学年北师大版七年级数学下册《第5章生活中的轴对称》单元综合自主提升附答案.docx

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学年北师大版七年级数学下册《第5章生活中的轴对称》单元综合自主提升附答案

2021学年北师大版七年级数学下册《第5章生活中的轴对称》单元综合自主提升（附答案）

1．一个等腰三角形的周长为16cm，其中有一边的长为4cm，则该等腰三角形的腰长为（　　）

A．4cmB．6cmC．4cm或6cmD．4cm或8cm

2．如图，在△ABC中，AC＝4cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是7cm，则BC的长为（　　）

A．3B．4C．7D．11

3．等腰三角形的一个内角为50°，它的顶角的度数是（　　）

A．65°B．80°C．65°或80°D．50°或80°

4．如图，AD为△ABC的中线，将△ABD沿着AD翻折得到△AED，点B的对应点为E，AE与BC相交于点F，连接CE，则下列结论一定正确的是（　　）

A．DF＝FCB．AE⊥BCC．∠DEC＝∠DCED．∠BAD＝∠CAE

5．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，AD是BC边上的中线，CE平分∠BCA交AB于点E，AD、CE相交于点F，则∠CFA的度数是（　　）

A．100°B．105°C．110°D．120°

6．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E，若AC＝4BE，则下面结论正确的是（　　）

A．S△ABC＝6S△BDEB．S△ABC＝7S△BDE

C．S△ABC＝8S△BDED．S△ABC＝9S△BDE

7．如图，已知∠B＝20°，∠C＝30°，若MP和QN分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ等于（　　）

A．50°B．75°C．80°D．105°

8．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角等于30°，则这个等腰三角形的顶角等于（　　）

A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°

9．如图，在△ABC中，点D在边BC上，且满足AB＝AD＝DC，过点D作DE⊥AD，交AC于点E．设∠BAD＝α，∠CAD＝β，∠CDE＝γ，则（　　）

A．2α+3β＝180°B．3α+2β＝180°C．β+2γ＝90°D．2β+γ＝90°

10．如图，阴影部分是由3个小正方形组成的一个图形，若在图中剩余的方格中涂黑一个正方形，使整个阴影部分成为轴对称图形，涂法有（　　）

A．2种B．3种C．4种D．5种

11．如图，△AOB与△COB关于边OB所在的直线成轴对称，AO的延长线交BC于点D．若∠BOD＝46°，∠C＝22°，则∠ADC＝　　°．

12．如图，点P为△ABC三边垂直平分线的交点，若∠PAC＝20°，∠PCB＝30°，则∠PAB的度数为　　．

13．如图，在△ABD中，BA＝BD．在BD的延长线上取点E，C，作△AEC，使EA＝EC．若∠BAE＝90°，∠B＝45°，则∠DAC的度数为　　．

14．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD交BC的延长线于点E．若∠ACB＝84°，且BD＝DA，则∠E＝　　°．（补充知识：

等腰三角形两底角相等．）

15．已知等腰三角形的底边长为6，一条腰上的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分比另外一部分长2，则三角形的腰长是　　．

16．如图，等腰△ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AB的垂直平分线EF分别交AB、AC于点F、E，若点D为BC边上的中点，M为线段EF上一动点，则△BDM的周长的最小值是　　．

17．已知一个等腰三角形，其中一条腰上的高与另一条腰的夹角为25°，则该等腰三角形的顶角为　　．

18．如图，AE是∠CAM的角平分线，点B在射线AM上，DE是线段BC的中垂线交AE于E，过点E作AM的垂线交AM于点F．若∠ACB＝28°，∠EBD＝25°，则∠AED＝　　°．

19．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，连接AE．若BC＝6，AC＝5，则△ACE的周长为　　．

20．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，S△ABC＝16，点D，E分别是AB，BC的中点，点F在AC上，且FD⊥AB．若点P为线段DF上一动点，连接BP，EP，则△BPE周长的最小值是　　．

21．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是AB上一点，过点D作DE⊥BC交BC于点E，交CA的延长线于点F．

（1）试判断△ADF的形状，并说明理由；

（2）若AF＝BE＝2，∠F＝30°，求△ABC的周长．

22．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点P在AC上运动，点D在AB上，PD始终保持与PA相等，BD的垂直平分线交BC于点E，连接DE．

（1）判断DE与DP的位置关系，并说明理由．

（2）若AC＝5，BC＝7，PA＝2，求线段DE的长．

23．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M，若∠BAC＝40°．

（1）则∠NMB＝　　；

（2）如果将题中∠BAC的度数改为70°，其余条件不变，那么∠NMB＝　　；

（3）你发现有什么样的规律性？

试证明；

（4）若将题中的∠BAC改为钝角，你对这个规律性的认识是否需要加以修改？

24．如图，已知△ABC中，AB＝AC，BD，CD分别平分∠ABE，∠ACE，BD交AC于F，连接AD．

（1）当∠BAC＝40°时，求∠BDC的度数；

（2）请直接写出∠BAC与∠BDC的数量关系；

（3）求证：

AD∥BE．

25．已知，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，点D为射线CB上一点，过点D作DE⊥AC于点E．

（1）如图1，当点D在线段BC上时，请直接写出∠BAC与∠EDC的数量关系：

　　．

（2）如图2，当点D在CB的延长线上时，画出图形，探究∠BAC与∠EDC的数量关系，并说明理由．

（3）在

（2）的条件下，点F为线段BC上一点，过点F作FG⊥AC于点G，连接AF，且∠AFG＝∠CFG，∠BAF＝∠BFA，延长ED、AB交于点K，求∠EKA的度数．

参考答案

1．解：

4cm是腰长时，底边为16﹣4×2＝8（cm），

∵4+4＝8，

∴4cm、4cm、8cm不能组成三角形；

4cm是底边时，腰长为

×（16﹣4）＝6（cm），

4cm、6cm、6cm能够组成三角形；

综上所述，它的腰长为6cm．

故选：

B．

2．解：

∵MN是线段AB的垂直平分线，

∴NA＝NB，

∵△BCN的周长是7cm，

∴BC+CN+BN＝7（cm），

∴BC+CN+NA＝7（cm），即BC+AC＝7（cm），

∵AC＝4cm，

∴BC＝3（cm），

故选：

A．

3．解：

如图所示，△ABC中，AB＝AC．

有两种情况：

①顶角∠A＝50°；

②当底角是50°时，

∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C＝50°，

∵∠A+∠B+∠C＝180°，

∴∠A＝180°﹣50°﹣50°＝80°，

∴这个等腰三角形的顶角为50°或80°．

故选：

D．

4．解：

∵AD为△ABC的中线，

∴BD＝CD，

∵将△ABD沿着AD翻折得到△AED，点B的对应点为E，

∴BD＝ED，

∴CD＝ED，

∴∠DEC＝∠DCE，

故选：

C．

5．解：

在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，

∴∠ACB＝（180°﹣100°）÷2＝40°，

∵CE平分∠BCA，

∴∠BCE＝20°，

∵AD是BC边上的中线，

∴∠ADC＝90°，

∴∠CFA＝90°+20°＝110°．

故选：

C．

6．解：

∵AD平分∠BAC，

∴∠DAC＝∠DAE，

∵∠C＝90°，DE⊥AB，

∴∠C＝∠DEA＝90°，

∵AD＝AD，

在△ACD与△AED中，

，

∴△DAC≌△DAE（AAS），

∴AC＝AE，

∵AC＝4BE

∴AE＝4BE，

∴S△ADC＝S△ADE＝

AE•DE＝

×4BE•DE＝4S△BDE

∴S△ABC＝9S△BDE，

故选：

D．

7．解：

在△ABC中，∠B＝20°，∠C＝30°，

∴∠BAC＝180°﹣20°﹣30°＝130°，

∵MP和QN分别垂直平分AB和AC，

∴PA＝PB，QA＝QC，

∴∠PAB＝∠B＝20°，∠QAC＝∠C＝30°，

∴∠PAQ＝130°﹣20°﹣30°＝80°，

故选：

C．

8．解：

当高在三角形内部时，如图1，

∵∠ABD＝30°，BD⊥AC，

∴∠A＝60°；

∴顶角是60°；

当高在三角形外部时，如图2，

∵∠ABD＝30°，BD⊥AC于D，

∴∠BAD＝60°，

∴∠BAC＝180°﹣60°＝120°

∴顶角是120°．

故选：

D．

9．解：

∵AB＝AD＝DC，∠BAD＝α，

∴∠B＝∠ADB，∠C＝∠CAD＝β，

∵DE⊥AD，

∴∠ADE＝90°，

∴∠CAD+∠AED＝90°，

∵∠CDE＝γ，∠AED＝∠C+∠CDE，

∴∠AED＝γ+β，

∴2β+γ＝90°，

故选：

D．

10．解：

如图所示：

在图中剩余的方格中涂黑一个正方形，使整个阴影部分成为轴对称图形，只要将1，2，3，4处涂黑，都是符合题意的图形．

故选：

C．

11．解：

∵△AOB与△COB关于边OB所在的直线成轴对称，

∴△AOB≌△COB，

∴∠A＝∠C＝22°，∠ABO＝∠CBO，

∵∠BOD＝∠A+∠ABO，

∴∠ABO＝46°﹣22°＝24°，

∴∠ABD＝2∠ABO＝48°，

∴∠ADC＝∠A+∠ABD＝22°+48°＝70°，

故答案为：

70．

12．解：

∵点P为△ABC三边垂直平分线的交点，

∴PA＝PB＝PC，

∴∠PCA＝∠PAC＝20°，∠PBC＝∠PCB＝30°，∠PAB＝∠PBA，

∴∠PAB＝

（180°﹣2×20°﹣2×30°）＝40°，

故答案为：

40°．

13．解：

∵EA＝EC，

∴∠EAC＝∠C，

∵BA＝BD，

∴∠BAD＝∠BDA，

∴∠ADB＝∠BAD＝

（180°﹣45°）＝67.5°，

∵∠BAE＝90°，∠B＝45°，

∴∠AEB＝∠B＝45°，

∴∠DAE＝∠ADB﹣∠AEB＝67.5°﹣45°＝22.5°，

故答案为：

22.5°．

14．解：

∵BD＝AD，

∴∠B＝∠BAD，

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAC＝2∠BAD＝2∠B，

∵∠B+∠BAC+∠ACB＝180°，∠ACB＝84°，

∴∠B+2∠B+84°＝180°，

解得∠B＝32°，

∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝2∠B，

∴∠ADC＝64°，

∵PE⊥AD交BC的延长线于点E．

∴∠E+∠ADC＝90°，

解得∠E＝26°．

故答案为26．

15．解：

等腰三角形一条腰上的中线把三角形的周长分为两部分，这两部分的差即是腰与底的差的绝对值，

∵其中一部分比另外一部分长2，

∴腰比底大2或底比腰大2，

∴腰为8或4．

故答案为：

8或4．

16．解：

如图，连接AD．

∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，

∴AD⊥BC，

∴S△ABC＝

•BC•AD＝

×4×AD＝16．

∴AD＝8．

∵EF是线段AB的垂直平分线，

∴点B关于直线EF的对称点为点A，

∴AD的长为BM+MD的最小值，

∴△BDM的周长最短＝（BM+MD）+BD＝AD+

BC＝6+

×8＝10．

故答案为：

10．

17．解：

①如图，等腰三角形为锐角三角形，

∵BD⊥AC，∠ABD＝25°，

∴∠A＝65°，

即顶角的度数为65°．

②如图，等腰三角形为钝角三角形，

∵BD⊥AC，∠DBA＝25°，

∴∠BAD＝65°，

∴∠BAC＝115°．

故答案为65°或115°．

18．解：

连接CE，过E作ER⊥AC于R，CD交ER于Q，AE交BC于O，

∵DE是线段BC的中垂线，

∴∠EDC＝90°，CE＝BE，

∴∠ECB＝∠EBD，

∵∠EBD＝25°，

∴∠ECB＝25°，

∴∠DEB＝∠CED＝90°﹣25°＝65°，

∵ER⊥AC，ED⊥BC，

∴∠QRC＝∠QDE＝90°，

∴∠ACB+∠CQR＝90°，∠EQD+∠QED＝90°，

∵∠CQR＝∠EQD，

∴∠ACB＝∠QED，

∵∠ACB＝28°，

∴∠QED＝28°，

∵AE平分∠CAM，ER⊥AC，EF⊥AM，

∴ER＝EF，

在Rt△ERC和Rt△EFB中，

，

∴Rt△ERC≌Rt△EFB（HL），

∴∠EBF＝∠ACE＝∠ACB+∠ECD＝28°+25°＝53°，

∵∠EFB＝90°，

∴∠BEF＝90°﹣∠EBF＝90°﹣53°＝37°，

∴∠REF＝∠RED+∠BED+∠BEF＝28°+65°+37°＝130°，

∵∠ARE＝∠AFE＝90°，

∴∠CAM＝360°﹣90°﹣90°﹣130°＝50°，

∵AE平分∠CAM，

∴∠CAE＝

CAM＝25°，

∴∠DOE＝∠CAE+∠ACB＝25°+28°＝53°，

∵ED⊥BC，

∴∠EDB＝90°，

∴∠AED＝90°﹣∠DOE＝90°﹣53°＝37°，

故答案为：

37．

19．解：

∵DE是线段AB的垂直平分线，

∴EA＝EB，

∴△ACE的周长＝EA+EC+AC＝EB+EC+AC＝BC+AC＝11，

故答案为：

11．

20．解：

如图所示，

连接AE交DF于点P，

∵AB＝AC，E是BC的中点，

∴AE⊥BC，

∵S△ABC＝16，BC＝4，

∴AE＝8，BE＝2，

∵D是AB的中点，FD⊥AB，

∴DF是AB的垂直平分线，

∴PB＝PA，

∴△BPE周长的最小值是AE+BE＝8+2＝10．

故答案为10．

21．解：

（1）∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C，

∵FE⊥BC，

∴∠F+∠C＝90°，∠BDE+∠B＝90°，

∴∠F＝∠BDE，

而∠BDE＝∠FDA，

∴∠F＝∠FDA，

∴AF＝AD，

∴△ADF是等腰三角形；

（2）∵AF＝AD＝2，∠F＝30°，

∴∠ADF＝∠F＝30°，

∵DE⊥BC，

∴∠DEB＝90°，

∴DB＝2BE＝4，

∴AB＝AD+DB＝6，

∵∠F＝30°，

∴∠C＝60°，

∵AB＝AC，

∴△ABC是等边三角形，

∴△ABC的周长为18．

22．解：

（1）DE⊥DP，

理由如下：

∵PD＝PA，

∴∠A＝∠PDA，

∵EF是BD的垂直平分线，

∴EB＝ED，

∴∠B＝∠EDB，

∵∠C＝90°，

∴∠A+∠B＝90°，

∴∠PDA+∠EDB＝90°，

∴∠PDE＝180°﹣90°＝90°，

∴DE⊥DP；

（2）连接PE，

设DE＝x，则EB＝ED＝x，CE＝7﹣x，

∵∠C＝∠PDE＝90°，

∴PC2+CE2＝PE2＝PD2+DE2，

∴32+（7﹣x）2＝22+x2，

解得：

x＝

，则DE＝

．

23．解：

（1）∵AB＝AC，∠BAC＝40°，

∴

，

∴∠CDM＝∠ADN＝90°﹣∠A＝50°，

∴∠NMB＝∠ACB﹣∠CDM＝20°．

故答案为：

20°．

（2）∵AB＝AC，∠BAC＝70°，

∴

，

∴∠CDM＝∠ADN＝90°﹣∠A＝20°，

∴∠NMB＝∠ACB﹣∠CDM＝35°．

故答案为：

35°．

（3）上述规律为：

等腰三角形一腰的垂直平分线与底边相交所成的锐角等于顶角的一半．

证明：

设∠A＝α，

∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C，

∴∠B＝

（180°﹣∠A）＝

（180°﹣α），

∵∠BNM＝90°，

∴∠NMB＝90°﹣∠B＝90°﹣

（180°﹣α）＝

α；

（4）将

（1）中的∠A改为钝角，（3）中猜想的结论仍然成立．

证明：

设∠A＝α，

∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C，

∴∠B＝

（180°﹣∠A）＝

（180°﹣α），

∵∠BNM＝90°，

∴∠NMB＝90°﹣∠B＝90°﹣

（180°﹣α）＝

α．

24．

（1）解：

∵AB＝AC，∠BAC＝40°，

∴∠ABC＝∠ACB＝

（180°﹣40°）＝70°，

∴∠ACE＝110°，

∵BD，CD分别平分∠EBA，∠ECA，

∴∠DBC＝

∠ABC＝35°，∠ECD＝

∠ACE＝55°，

∴∠BDC＝∠ECD﹣∠DBC＝20°；

（2）解：

∠BDC＝

∠BAC．

∵BD、CD分别平分∠EBA、∠ECA，BD交AC于F，

∴∠BDC+

∠ABC＝

∠ACE，∠BAC+∠ABC＝∠ACE，

∴∠BDC+

∠ABC＝

∠BAC+

∠ABC，

∴∠BDC＝

∠BAC；

（3）证明：

作DM⊥BG于M，DN⊥AC于N，DH⊥BE于H，如图所示：

∵BD、CD分别平分∠EBA、∠ECA，

∴DM＝DH，DN＝DH，

∴DM＝DN，

∴AD平分∠CAG，即∠GAD＝∠CAD，

∵∠GAD+∠CAD+∠BAC＝180°，∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，

∴∠GAD+∠CAD＝∠ABC+∠ACB，

∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB，

∴∠GAD＝∠ABC，

∴AD∥BE．

25．

（1）如图1中，作AH⊥BC于H．

∵AB＝AC，AH⊥BC，

∴∠BAH＝∠CAH，

∵DE⊥AC，

∴∠AHC＝∠CED＝90°，

∴∠C+∠CAH＝90°，∠C+∠EDC＝90°，

∴∠CAH＝∠EDC，

∴∠BAC＝2∠EDC．

故答案为∠BAC＝2∠EDC．

（2）如图2中，结论：

∠BAC＝2∠EDC．

理由：

∵AB＝AC，AH⊥BC，

∴∠BAH＝∠CAH，

∵DE⊥AC，

∴∠AHC＝∠CED＝90°，

∴∠C+∠CAH＝90°，∠C+∠EDC＝90°，

∴∠CAH＝∠EDC，

∴∠BAC＝2∠EDC．

（3）如图2中，设∠C＝∠FAC＝∠ABC＝x，则∠BAF＝∠BFA＝2x，

∴5x＝180°，

∴x＝36°，

∴∠EAK＝∠ABC+∠C＝72°，

∵KE⊥EC，

∴∠E＝90°，

∴∠EKA＝90°﹣72°＝18°．