数列通项公式前n项和求法总结全.docx
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数列通项公式前n项和求法总结全
・数列通项公式求法总结:
1.定义法一一直接利用等差或等比数列的定义求通项。
特征：
适应于已知数列类型（等差或者等比）・
例1•等差数列加是递增数列，前n项和为Sn,且a!
a3,as成等比数列，sQ5-求数列血的通项
公式・
变式练习：
1.等差数列an中，a?
4,ai92比，求an的通项公式
2.在等比数列｛an｝中"28i2,且2出为3印和Q3的等差中项，求数列｛&｝的首项、公比及
前n项和.
2.公式法
S
求数列加的通项加可用公式an
nnn
特征：
已知数列的前n项和Sn与加的关系
例2•已知下列两数列｛an｝的前n项和Sn的公式，求｛an｝的通项公式。
（2）SnrT1
（1）Snn°n1o
€N*•求,bn
-n2kn（kNj,且S的最大值为&试确定常数k
2
2.已知数列｛an｝的前n项和Sn
开^1^ano
3.由递推式求数列通项法类型1特征：
递推公式为anf（n）
对策：
把原递推公式转化为amanf（n）,利用累加法求解。
11
例3.已知数列an满足ai-,an1an—2,求ano
2n2n
变式练习：
1.已知数列｛&｝满足an1an2n1,印1,求数列｛a.｝的通项公式
类型2特征：
递推公式为anlf（n）an
2
n
例4.已知数列J满足31
3,\
Qn,no
1.已知数列Qn中，di2,ani3an,求通项公式少。
2.设a*是首项为1的正项数列，且n1O,na：
a・®0（n=1,2,3,…），求数
列的通项公式是务
类型3特征：
递推公式为anLpanq（其中p,q均为常数）
对策：
（利用构造法消去q）把原递推公式转化为由务1panq得&paniq（n2）两式相减并整理得4p,构成数列aman以42Q为首项，以P为公比的等比a/ni数列•求出Bn!
亦的通项再转化为类型1（累加法）便可求出加・
例5.已知数列為中，创1,anl2an3,求為.
变式练习：
1.数列｛an｝满足ai=l,3arna70,求数列｛a.｝的通项公式。
2.已知数列&满足护1,am3务1•证明务2是等比数列，并求K的通项公式。
类型4特征：
递推公式为ampanf（n）（其中p为常数）
对策：
（利用构造法消去P）两边同时除以f可得到旦计*亠畀，令空bn,则
PPPp
bnlg半，再转化为类型1（累加法），求出bn之后得加也
P
例6•已知数列｛〃｝满足an12an43nl,ai1,求数列的通项公式。
变式练习：
已知数列為满足乞1,an3n2anl（n2）,求务・
•数列的前n项和的求法总结
1.公式法
（1）等差数列前n项和:
Snn'al苑na（
22
（2）等比数列前n项和：
q=l时,Snna（
1
例1.已知log3X—,求Xx2x3xn的前n项和.
log23
变式练习：
1.设等比数列an的前n项和为Sn.已知a?
6,6®as30,求可和Sn・
2.设｛an｝是等差数列，「｝是各项均为正数的等比数列，且aiol,as
85bj13o
'〃求an,bn；
（2）求数列｛bn｝的前n项和Sn。
dn
2.错位相减法
1若数列a「•为等差数列，数列h为等比数列，则数列a.bn的求和就要采用此法.
2
21,
0的前n项
将数列anbn的每一项分别乘以bn的公比，然后在错位相减，进而可得到数列已和.
变式练习:
（2）求数列anbn的前n项和Tn・
2.若公比为c的等比数列an的首项为aib且满足an
（1）求c的值；
（2）求数列｛nan｝的前n项和Sn
3.倒序相加法
如果一个数列an,与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，则可用把正着写
与倒着写的两个和式相加，就得到了一个常数列的和，这种求和方法称为倒序相加法。
特征：
/
弘&2务1
把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加
21
例3•已知f（x）（，则f（Df⑵f2f⑶fp）f
变式练习:
1•求「石芳3’
I2102
2.求sin2lsin22sin'3sin288sin289的值。
4.
裂项相消法
两项的差，采用裂项相消法求和.
可用待定系数法进行裂项:
例4.求数列
…的前n项和S.
n（n2）
C
从而可得°
（an
c
f1
b2D
（bzbj
anDan
常用裂项形式
有：
①1
11;
②1
V\）;
n（n
1）nn1'
n（nk）
nnk7
1
1111
11
11
111
冋
k2
（）
k212k1k1
kk1
（kl）kk2（k
l）kk1k
1
n（n
1）（n2）
111
2cn（n1）（n1）（n2）'；
2（.n•n
1）
⑤2（、百・n）
变式练习:
1・在数列｛an｝中，ann1,又bn求数列（bn）的前n项的和.
aa
n1n1nn1
2.等比数列&的各项均为正数，且2印3a21忌29a2a6.
（D求数列an的通项公式.
1
（II）设bnlogsailog3a2logsan,求数列一的前项和.
bn
5.分组求和法
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几
个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可•一般分两步：
①找通向项公
式②由通项公式确定如何分组.
例5.求数列21,4丄,6丄丄，2n点，L的前n项和Sn・
48162nl
变式练习：
1.求数列I1,21,3丄,4丄丄的前n项和
392781
2.若数列an的通项公式an2an3na1（a0）,求a.的前n项和
6•记住常见数列的前n项
和：
①123…nn（n1）；
2
（g）135・・・（2n1）n2;
（3）l222
221
c
n（n
1）（2
n1）・
3・・・n
6
5
7
L
2n1—（nN）旳和.n
TTP
2
L
~22
12
12
3
l222L
变式练习：
求数列
{n（n
1）（2n
1）}
的前n项
和.
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