高三数学三角函数解三角形训练题.docx
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高三数学三角函数解三角形训练题
高三数学三角函数、解三角形训练题
高三数学章末综合测试题（5）三角函数、解三角形
一、选择题：
本大题共12小题，每小题5分，共60分．
1．已知角的终边过点P（－8m，－6sin30），且cos＝－45，则m的值为（）
A．－12B.12C．－32D.32
解析：
∵|OP|＝64m2＋9，且cos＝－8m64m2＋9＝－45，
m＞0，且64m264m2＋9＝－1625＝－45，m＝12.
答案：
B
2．已知扇形的周长为6cm，面积是2cm2，则扇形的圆心角的弧度数是（）
A．1B．4C．1或4D．2或4
解析：
设扇形的圆心角为rad，半径为R，
则2R＋R＝6，12R2＝2，解得＝1，或＝4.
答案：
C
3．已知函数f（x）＝sinx＋3（＞0）的最小正周期为，则该函数图像（）
A．关于直线x＝4对称B．关于点（3，0）对称
C．关于点（4，0）对称D．关于直线x＝3对称
解析：
∵T＝，＝2.
∵当x＝4时，f（x）＝12；当x＝3时，f（x）＝0，图像关于（3，0）中心对称.
答案：
B
4．要得到函数y＝cos2x的图像，只需将函数y＝cos2x－3的图像（）
A．向右平移6个单位B．向右平移3个单位
C．向左平移3个单位D．向左平移6个单位
解析：
由cos2x＝cos2x－3＝cos2x＋3
知，只需将函数y＝cos2x－3的图像向左平移6个单位.
答案：
D
5．若2a＝3sin2＋cos2，则实数a的取值范围是（）
A.0，12B.12，1
C.－1，－12D.－12，0
解析：
∵3sin2＋cos2＝2sin2＋6，又34＜2＋6＜56，1＜2sin2＋6＜2，
即1＜2a＜2，0＜a＜12.
答案：
A
6．函数y＝3sin－2x－6（x[0，]）的单调递增区间是（）
A.0，5B.6，23
C.6，11D.23，1112
解析：
∵y＝－3sin2x＋6，由2k22x＋2k2，kZ，得
＋x＋23，kZ.又x[0，]，k＝0.此时x6，23.
答案：
B
7．已知tan＝12，tan（－）＝－25，那么tan（2－）的值是（）
A．－112B.112C.322D.318
解析：
tan（2－）＝tan[＋（－）]＝tan＋tan（－）1－tantan（－）＝12－251－12－25＝112.
答案：
B
8．定义在R上的函数f（x）既是偶函数又是周期函数，若f（x）的最小正周期为，且当x0，2时，f（x）＝sinx，则f53的值为（）
A．－12B.12C．－32D.32
解析：
f53＝f53－2＝f－3＝f3＝sin3＝32.
答案：
D
9．已知cos4＋cos4－＝14，则sin4＋cos4的值等于（）
A.34B.56C.58D.32
解析：
由已知，得sin4－cos4－＝14，即12sin2－2＝14，cos2＝12.
sin22＝1－122＝34。
则sin4＋cos4＝1－2sin2cos2＝1－12sin22＝1－38＝58.
答案：
C
10．已知、为锐角，且sin＝55，sin＝1010，则＋＝（）
A．－3B.4或3C.3D.4
解析：
∵、为锐角，且sin＝55，sin＝1010，
cos＝255，cos＝31010，且＋（0，），cos（＋）＝coscos－sinsin
＝65050－5050＝55050＝22，＋＝4.
答案：
D
11．在△ABC中，cos2B2＝a＋c2c（a、b、c分别为角A、B、C的对边），则△ABC的形状为（）
A．等边三角形B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形
解析：
∵cos2B2＝a＋c2c，2cos2B2－1＝a＋cc－1，
cosB＝ac，a2＋c2－b22ac＝ac，c2＝a2＋b2，故△ABC为直角三角形．
答案：
B
12．在沿海某次台风自然灾害中，台风中心最大风力达到10级以上，大风降雨给沿海地区带为严重的灾害，不少大树被大风折断，某路边一树干被台风吹断后，折成与地面成45角，树干也倾斜为与地面成75角，树干底部与树尖着地处相距20米，则折断点与树干底部的距离是（）
A.2063米B．106米C.1063米D．202米
解析：
设折断点与树干底部的距离为x米．
则xsin45＝20sin（180－75－45）＝20sin60，
x＝20sin45sin60＝2023＝2063（米）.
答案：
A
二、填空题：
本大题共4个小题，每小题5分，共20分．
13．若4是函数f（x）＝sin2x＋acos2x（aR，且为常数）的零点，则f（x）的最小正周期是__________．
解析：
由题意，得f4＝sin2＋acos24＝0，1＋12a＝0，a＝－2.
f（x）＝sin2x－2cos2x＝sin2x－cos2x－1＝2sin2x－4－1，
f（x）的最小正周期为.
答案：
14．在△ABC中，tanA＋tanB＋3＝3tanAtanB.sinAcosB＝34，则△ABC的形状为__________．
解析：
∵tanA＋tanB＝3（tanAtanB－1），
tan（A＋B）＝tanA＋tanB1－tanAtanB＝－3，tanC＝3，又C（0，），C＝3.
sinC＝sin（A＋B）＝sinAcosB＋cosAsinB＝32，
cosAsinB＝34，sinAcosB＝cosAsinB，sin（A－B）＝0，A＝B.
△ABC为正三角形．
答案：
正三角形
15．若将函数y＝tanx＋4（＞0）的图像向右平移6个单位后，与函数y＝tanx＋6的图像重合，则的最小值为__________．
解析：
由已知，得tanx－4＝tanx－＋4＝tanx＋6，得4－＝k＋
6（kZ），＝－6k＋12（kZ）．∵＞0，当k＝0时，的最小值为12.
答案：
12
16．给出下列命题：
①半径为2，圆心角的弧度数为12的扇形面积为12；
②若、为锐角，tan（＋）＝12，tan＝13，则＋2＝4；
③若A、B是△ABC的两个内角，且sinA＜sinB，则BC＜AC；
④若a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C的对边，且a2＋b2－c2＜0，则△ABC是钝角三角形．
其中真命题的序号是__________．
解析：
①中，S扇形＝12R2＝121222＝1，
①不正确．
②中，由已知可得tan（＋2）＝tan[（＋）＋]＝tan（＋）＋tan1－tan（＋）tan＝13＋121－1312＝1，
又、为锐角，tan（＋）＝12＞0，0＜＋＜2.
又由tan＝13＜1，得0＜＜4，0＜＋2＜34，＋2＝4.②正确．
③中，由sinA＜sinBBC2R＜AC2R（2R为△ABC的外接圆半径）BC＜AC.③正确．
④中，由a2＋b2－c2＜0知，cosC＜0，
C为钝角，△ABC为钝角三角形．④正确．
答案：
②③④
三、解答题：
本大题共6小题，共70分．
17．（10分）已知sin＝－55，tan＝－13，且、－2，0.
（1）求＋的值；
（2）求2sin＝4－＋cos4＋的值．
解析：
（1）∵sin＝－55，－2，0，cos＝255.tan＝－12，
tan（＋）＝tan＋tan1－tantan＝－1.又∵－＜＋＜0，＋＝－4.
（2）由
（1）知，＋＝－4，
2sin4－＋cos4＋＝2sin4－＋cos4－＝2sin4－＋cos
＝2cos－sin＝2255＋55＝5.
18．（12分）已知、为锐角，向量a＝（cos，sin），b＝（cos，sin），c＝12，－12.
（1）若ab＝22，ac＝3－14，求角2－的值；
（2）若a＝b＋c，求tan的值．
解析：
（1）ab＝（cos，sin）（cos，sin）
＝coscos＋sinsin
＝cos（－）＝22.①
ac＝（cos，sin）12，－12
＝12cos－12sin＝3－14.②
又∵0＜＜2，0＜＜2，－2＜－＜2.
由①得－＝4，由②得＝6.
∵、为锐角，＝512.从而2－＝23.
（2）由a＝b＋c，可得cos＝cosa－12， ③sin＝sin＋12.④
③2＋④2，得cos－sin＝12.
2sincos＝34.
又∵2sincos＝2sincossin2＋cos2＝2tantan2＋1＝34，
3tan2－8tan＋3＝0.
又∵为锐角，tan＞0，
tan＝882－4336＝8286＝473.
19．（12分）已知函数f（x）＝Asin（x＋）A＞0，＞0，－2＜2一个周期的图像如图所示．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）若f（）＋f－3＝2425，且为△ABC的一个内角，
求sin＋cos的值．
解析：
（1）由图知，函数的最大值为1，则A＝1，
函数f（x）的周期为T＝412＋.
而T＝2，则＝2.
又x＝－6时，y＝0，sin2－6＋＝0.
而－2＜2，则3.
函数f（x）的表达式为f（x）＝sin2x＋3.
（2）由f（）＋f－3＝2425，得
sin2＋3＋sin2－3＝2425，化简，得sin2＝2425.
（sin＋cos）2＝1＋sin2＝4925.
由于0＜＜，则0＜2＜2，
但sin2＝2425＞0，则0＜2＜，即为锐角，
从而sin＋cos＞0，因此sin＋cos＝75.
20．（12分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且bcosC＝3acosB－ccosB.
（1）求cosB的值．
（2）若BABC＝2，b＝22，求a和c.
解析：
（1）△ABC中，∵bcosC＝3acosB－ccosB，
由正弦定理，得sinBcosC＝3sinAcosB－sinCcosB，
sinBcosC＋sinCcosB＝3sinAcosB，
sin（B＋C）＝sinA＝3sinAcosB.
∵sinA0，cosB＝13.
（2）∵BABC＝accosB＝13ac＝2，ac＝6.
∵b2＝8＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－4，
a2＋c2＝12，a2－2ac＋c2＝0，
即（a－c）2＝0，a＝c＝6.
21．（12分）已知△ABC是半径为R的圆的内接三角形，且2R（sin2A－sin2C）＝（2a－b）sinB.
（1）求角C；
（2）试求△ABC面积S的最大值．
解析：
（1）由2R（sin2A－sin2C）＝（2a－b）sinB，
两边同乘以2R，得
（2RsinA）2－（2RsinC）2＝（2a－b）2RsinB，
根据正弦定理，得a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，
a2－c2＝（2a－b）b，即a2＋b2－c2＝2ab.
再由余弦定理，得cosC＝a2＋b2－c22ab＝22，
又0＜C＜，C＝4.
（2）∵C＝4，A＋B＝34.
S＝12absinC＝24（2RsinA）（2RsinB）＝2R2sinAsinB
＝2R2sinAsin34－A＝22R2sin2A－4＋12R2，
当2A－2，即A＝38时，
S有最大值12＋22R2.
22．（12分）如图，某市拟在长为8km的道路OP的一侧修建一条运动赛道．赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y＝Asinx（A＞0，＞0），x[0,4]的图像，且图像的最高点为S（3,23）；赛道的后一部分为折线段MNP.为保证参赛运动员的安全，限定MNP＝120.
（1）求A，的值和M，P两点间的距离；
（2）应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长？
解析：
方法一：
（1）依题意，
故NP+MN＝1033sin＋1033sin（60－）
＝103312sin＋32cos
＝1033sin（＋60）．
∵0＜＜60，当＝30时，折线段赛道MNP最长．
即将PMN设计为30时，折线段赛道MNP最长．
方法二：
（1）同方法一；
（2）在△MNP中，MNP＝120，MP＝5，
由余弦定理，得
MN2＋NP2－2MNNPcosMNP＝MP2，
即MN2＋NP2＋MNNP＝25.
故（MN＋NP）2－25＝MNMN＋NP22，
从而34（MN＋NP）225，即MN＋NP1033，
死记硬背是一种传统的教学方式,在我国有悠久的历史。
但随着素质教育的开展,死记硬背被作为一种僵化的、阻碍学生能力发展的教学方式,渐渐为人们所摒弃;而另一方面,老师们又为提高学生的语文素养煞费苦心。
其实,只要应用得当,“死记硬背”与提高学生素质并不矛盾。
相反,它恰是提高学生语文水平的重要前提和基础。
当且仅当MN＝NP时等号成立．
宋以后，京师所设小学馆和武学堂中的教师称谓皆称之为“教谕”。
至元明清之县学一律循之不变。
明朝入选翰林院的进士之师称“教习”。
到清末，学堂兴起，各科教师仍沿用“教习”一称。
其实“教谕”在明清时还有学官一意，即主管县一级的教育生员。
而相应府和州掌管教育生员者则谓“教授”和“学正”。
“教授”“学正”和“教谕”的副手一律称“训导”。
于民间，特别是汉代以后，对于在“校”或“学”中传授经学者也称为“经师”。
在一些特定的讲学场合，比如书院、皇室，也称教师为“院长、西席、讲席”等。
即设计为MN＝NP时，折线段赛道MNP最长．
死记硬背是一种传统的教学方式,在我国有悠久的历史。
但随着素质教育的开展,死记硬背被作为一种僵化的、阻碍学生能力发展的教学方式,渐渐为人们所摒弃;而另一方面,老师们又为提高学生的语文素养煞费苦心。
其实,只要应用得当,“死记硬背”与提高学生素质并不矛盾。
相反,它恰是提高学生语文水平的重要前提和基础。
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