三角形全等.docx

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三角形全等

三角形全等的初中数学组卷

1．（2013•铁岭）如图，在△ABC和△DEC中，已知AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是（　　）

A．

BC=EC，∠B=∠E

:

B．

BC=EC，AC=DC

:

C．

BC=DC，∠A=∠D

:

D．

∠B=∠E，∠A=∠D

2．（2013•台州）已知△A1B1C1，△A2B2C2的周长相等，现有两个判断：

①若A1B1=A2B2，A1C1=A2C2，则△A1B1C1≌△A2B2C2；

②若∠A1=∠A2，∠B1=∠B2，则△A1B1C1≌△A2B2C2，对于上述的两个判断，下列说法正确的是（　　）

A．

①正确，②错误

B．

①错误，②正确

C．

①，②都错误

D．

①，②都正确

3．（2013•陕西）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，若连接AC、BD相交于点O，则图中全等三角形共有（　　）

A．

1对

B．

2对

C．

3对

D．

4对

4．如图，AC、BD是长方形ABCD的对角线，过点D作DE∥AC交BC的延长线于E，则图中与△ABC全等的三角形共有（　　）

A．

1个

B．

2个

C．

3个

D．

4个

5．如图所示，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF，结论：

①EM=FN；②CD=DN；③∠FAN=∠EAM；④△ACN≌△ABM．其中正确的有（　　）

A．

1个

B．

2个

C．

3个

D．

4个

6．如图所示，△ABC≌△AEF，AB=AE，∠B=∠E，有以下结论：

①AC=AE；②∠FAB=∠EAB；③EF=BC；④∠EAB=∠FAC，其中正确的个数是（　　）

A．

1个

B．

2个

C．

3个

D．

4个

7．已知△ABC中，AB=BC≠AC，作与△ABC只有一条公共边，且与△ABC全等的三角形，这样的三角形一共能作出　_________　个．

8．（2013•湖州）一节数学课后，老师布置了一道课后练习题：

如图，已知在Rt△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，BO⊥AC，于点O，点PD分别在AO和BC上，PB=PD，DE⊥AC于点E，求证：

△BPO≌△PDE．

（1）理清思路，完成解答

（2）本题证明的思路可用下列框图表示：

根据上述思路，请你完整地书写本题的证明过程．

（2）特殊位置，证明结论

若PB平分∠ABO，其余条件不变．求证：

AP=CD．

（3）知识迁移，探索新知

若点P是一个动点，点P运动到OC的中点P′时，满足题中条件的点D也随之在直线BC上运动到点D′，请直接写出CD′与AP′的数量关系．（不必写解答过程）

9．数学课上，探讨角平分线的作法时，李老师用直尺和圆规作角平分线，方法如下：

作法：

如图1，①在OA和OB上分别截取OD、OE，使OD=OE．

②分别以D、E为圆心，以大于

DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C．

③作射线OC，则OC就是∠AOB的平分线．

小聪的作法步骤：

如图2，①利用三角板上的刻度，在OA和OB上分别截取OM、ON，使OM=ON．

②分别过M、N作OM、ON的垂线，交于点P．

③作射线OP，则OP为∠AOB的平分线．

小颖的身边只有刻度尺，经过尝试，她发现利用刻度尺也可以作角平分线．

根据以上情境，解决下列问题：

①李老师用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是　　．

②小聪的作法正确吗？

请说明理由．

③请你帮小颖设计用刻度尺作角平分线的方法．（要求：

作出图形，写出作图步骤，不予证明）

10．如图，在8×8的正方形网格中，△ABC的顶点和线段EF的端点都在边长为1的小正方形的顶点上．

（1）填空：

∠ABC=　　，BC=　　．

（2）请你在图中找出一点D，再连接DE、DF，使以D、E、F为顶点的三角形与△ABC全等，并加以证明．

11．将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图①方式摆放，其中∠ACB=∠DEB=90°，∠A=∠D=30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F．

（1）求证：

AF+EF=DE；

（2）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°，其它条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出你在

（1）中猜想的结论是否仍然成立；

（3）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°，其它条件不变，如图③．你认为

（1）中猜想的结论还成立吗？

若成立，写出证明过程；若不成立，请写出AF、EF与DE之间的关系，并说明理由．

12．如图①，OP是∠AOB的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形．请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：

（1）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；

（2）如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而

（1）中的其它条件不变，请问，你在

（1）中所得结论是否仍然成立？

若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

13．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．

（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：

①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；

（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：

DE=AD﹣BE；

（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？

请写出这个等量关系，并加以证明．

注意：

第

（2）、（3）小题你选答的是第2小题．

14．（A类）如图DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，请你从下面三个条件中，再选出两个作为已知条件，另一个为结论，推出一个正确的命题（只需写出一种情况）．

①AB=AC②BD=CD③BE=CF

已知：

DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，　　=　　，=　　．

（B类）求证：

已知．…，AB=AC，BD=CD求证：

BE=CF

（A类）如图，EG∥AF，请你从下面三个条件中，再选两个作为已知条件，另一个为结论，推出一个正确的命题（只需写出一种情况）．

①AB=AC②DE=DF③BE=CF

已知：

EG∥AF，　_________　=　_________　，　_________　=　_________　

（B类）

已知…，AB=AC．DE=DF，求证：

BE=CF．

15．如图，AB∥CD，∠ACD的平分线CP交AB于点E，在线段CE上取一点F，连接AF．要使△ACF≌△AEF，还需要添加一个什么条件？

请你写出这个条件，并证明△ACF≌△AEF．（只要给出一种情况即可，图中不再增加字母和线段）．

16．如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，直线l经过点A，BE⊥l于E，CF⊥l于F，

求证：

BE+CF=EF．

17．在△ABC中，∠ACB为锐角，动点D（异于点B）在射线BC上，连接AD，以AD为边在AD的右侧作正方形ADEF，连接CF．

（1）若AB=AC，∠BAC=90°那么

①如图一，当点D在线段BC上时，线段CF与BD之间的位置、大小关系是　_________　（直接写出结论）

②如图二，当点D在线段BC的延长上时，①中的结论是否仍然成立？

请说明理由．

（2）若AB≠AC，∠BAC≠90°．点D在线段BC上，那么当∠ACB等于多少度时？

线段CF与BD之间的位置关系仍然成立．请画出相应图形，并说明理由．

18．直线CD经过∠BCA的顶点C，CA=CB．E、F分别是直线CD上两点，且∠BEC=∠CFA=∠α．

（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E、F在射线CD上，请解决下面两个问题：

①如图1，若∠BCA=90°，∠α=90°，则EF　_________　|BE﹣AF|（填“＞”，“＜”或“=”号）；

②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，若使①中的结论仍然成立，则∠α与∠BCA应满足的关系是　_________　；

（2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α=∠BCA，请探究EF、与BE、AF三条线段的数量关系，并给予证明．

19．

（1）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=

∠BAD．求证：

EF=BE+FD；

（2）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=

∠BAD，

（1）中的结论是否仍然成立？

（3）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF=

∠BAD，

（1）中的结论是否仍然成立？

若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．

20．（2013•荆门）如图1，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上．

（1）求证：

BE=CE；

（2）如图2，若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，∠BAC=45°，原题设其它条件不变．求证：

△AEF≌△BCF．

21．把两个含有45°角的直角三角板如图1放置，点D在BC上，连接BE、AD，AD的延长线交于BE于点F．

（1）问：

AD与BE在数量上和位置上分别有何关系？

说明理由．

（2）若将45°角换成30°如图2，AD与BE在数量和位置上分别有何关系？

说明理由．

（3）若将图2中两个三角板旋转成图3、图4、图5的位置，则

（2）中结论是否仍然成立，选择其中一种图形进行说明．

22．把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ABCD以D为顶点作∠MDN，交边AC、BC于M、N．

（1）若∠ACD=30°，∠MDN=60°，当∠MDN绕点D旋转时，AM、MN、BN三条线段之间有何种数量关系？

证明你的结论；

（2）当∠ACD+∠MDN=90°时，AM、MN、BN三条线段之间有何数量关系？

证明你的结论；

（3）如图③，在

（2）的结论下，若将M、N分改在CA、BC的延长上，完成图3，其余条件不变，则AM、MN、BN之间有何数量关系（直接写出结论，不必证明）

23．（2012•斗门区一模）

（1）在图1中，已知∠MAN=120°，AC平分∠MAN．∠ABC=∠ADC=90°，则能得如下两个结论：

①DC=BC；②AD+AB=AC．请你证明结论②；

（2）在图2中，把

（1）中的条件“∠ABC=∠ADC=90°”改为∠ABC+∠ADC=180°，其他条件不变，则

（1）中的结论是否仍然成立？

若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

24．【阅读理解】

课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：

如图1，△ABC中，若AB=8，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：

延长AD到点E，使DE=AD，请根据小明的方法思考：

（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是　_________　．

A．SSSB．SASC．AASD．HL

（2）求得AD的取值范围是　_________　．

A．6＜AD＜8B．6≤AD≤8C．1＜AD＜7D．1≤AD≤7

【感悟】

解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．

【问题解决】

（3）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF．求证：

AC=BF．

25．将两个全等的直角三角形（△ABC≌△DCE，∠A=∠D=90°）摆放成如图①的形式，使点A、C、D成一直线，我们称之为“K形图”

（1）证明：

BC⊥CE；

（2）如图②，连结BE，取BE中点F，连结AF、CF、DF，试判断并证明△AFD的形状．

26．如图，BD、CE分别是△ABC的边AC和AB上的高，点P在BD的延长线上，BP=AC，点Q在CE上，CQ=AB

．求证：

（1）AP=AQ；

（2）AP⊥AQ．

27．如图，l1∥l2，∠1=∠2，∠3=∠4，过C点任画直线交l1、l2于E、F，探究AE、BF、AB的数量关系．

28．我们已经学习了用“量角器”或“尺规作图”的方法画一个已知角的平分线，小明与小聪同学只利用“三角板”也能画出一个已知角的平分线，他们的画法如下，请你说明他们的画法是正确的理由．

（一）小明的画法如图

（1）；

（1）利用三角板在∠AOB的两边分别量得OC=OD；

（2）连结CD，利用三角板画出CD的中点E；

（3）画射线OE；

∴射线OE就是∠AOB的平分线．

（二）小聪的画法如图

（2）；

（1）利用三角板在∠AOB的两边分别量得OC=OD，OE=OF：

（2）连结CF、DE交于点G；

（3）画射线OG；

∴射线OG就是∠AOB的平分线．

29．如图：

已知AB∥DC，∠BAD和∠ADC的平分线相交于点E，过点E的直线分别交AB、DC于B、C两点．猜想线段AD、AB、DC之间的数量关系，并证明．

30．两块等腰直角三角尺AOB与COD（不全等）如图

（1）放置，则有结论：

①AC=BD②AC⊥BD

若把三角尺COD绕着点O逆时针旋转一定的角度后，如图

（2）所示，判断结论：

①AC=BD②AC⊥BD是否都还成立？

若成立请给出证明，若不成立请说明理由．