A=60
，tgxSinxCosx
应选D
解选择题，采取特例法可出奇制胜，如本例取x=60在45x的范围内，很快可知Sin60,Cos60,tg60的值，谁大谁小，相形见绌.因之，在解决有关选择题时，根据题目的限制条件，灵活选取特殊值（也可画特殊图形，特殊点，特殊位置，特殊线等），可巧夺天工.
例3.计算：
思咯分析：
若a0时,a0=1
对此项中的Sin36是一项干扰支.迷惑同学们，因为Sin36，不是表内特殊值，求不出来，至使解题陷入僵局，其实不然.不需要求Sin36之值，只需要知道即可.因而，解题时，必须善于排除干扰支，解除困惑，准确使用数学概念，正确求出答案，对于特殊角三角函数值的计算，一.要准确无误代入三角函数值；二.要按照实数的运算法则进行运算；三.运算的结果必须是最简关系式.于是对上式便一目了然了.
例4.已知方程的两根为tg,ctg,求k和，（为锐角）
思路分析：
∵tg,ctg为二次方程的二根，根据与系数关系式，得
∵tgctg=1k=1
原方程为
即tg=,ctg=或tg=,ctg=
故1=302=60
锐角三角函数与二次方程等有着千丝万缕的联系，各种知识交织在一起，因而必须把综合知识进行剖析，分解，然后各个击破，便可打通思路.如本例，首先运用二次方程的有关知识──根与系数关系；再运用锐角三角函数的倒数关系求出K，又回到解一元二次方程来，解出二根，从中求出tg,ctg之值，再求出对应的之值，总之，善于剖析，化整为零，一个一个解决，对复杂的综合题便可攻破了.
例5.在△ABC中，三边之比a：
b：
c=1：
：
2，则SinA+tgA等于（）
A.B.
C.D.
思路分析：
∵a：
b：
c=1：
：
2
可设a=k,b=k,c=2k（k0）
a2+b2=k2+（k）2=4k2=（2k）2=c2
△ABC是直角三角形，且C=90
根据三角函数定义，可知：
△ABC是直角三角形，且C=90
根据三角函数定义，可知：
SinA+tgA
应选（A）
对于题设是以连比形式出现的，通常都是增设参数K，将未知转化已知，使问题明朗化，进而再研究三角形三边的关系，从而判定为直角三角形，又转化为锐角三角函数问题，找到思路，这是解决此类问题的常用方法，而且又比较方便，请同学们今后遇到此类问题，可小试“牛刀”.
【思维体操】
例1.已知AD是直角△ABC的斜边BC上的高，在△ADB及△ADC中分别作内接正方形，使每个正方形有两条边分别在DB，DA及DC，DA上，而两个正方形的第四个顶点E，F各在AB，AC上，求证：
AE=AF.
揭示思路1：
设ABC=.正方形EMDG与正方形DNFH的边长分别为a,b
∵AD=AG+DG=atg+a
AD=AH+DH=bCtg+b
atg+a=bctg+b
=bctg=AH.
AE=AF
揭示思路2：
设BC=a,且ABC=，则有
AB=acos
同理：
AE=AF
由上两种思路证得AE=AF，可发现用三角法研究几何问题，开门见山，直截了当，只要所给定的几何图形中有直角三角形.便可应用锐角三角函数列出它们的边角关系式，再应用代数法计算一下，便可达到目的.题设所给的问题中，未有给定直角三角形，只要能构造出直角三角形，同样也可转化为用三角法证解之，而且也比较方便，由此可见，用三角法证（解）几何问题为解几何问题又开拓了新的渠道.为数与形结合提供了新的条件，我们应在这条新渠道不断探索，取得新的成果.现沿这思路继续扩散.
扩散一：
如图，Rt△ABC中，有正方形DEFG，D，G分别在AB，AC上，E，F在斜边BC上，求证：
EF2=BEFC
揭示思路：
从题设及图形中都可发现有直角三角形，所以用三角法证之比较顺畅.
在Rt△BDE中，
在Rt△GFC中，
∵B+C=90，tgB=tg（90－C）=ctgC
∵DE=GF=EF
EF2=BECF
扩散二：
在△ABC外侧作正方形ABDM和ACEN，过D，E向BC作垂线DF，EG，垂足分别为F，G，求证：
BC=DF+EG
提示思路：
观察图形可发现直角三角形DFB及直角三角形EGC.便萌生用三角法证明，可是此时DF，EG比较分散.设法作AHBC再构两个直角三角形，通过正方形为“媒介”，这样把DF，EG就有了联系.此时，应用锐角三角函数定义建立边角关系，便可马到成功！
在Rt△EGC中，
EG=bcos
在Rt△DBF中，同理，DF=ccos（设b,c,,如图）
EG+DF=bCos+ccos
在Rt△ABH中，BH=ccos
在Rt△ACH中，CH=bcos
∵BC=BH+CH,BC=bcos+ccos
BC=EG+DF
扩散三：
设顶角A=108的等腰三角形的高为h，A的三等分线及其外角的四等分线分别为P1，P2，求证：
揭示思路：
从图形中可发现有几个直角三角形存在，这个信息向我们提供用三角法证明是得天独厚的条件，不要犹豫，不然，将会失去良机.
如图，设△ABC的底边上的高AH=h,A的三等分线AD=P1，A的外角四等线AE=P2，BAC=108，AB=AC，
DAH=18
在Rt△ADH中，cos18
∵CAE=（180－108）=18
ACB=（180－108）=36
AEC=18
在Rt△AHE中，Sin18
扩散四：
已知：
如BAC=90，ADBC，DEAB，DFAC，垂足分别为D、E、F.
求证：
揭示思路：
本例直角三角形之多，用三角法证之更不宜迟，用锐角三角函数定义，列出边角关系，可十分巧妙就证得结论.
设ABC=，则DAF=CDF=
扩散五：
在正方形ABCD中，AE平分BAC交BC于E，交OB于F，求证：
EC=20F
揭示思路：
观察图形，图中有许多直角三角形，它启示我们用三角法作为“向导”，可直达目的地.
BEF=ACB+EAC=45BAE
∵BFE=CAE,BEF=BFE,
BE=BF
进而可知AD=DF
设正方表ABCD边长为1，又设BAE=CAE=
则OA=OB=
在Rt△ABE中，BE=ABtg=BF
BF=OB－OF=OB－OAtg
ABtg=OB－OAtg
OF=OAtg=（－1）
EC=BC－BE=1－1tg=1－+1=2－=（－1）
EC=20F
应用锐角三角函数的定义研究几何问题；直观，又少添或不添设辅助线，充分发挥数的长处.把几何问题通过锐角三角形边角关系，应用计算法，便可曲径通幽，柳暗花明.同学们应加强这方面的学习，以拓宽几何证题思路.
三、智能显示
【动脑动手】
1.在Rt△ABC中，C=90，则SinB+CosB的值（）
（A）大于1（B）小于1
（C）等于1（D）不确定
2.在△ABC中，它的边角同时满足下列两个条件；
（1）SinC=1；
（2）SinA,CosB是方程4x2－cx+1=0的两个根，求a，b，c及S△ABC
3.证明：
“从平行四边形ABCD的顶点A，B，C，D向形外的任意直线MN引垂线AA＇BB＇CC＇DD＇垂足是A＇B＇C＇D＇（如下图）
求证：
AA＇+CC＇=BB＇+DD＇，现将直线MN向上移动，使得A点在直线的一侧，B、C、D三点在直线的另一侧（如中图），这时，从A、B、C、D向直线MN作垂线，垂足为A＇B＇C＇D＇，那么垂线放AA＇BB＇CC＇DD＇之间存在什么关系？
如将直线MN再问上移动，使两侧各有两个顶点（如下图）.从A，B，C，D向直线MN作的垂线放AA＇BB＇CC＇DD＇之间又有什么关系？
根据左图，中图，右图写出你的猜想，并加以证明.
揭示思路：
1.在Rt△ABC中，C=90
由锐角三角函数定义，得
∵a+bc
SinB+CosB1,应选A.
2.∵SinC=1,C=90
∵SinA+CosB=,SinACosB=
又A+B=90,B=90－A
CosB=Cos（90－A）=SinA
c=4,A=30,a=2,b=
3.猜想如下：
对于中图有：
CC＇－AA＇=BB＇+DD＇
对于右图有：
CC＇－AA＇=DD＇－BB＇
证法1.如图,设AEA＇=,则AA＇=AESin=（OA－OE）Sin=OASin－OESin，又CC＇=CESin=（OC+OE）Sin=（OA+OE）Sin=OASin+OESin
CC＇－AA＇=2OESin
∵OO＇=OESin,CC＇－AA＇=2OO＇
由题设知，OO为梯形BBDD的中位线.
BB＇+DD＇=2OO＇
CC＇－AA＇=BB＇+DD＇
（2）如图，仿
（1）证法可得
CC＇－AA＇=2OESin
DD＇－BB=2OFSin
∵OESin=OFSin,
CC＇－AA＇=DD＇－BB＇
证法二：
（1）延长CB交MN于E，设AD与MN交于F，又设AFA＇=，则BEB＇=，在Rt△EBB＇中，
∵BE=CE－CB
BB＇=BESin－CBSin
在Rt△ECC＇中，Sin=,
CC=CESin
∵CC＇－BB＇=BCSin
在Rt△AA＇F与Rt△FDD＇中.
AA＇=AFSin,DD＇=DFSin
∵DF=AD－AF
DD＇=ADSin－AFSinA＇
DD＇=ADSin－AA＇
DD＇+AA＇=ADSin
∵AD=BC,CC＇－BB＇=DD＇+AA＇
CC＇－AA＇=BB＇+DD＇
（2）仿证法
（1）同样可证得
CC＇+BB＇=BCSin
AA＇+DD＇=ADSin
CC＇+BB＇=AA＇+DD＇，
CC＇－AA＇=DD＇－BB＇
证法三：
（1）如图，作DECC＇，则DD＇C＇E为矩形，CE=CC＇－DD＇
设AFA＇=，则易知CDE=在Rt△CDE中，
CC＇－DD＇=CDSin
在Rt△AFA＇中，AA＇=AFSin
在Rt△FBB＇中，BB＇=BFSin
BB＇=（AB－AF）Sin=ABSin－AFSin
AA＇+BB＇=ABSin
∵AB=CD,∵AA＇+BB＇=CC＇－DD＇
CC＇－AA＇=DD＇+BB＇
（2）如图，仿
（1）同法可证：
CC＇－AA＇=DD＇－BB＇
【创新园地】
已知△ABC中，BAC=120，ABC=15，
A，B，C的对边分别为a,b,c那么a：
b：
c=_________（本结论中不含任何三角函数，但保留根号，请考虑多种解法）.
解法一：
过点B作BDAC交CA的延长线于点D.
BAC=120，
ABC=15,ACB=DBC=45ABD=30
在Rt△ABD中，Sin30AD=c
Cos30，BD=
b－BD－AD=
a=
a：
b：
c=
解法二：
如图，作ADBC，交BC于D，在AB上取AE=AC，连CE，作AFCE，交CE于F，则ACE=AEC=，BCE=ACB－30=45－30=15
△BEC为等腰三角形，BE=CE
设AD=CD=1，则AC=，即b=
CE=2ACCos30
AB=AE+EB=+，即c=+
BD=
BC=BD+DC=3+，即a=3+
a：
b：
c=（3+）：
：
（+）
解法三：
如图，作ADBC,交BC于D,在BC上取点E，使BAE=B=15,那么，连接AE，得：
AEC=30，AE=BE.设AD=DC=1，则AC=，即b=，AE=BE=2AD=2，DE=AECos30=
即c=+
a：
b：
c=（3+）：
：
（+）
解法四：
如图，BD=x，则2x2=a2，
x=
=（参照解法一图）
解法五：
以BC为直径作⊙o，延长CA交⊙o于在，连BD，设a=2r，则BD=r,AD=
解法六：
建立如图坐标系，则可求：
唐宋或更早之前，针对“经学”“律学”“算学”和“书学”各科目，其相应传授者称为“博士”，这与当今“博士”含义已经相去甚远。
而对那些特别讲授“武事”或讲解“经籍”者，又称“讲师”。
“教授”和“助教”均原为学官称谓。
前者始于宋，乃“宗学”“律学”“医学”“武学”等科目的讲授者；而后者则于西晋武帝时代即已设立了，主要协助国子、博士培养生徒。
“助教”在古代不仅要作入流的学问，其教书育人的职责也十分明晰。
唐代国子学、太学等所设之“助教”一席，也是当朝打眼的学官。
至明清两代，只设国子监（国子学）一科的“助教”，其身价不谓显赫，也称得上朝廷要员。
至此，无论是“博士”“讲师”，还是“教授”“助教”，其今日教师应具有的基本概念都具有了。
解法七：
建立如图坐标系，由B点引X轴的垂线，垂足为D，则
“师”之概念，大体是从先秦时期的“师长、师傅、先生”而来。
其中“师傅”更早则意指春秋时国君的老师。
《说文解字》中有注曰：
“师教人以道者之称也”。
“师”之含义，现在泛指从事教育工作或是传授知识技术也或是某方面有特长值得学习者。
“老师”的原意并非由“老”而形容“师”。
“老”在旧语义中也是一种尊称，隐喻年长且学识渊博者。
“老”“师”连用最初见于《史记》，有“荀卿最为老师”之说法。
慢慢“老师”之说也不再有年龄的限制，老少皆可适用。
只是司马迁笔下的“老师”当然不是今日意义上的“教师”，其只是“老”和“师”的复合构词，所表达的含义多指对知识渊博者的一种尊称，虽能从其身上学以“道”，但其不一定是知识的传播者。
今天看来，“教师”的必要条件不光是拥有知识，更重于传播知识。
解法八：
建立如图坐标系，设C（－1，0），B（1，0），延长CA交Y轴于点D，连结BD，则D点坐标是（0，1），那么|BD|=|CD|=
家庭是幼儿语言活动的重要环境，为了与家长配合做好幼儿阅读训练工作，孩子一入园就召开家长会，给家长提出早期抓好幼儿阅读的要求。
我把幼儿在园里的阅读活动及阅读情况及时传递给家长，要求孩子回家向家长朗诵儿歌，表演故事。
我和家长共同配合，一道训练，幼儿的阅读能力提高很快。
本例还可用面积法证明，如S△CBD=aBD，Sin45BD2BD=……
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