人教版初中数学知识点总结 整式的乘除.docx

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人教版初中数学知识点总结整式的乘除

整式的乘法

目标认知

学习目标：

　1．掌握正整数幂的运算性质（同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方），能用字母式子和文字语言正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行运算。

　2．掌握单项式与单项式，单项式与多项式，多项式与多项式相乘的法则，并能运用它们进行运算。

重点：

　整式乘法性质的准确掌握和熟练运用。

难点：

　字母的广泛含义的理解。

二、知识要点梳理

知识点一：

　同底数幂的乘法

　要点诠释：

　同底数幂相乘，.底数不变，指数相加

　用字母表示为：

am×an=am+n（m、n都是正整数）.

　三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，即am·an·ap=am+n+p（m、n、p都是正整数）.

　此性质可以逆用，即am+n=am×an（m、n都是正整数）.

知识点二：

　　幂的乘方

　　要点诠释：

　　幂的乘方，底数不变，指数相乘。

　　用字母表示为：

（am）n=amn.（m、n都是正整数）

知识点三：

　　积的乘方

　　要点诠释：

　　积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。

　　用字母表示为：

（ab）n=anbn（n是正整数）.

知识点四：

　　单项式乘以单项式

　　要点诠释：

　　单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘.对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.

知识点五：

　　单项式乘以多项式

　　要点诠释：

　　单项式与多项式相乘，就是用单项式乘以多项式的每一项，再把所得的积相加，用字母表示为

　　m（a+b+c）=ma+mb+mc.

知识点六：

　　多项式乘以多项式

　　要点诠释：

　　多项式乘以多项式，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.用字母表示为（a+b）（m+n）=ma+na+mb+nb.

三、规律方法指导

　1．在学习本节内容时，应适当复习幂、指数、底数等概念，特别要弄清正整数指数幂的意义.

　2．幂的三个运算性质是学习整式乘法的前提条件，单项式乘法是幂的运算性质的一个直接应用，单项式与多项式乘法及多项式与多项式乘法是在单项式乘法的基础上，利用分配律的更复杂的运算.

　3．在单项式的乘法法则中：

　　①系数相乘，是有理数的乘法运算；相同字母相乘，是同底数幂的乘法运算；

　　②单项式与单项式相乘的结果是单项式，一般确定结果的系数，往往先确定绝对值，再确定符号.

　4．在单项式与多项式相乘时：

　　①单项式乘以多项式的依据是乘法对加法的分配律.

　　②单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数和因式中多项式的项数相同，计算

时要注意各项的符号.

　5．在多项式与多项式相乘时：

　①多项式乘以多项式可以化为单项式乘以多项式或单项式乘以单项式.

②多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数的积.

整式的乘法

经典例题透析

类型一：

同底数幂的运算　

1、计算：

（1）（-

）（-

）2（-

）3

（2）-a4·（-a）3·（-a）5

思路点拨：

（1）分析：

①（-

）就是（-

）1，指数为1；②底数为-

，不变；

③指数相加1+2+3=6；

④乘方时先定符号“+”，再计算

的6次幂

（2）分析：

①-a4与（-a）3不是同底

数幂；

②可利用-（-a）4=-a4③变为同底数幂

总结升华：

同底数幂的乘法法则是本章中的第一个幂的运算法则，也是整式乘法的主要依据之一。

学习这个法则时应注意以下几个问题：

（1）先弄清楚底数、指数、幂这三个基本概念的涵义。

（2）它的前提是“同底”，而且底可以是一个具体的数或字母，也可以是一个单项式或

多项式，如：

（2x+y）2·（2x+y）3=（2x+y）5，底数就是一个二项式（2x+y）。

　　（3）指数都是正整数

（4）这个法则可以推广到三个或三个以上的同底数幂相乘，即am·an·ap....=am+n+p+...

（m,n,p都是自然数）。

　　（5）不要与整式加法相混淆。

乘法是只要求底数相同则可用法则计算，即底数不变指数

相加，如：

x5·x4=x5+4=x9；而加法法则要求两个相同:

底数相同且指数也必须相同，

实际上是幂相同系数相加，如-2x5+x5=（-2+1）x5=-x5，而x5+x4就不能合并。

举一反三：

　　【变式1】计算（x-y）3（y-x）（y-x）6

【变式2】计算：

x5·xn-3·x4-3x2·xn·x4

　　类型二：

幂的乘方运算

2、计算：

（1）（a2m）n

（2）（am+n）m（3）（-x2yz3）3（4）-（ab）8

思路点拨：

（1）：

①先确定是幂的乘方运算②用法则底数a不变,指数2m和n相乘

（2）：

①底数a不变，指数（m+n）与m相乘②运用乘法分配律进行指数运算。

　　　　　（3）：

①底数有四个因式：

（-1）,x2,y,z3，分别3次方，②注意（-1）3=-1。

　　　　　（4）：

①8次幂的底数是ab。

②“-”在括号的外边先计算（ab）8再在结果前面加

上“-”号。

总结升华：

幂的乘方（am）n=amn，与积的乘方（ab）n=anbn

（1）幂的乘方，（am）n=amn，（m,n都为正整数）运用法则时注意以下以几点：

　　①幂的底数a可以是具体的数也可以是多项式。

如[（x+y）2]3的底数为（x+y），是一个多项式，[（x+y）2]3=（x+y）6

　　②要和同底数幂的乘法法则相区别，不要出现下面的错误。

如：

　　　　（a3）4=a7;[（-a）3]4=（-a）7;a3·a4=a12

（2）积的乘方（ab）n=anbn，（n为正整数）运用法则时注意以下几点：

　　　①注意与前二个法则的区别：

积的乘方等于将积的每个因式分别乘方（即转化成若干个幂的乘方），再把所得的幂相乘。

　②积的乘方可推广到3个以上因式的积的乘方，如：

（-3a2b）3

　　　如（a1·a2·……an）m=a1m·a2m·……anm

举一反三：

　　【变式1】当ab=

，m=5,n=3,求（ambm）n的值。

【变式2】若a3b2=15，求-5a6b4的值。

类型三：

单项式的乘法

3、计算：

（1）（-3a2b）（-

a2c2）·4c3

（2）-3（a-b）2[2（a-b）3][

（a-b）]

　　思路点拨：

（1）不要将b的这个因式丢掉.

（2）分析：

将（a-b）看作底数，仍用单项式乘法法则来作。

总结升华：

利用乘法交换律和乘法结合律再用同底数幂的乘法法则可完成单项式乘法。

对于法则不要死记硬背，但要注意以下几点：

　　①积的系数等于各单项式的系数的积，应先确定符号后计算绝对值②相同字母因数相乘，是同底数幂的乘法。

　　③要注意只在一个单项式里含有的字母要连同它的指数写在积里，不能将这个因式丢掉。

　　④单项式乘以单项式的结果仍是一个单项式。

　　⑤字母因式的底也可以是一个多项式，如：

-2a（x+y）2·4ab2（x+y）3=-8a2b2（x+y）5

　　⑥单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘也适用。

例如：

ab2（-2a2b）（-4abc）=

a4b4c

举一反三：

　　【变式1】计算（-3×106）·（-2×104）·（-5×105）

【变式2】计算

（1）（32）10+（92）5

（2）[（23）6]3+[（83）2]3

类型四：

多项式的乘法

4、计算：

（1）4ab·（3a2+2ab－1）

（2）2x（x2－xy－y2）－3xy（4x－2y）+2y（7x2－4xy+y2）

（3）（3x4－3x2+1）（x4+x2－2）

（4）（3x+1）（x+1）－（2x－1）（x－1）－3x（x－2）－2x（－3x）

总结升华：

（1）单项式乘以多项式，必须按照其法则进行。

对于混合运算，运算顺序仍然是先乘方，再乘除，后加减，运算结果要检查，如果有同类项要合并，结果要最简。

（2）多项式乘以多项式的运算法则，要按照运算法则一步一步来运算，并要做到不“重”和不“漏”，别出现符号错误，计算结果要最简，便可为解决此类问题扫清障碍。

举一反三：

　　【变式1】已知：

x2+x－1=0，求x3－2x+4的值。

整式除法

一、目标认知

学习目标：

　　1.同底数幂的除法的运算法则及其应用。

　　2.单项式除以单项式的运算法则及其应用。

　　3.多项式除以单项式的运算法则及其应用。

重点：

　　准确熟练地运用同底数幂的除法运算法则进行计算．

难点：

　　熟练运用所学法则进行整式的除法。

二、知识要点梳理

知识点一：

同底数幂的除法

　　要点诠释：

同底数幂除法法则“同底数幂相除，底数不变，指数相减”

　　公式

（规定：

a0=1（a≠0）任何不等于0的数的0次幂都等于1．）

知识点二：

单项式除以单项式

　　要点诠释：

单项式相除，把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式．

知识点三：

多项式除以单项式

　　要点诠释：

先把这个多项式的每一项分别除以这个单项式，再把所得的商相加．

三、规律方法指导

1、同底数幂的除法

（1）、同底数幂除法法则“同底数幂相除，底数不变，指数相减”而不是“指数相除”

（2）、公式

中的底数

，可以是数、字母、单项式等任意代数式。

　　（3）、应用同底数幂相除时要与同底数幂乘法和整式加减区别开。

　　（4）、注意指数为1时可以省略不写。

2、应用单项式除以单项式时应注意的问题。

（1）、系数先相除，把所得的结果作为商的系数，运算过程中注意单项式的系数包括它前面的符号；

（2）、被除式单独有的字母及其指数，作为商的一个因式，不要遗漏。

　　（3）、要注意运算顺序，有乘方先算乘方，有括号先算括号里的，同级运算按从左到右的顺序进行。

3、多项式除以单项式

（1）思路：

多项式除以单项式→单项式除以单项式→同底数幂相除和系数相除（“→”表示转化）

（2）注意：

多项式除以单项式时，所得结果在合并同类项之前的项数与多项式的项数相同．

整式的除法

经典例题透析

类型一：

计算

1、下列运算是否正确？

对错题指出原因，并加以改正。

总结升华：

同底数幂的除法运算常见的错误是：

（1）指数运算混乱；

（2）底数确定的不对，出现符号错误；（3）系数计算不准；（4）运算顺序不对．

举一反三：

【变式1】例2若2m=6，4n=2，求22m-2n+2的值.

　　【答案】分析：

逆用同底数幂乘、除法性质进行计算.注意amn=（am）n=（an）m，am-n=am÷an.

类型二：

单项式除以单项式

2、计算

（1）（a2n+2b3c）÷（2anb2）

（2）（x-y）5÷（y-x）3

（3）（

x3y2）3÷（

xy）2（4）（3xy2）2·（2xy）÷（6x3y3）

思路点拨：

（1）中被除式的系数是1，可按照单项式相除法则计算;

（2）将底数多项式看作整体，先将底数调整为相同的，进行同底数幂的除法（同底数幂的除法可看作单项式相除中最简单的形式），并将结果化到最后；对于混合运算，先弄清运算顺序，再根据相应的法则进行计算.

（1）先进行乘方，再进行除法运算.

（2）先乘方，再自左至右进行乘除法.

总结升华：

　　从单项式除法的法则看出，单项式除法的实质是将它转化为同底数幂的除法运算，运算的结果仍是单项式．

　　运用单项式除法的法则进行计算的一般步骤：

（1）把系数相除，所得结果作为商的系数；

（2）把同底数幂分别相除，所得的结果作为商的因式；

　　（3）把只在被除式里出现的字母，连同它的指数作为商的一个因式．

　　单项式除以单项式运算常出现常见错误是：

（1）忽略符号；

（2）遗漏只在一个单项式里出现的字母．

举一反三：

　　【变式1】已知（-

xyz）2·m=

x2n+1yn+3z4÷5x2n-1yn+1z，求m.

类型三：

多项式除以单项式

3、计算：

①[（xy2）2+3xy3·xy-2y2·（xy）2]÷xy3·y

　　　　　　②[（x+y）3-2（x+y）2+6（x+y）]÷（x+y）

思路点拨：

分析：

第①题应注意运算顺序，同级运算要按从左到右的顺序依次进行．第②题应视x+y为一个整体而看着是多项式除以单项式

总结升华：

多项式除以单项式的实质是把多项式除以单项式的运算转化为单项式的除法运算．

　　多项式除以单项式一般按下面两步进行：

（1）用多项式的每一项除以单项式；

（2）把每一项除得的商相加．

　　多项式除以单项式时，应注意逐项运算，要留心各项的符号．

　　多项式除以单项式常见的错误是：

（1）忽视符号问题；

（2）系数和指数运算不准．

举一反三：

　　【变式1】已知多项式2a3-4a2-a除以一个多项式A，得到商式为2a，余式为a2-a，求这个多项式.

乘法公式

一、目标认知

学习目标：

1、通过运算多项式乘法，探索得到平方差公式、完全平方公式，培养认识由一般法则到特殊法则的能力。

2、通过动手、观察并发现平方差公式、完全平方公式的结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义。

3、初步学会运用平方差公式、完全平方公式进行计算。

重点：

　　重点是理解平方差公式、完全平方公式，运用公式进行计算。

难点：

　　难点是对公式中a，b的广泛含义的理解及正确运用。

二、知识要点梳理

知识点一：

平方差公式

要点诠释：

（a+b）（a－b）=a2-b2.这就是说，两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差

知识点二：

完全平方公式

要点诠释：

（a+b）2=a2+2ab+b2这就是说，两数和的平方，等于这两个数平方的和再加上这两个数乘积的二倍。

（a－b）2=a2-2ab+b2这就是说，两数差的平方，等于这两个数平方的和再减去这两个数乘积的二倍。

乘法公式

规律方法指导

1.分清a、b，对号入座．

1．计算（-2x2-5）（2x2-5）

　分析：

本题两个因式中“-5”相同，“2x2”符号相反，因而“-5”是公式（a+b）（a-b）=a2-b2中的a，而“2x2”则是公式中的b．

2．计算（-a2+4b）2

　分析：

运用公式（a+b）2=a2+2ab+b2时，“-a2”就是公式中的a，“4b”就是公式中的b；

若将题目变形为（4b-a2）2时，则“4b”是公式中的a，而“a2”就是公式中的b．（解略）

2.注意创造条件使用公式

3．计算（2x+y-z+5）（2x-y+z+5）．

　分析：

粗看不能运用公式计算，但注意观察，两个因式中的“2x”、“5”两项同号，“y”、“z”两项异号，因而，可运用添括号的技巧使原式变形为符合平方差公式的形式．

4．判断（2+1）（22+1）（24+1）……（22048+1）+1的个位数字是几？

　　分析：

此题直接计算是不可能计算出一个数字的答案，故有一定的规律可循。

观察到1=（2-1）和上式可构成循环平方差。

3.公式的推广

计算多项式的平方，由（a+b）2=a2+2ab+b2，可推广得到：

（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．

可叙述为：

多项式的平方，等于各项的平方和，加上每两项乘积的2倍．

5．计算（2x+y-3）2

4.公式的变换，灵活运用变形公式

6．已知a+b=2，ab=1，求a2+b2和（a-b）2的值。

分析：

此题可用完全平方公式的变形得解。

7．已知x-y=2，y-z=2，x+z=14。

求x2-z2的值。

分析：

此题若想根据现有条件求出x、y、z的值，比较麻烦，考虑到x2-z2是由x+z和x-z的积得来的，所以只要求出x-z的值即可。

5.乘法公式的逆运用

8．计算（a-2b+3c）2-（a+2b-3c）2．

　　分析：

若按完全平方公式展开，再相减，运算繁杂，但逆用平方差公式，则能使运算简便得多．

9．计算（2a+3b）2-2（2a+3b）（5b-4a）+（4a-5b）2

　　分析：

此题可以利用乘法公式和多项式的乘法展开后计算，但逆用完全平方公式，则运算更为简便．

10．计算19992-2000×1998

　　分析：

此题中2000=1999+1，1998=1999-1，正好符合平方差公式。

经典例题透析

类型一：

乘法公式的逆运用

1、计算：

思路点拨：

应弄清乘法公式的来龙去脉，准确地掌握其特征，为辨认和运用公式打下基础，同时能提高观察能力。

举一反三：

【变式1】计算：

（1）

（2）

【变式2】计算：

类型二：

公式的变换，灵活运用变形公式

2、已知

，求

的值。

　思路点拨：

把公式本身适当变形后再用于解题。

这里以完全平方公式为例，经过变形或重新组合，可得如下几个比较有用的派生公式

举一反三：

【变式1】计算：

【变式2】已知实数x、y、z满足

，那么

（）