第13讲 和倍问题.docx

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第13讲和倍问题

第13讲和倍问题

　　一、知识要点

　　已知两个数的和与它们之间的倍数关系，求这两个数是多少的应用题，叫做和倍问题。

解答和倍应用题的基本数量关系是：

　　和÷（倍数+1）=小数　　小数×倍数=大数　　（和-小数=大数）

　　二、精讲精练

　　【例题1】学校有科技书和故事书共480本，科技书的本数是故事书的3倍。

两种书各有多少本?

　　【思路导航】为了便于理解题意，我们画图来分析：

　　由图可知，如果把故事书的本数看作一份，那么科技书的本数就是这样的3份，两种书的总本数就是这样的1+3=4份。

把480本书平均分成4份，1份是故事书的本数，3份是科技书的本数。

　　480÷（1+3）=120（本）120×3=360（本）.

　　练习1：

1.用锡和铝制成的合金是720千克，其中铝的重量是锡的5倍。

铝和锡各用了多少千克?

2.甲、乙两数的和是112.甲数除以乙数的商是6，甲、乙两数各是多少?

3.一块长方形黑板的周长是96分米，长是宽的3倍。

这块长方形黑板的长和宽各是多少分米?

　　【例题2】果园里有梨树、桃树和苹果树共1200棵，其中梨树的棵数是苹果树的3倍，桃树的棵数是苹果树的4倍。

求梨树、桃树和苹果树各有多少棵?

　　【思路导航】如果把苹果树的棵数看作1份，三种树的总棵数是这样的1+3+4=8份。

所以，苹果树有1200÷8=150（棵），梨树有150×3=450（棵），桃树有150×4=600（棵）.

　　练习2：

　　1.李大伯养鸡、鸭、鹅共960只，养鸡的只数是鹅的3倍，养鸭的只数是鹅的4倍。

鸡、鸭、鹅各养了多少只?

2.甲、乙、丙三数之和是360，已知甲是乙的3倍，丙是乙的2倍。

求甲、乙、丙各是多少。

3.商店有铅笔、钢笔、圆珠笔共560支，圆珠笔的支数是钢笔的3倍，铅笔的支数与圆珠笔的支数同样多。

铅笔、钢笔和圆珠笔各有多少支?

　　【例题3】有三个书橱共放了330本书，第二个书橱里的书是第一个的2倍，第三个书橱里的书是第二个的4倍。

每个书橱里各放了多少本书?

　　【思路导航】把第一个书橱里的本数看作1份，那么第二个书橱里的本数是这样的2份，第三个就是这样的2×4=8份，三个书橱里的总本数就是这样的1+2+8=11份。

所以，第一个书橱里放了

　　330÷11=30（本），第二个书橱里放了30×2=60（本），第三个书橱里放了60×4=240（本）。

　　练习3：

1.甲、乙、丙三个数之和是400，已知甲是乙的3倍，丙是甲的4倍。

求甲、乙、丙各是多少。

2.三块钢板共重621千克，第一块的重量是第二块的3倍，第二块的重量是第三块的2倍。

三块钢板各重多少千克?

3.甲、乙、丙三个修路队共修路1200米，甲队修的米数是乙队的2倍，乙队修的数数是丙队的3倍。

三个队各修了多少米?

　　【例题4】少先队员种柳树和杨树共216棵，杨树的棵数比柳树的3倍多20棵，两种树各种了多少棵?

　　【思路导航】如果杨树少种20棵，那么柳树和杨树的总棵数是216-20=196（棵），这里杨树的棵数恰好是柳树的3倍。

所以，柳树的棵数是196÷（1+3）=49（棵），杨树的棵数是216-49=167（棵）。

练习4：

1.粮站有大米和面粉共6300千克，大米的重量比面粉的4倍还多300千克，大米和面粉各有多少千克?

2.小华和小明两人参加数学竞赛，两人共得168分，小华的得分比小明的2倍少42分。

两人各得多少分?

3.学校购买了720本图书分给高、中、低三个年级，高年级分得的比低年级的3倍多8本，中年级分得的比低年级的2倍多4本。

高、中、低年级各分得图书多少本?

　　【例题5】三个筑路队共筑路1360米，甲队筑的米数是乙队的2倍，乙队比丙队多240米。

三个队各筑多少米?

　　【思路导航】把乙队的米数看作1份，甲队筑的米数是这样的2份。

假设丙队多筑240米，那么三个队共筑了1360+240=1600米，正好是乙队的2+1+1=4倍。

所以，乙队筑了1600÷4=400米，甲队筑了400×2=800米，丙队筑了400-240=160米。

练习5：

1.三个植树队共植树1900棵，甲队植树的棵数是乙队的2倍，乙队比丙队少植300棵。

三个队各植树多少棵?

2.三个数的和是1540，甲数是丙数的7倍，乙数比甲数多40。

三个数各是多少?

3.城东小学共有篮球、足球和排球共95个，其中足球比排球少5个，排球的个数是篮球个数的2倍。

篮球、足球、排球各有多少个?

第14讲植树问题

　　一、知识要点

　　1.线段上的植树问题可以分为以下三种情形：

（1）如果植树线路的两端都要植树，那么植树的棵数应比要分的段数多1.即：

　　棵数=段数+1;

（2）如果一端植树，另一端不植树，那么棵数与段数相等，即：

棵数=段数;

　　（3）如果两端都不植树，那么棵数应比段数少1.即：

　　棵数=段数-1。

　　2.在封闭的路线上植数，棵数与段数相等，即：

　　棵数=段数。

　　二、精讲精练

　　【例题1】城中小学在一条大路边从头至尾栽树28棵，每隔6米栽一棵。

这条路长多少米?

　　【思路导航】题中已知栽树28棵，28棵树之间有28-1=27段，每隔6米为一段，所以这条大路长6×27=162米。

　　练习1：

1.在一条马路一边从头至尾植树36棵，每相邻两棵树之间隔8米，这长马路有多长?

2.同学们做早操，21个同学排成一排，每相邻两个同学之间的距离相等，第一个人到最后一个人的距离是40米，相邻两个人隔多少米?

3.一条路长200米，在路的一旁从头至尾每隔5米植一棵树，一共要植多少棵?

　　【例题2】在一个周长是240米的游泳池周围栽树，每隔5米栽一棵，一共要栽多少棵树?

　　【思路导航】这道题是封闭线路上的植树问题，植树的棵数和段数相等。

240÷5=48（棵）

　　练习2：

1.一个鱼塘的周长是1500米，沿鱼塘周围每隔6米栽一棵杨树，需要种多少棵杨树?

2.在圆形的水池边，每隔3米种一棵树，共种树60棵，这个水池的周长是多少米?

3.在一块长80米，宽60米的长方形地的周围种树，每隔4米种一棵，一共要种多少棵?

　　【例题3】在一座长800米的大桥两边挂彩灯，起点和终点都挂，一共挂了202盏，相邻两盏之间的距离都相等。

求相邻两盏彩灯之间的距离。

　　【思路导航】大桥两边一共挂了202盏彩灯，每边各挂202÷2=101盏，101盏彩灯把800米长的大桥分成101-1=100段，所以，相邻两盏彩灯之间的距离是800÷100=8米。

　　练习3：

1.在一条长100米的大路两旁各栽一行树，起点和终点都栽，一共栽52棵，相邻的两棵树之间的距离相等。

求相邻两棵树之间的距离。

2.一座长400米的大桥两旁挂彩灯，每两个相隔4米，从桥头到桥尾一共装了多少盏灯?

3.六年级学生参加广播操比赛，排了5路纵队，队伍长20米，前后两排相距1米。

六年级有学生多少人?

　　【例题4】一个木工锯一根19米的木料，他先把一头损坏部分锯下来1米，然后锯了5次，锯成同样长的短木条。

每根短木条长多少米?

　　【思路导航】根据题意，把长19-1=18米的木条锯了5次，可以锯成5+1=6段，所以每根短木条长18÷6=3米。

　　练习4：

1.一个木工锯一根长17米的木料，他先把一头损坏的部分锯下来2米，然后锯了4次，锯成同样长的短木条，每根短木条长几米?

2.有一根圆钢长22米，先锯下2米，剩下的锯成每根都是4米的小段，又锯了几次?

3.有一个工人把长12米的圆钢锯成了3米长的小段，锯断一次要5分钟。

共需要多少分钟?

　　【例题5】有一幢10层的大楼，由于停电电梯停开。

某人从1层走到3层需要30秒，照这样计算，他从3层走到10需要多少秒?

　　【思路导航】把每一层楼所需要的时间看作一个间隔，1层至3层有两个时间间隔，所以每个间隔用去的时间是30÷（3-1）=15秒，3层到10层经过了10-3=7个时间间隔，所以，他从3层到10层需要15×7=105秒。

　　练习5：

1.把6米长的木料平均锯成3段要6分钟，照这样计算，如果锯成6段，需要多少分钟?

　　2.时钟4点敲4下，6秒钟敲完。

那么12点钟敲12下，多少秒钟敲完?

3.一游人以等速在一条小路上散步，路边相邻两棵树的距离都相等，他从第一棵树走到第10棵树用了11分钟，如果这个游人走22分钟，应走到第几棵树?

第15讲图形问题

　　一、知识要点

　　解答有关“图形面积”问题时，应注意以下几点：

　　1.细心观察，把握图形特点，合理地进行切拼，从而使问题得以顺利地解决;

　　2.从整体上观察图形特征，掌握图形本质，结合必要的分析推理和计算，使隐蔽的数量关系明朗化。

　　二、精讲精练

　　【例题1】人民路小学操场长90米，宽45米。

改造后，长增加10米，宽增加5米。

现在操场面积比原来增加了多少平方米?

　　【思路导航】用操场现在的面积减去操场原来的面积，就得到增加的面积。

操场现在的面积是（90+10）×（45+5）=5000平方米，操场原来的面积是90×45=4050平方米。

所以，现在的面积比原来增加5000-4050=950平方米。

练习1：

1.有一块长方形的木板，长22分米，宽8分米。

如果长和宽分别减少10分米、3分米，面积比原来减少多少平方分米?

2.一块长方形铁板，长18分米，宽13分米。

如果长和宽各减少2分米，面积比原来减少多少平方分米?

3.一块长方形地，长是80米，宽是45米。

如果把宽增加5米，要使面积不变，长应减少多少米?

【例题2】一个长方形，如果宽不变，长增加6米，那么它的面积增加54平方米;如果长不变，宽减少3米，那么它的面积减少36平方米。

这个长方形原来的面积是多少平方米?

【思路导航】由“宽不变，长增加6米，面积增加54平方米”可知，它的宽为54÷6=9米;由“长不变，宽减少3米，面积减少36平方米”可知，它的长为36÷3=12米。

所以，这个长方形原来的面积是12×9=108平方米。

练习2：

1.一个长方形，如果宽不变，长减少3米，那么它的面积减少24平方米;如果长不变，宽增加4米，那么它的面积增加60平方米。

这个长方形原来的面积是多少平方米?

2.一个长方形，如果宽不变，长增加5米，那么它的面积增加30平方米;如果长不变，宽增加3米，那么它的面积增加48平方米。

这个长方形原来的面积是多少平方米?

3.一个长方形，如果它的长减少3米，或它的宽减少2米，那么它的面积都减少36平方米。

求这个长方形原来的面积。

【例题3】右图是一个养禽专业户用一段16米的篱笆围

成的一个长方形养鸡场，求它的占地面积。

【思路导航】根据题意，因为一面利用着墙，所以两条长加

一条宽等于16米。

而宽是4米，那么长是（16-4）÷2=6米，

占地面积是6×4=24平方米。

练习3：

1.右图是某个养禽专业户用一段长13米的篱笆围成的

一个长方形养鸡场，求养鸡场的占地面积。

2.用56米长的木栏围成长或宽是20米的长方形，其中一边利用围墙，怎样才能使围成的面积最大?

3.用15米长的栅栏沿着围墙围一个种植花草的长方形苗圃，其中一面利

用着墙。

如果每边的长度都是整数，怎样才能使围成的面积最大?

【例题4】街心花园中一个正方形的花坛四周有1米宽的水泥路，

如果水泥路的总面积是12平方米，中间花坛的面积是多少平方米?

   【思路导航】把水泥路分成四个同样大小的长方形（如右图）。

      因此，一个长方形的面积是12÷4=3平方米。

因为水泥路宽1米，

所以小长方形的长是3÷1=3米。

从图中可以看出正方形花坛的边长是小

长方形长与宽的差，所以小正方形的边长是3-1=2米。

中间花坛的面积

是2×2=4平方米。

练习4：

1.有一个正方形的水池，如下图的阴影部分，在它的周围修一个宽8米的花池，花池的面积是480平方米，求水池的边长。

2.四个完全相同的长方形和一个小正方形拼成了一个大正方形（如图），

大正方形的面积是64平方米，小正方形的面积是4平方米，小长方形

的短边是多少米?

　　3.已知大正方形比小正方形的边长多4厘米，大正方形的面积比小正方形面积大96平方厘米（如下图）。

问大小正方形的面积各是多少?

　　【例题5】一块正方形的钢板，先截去宽5分米的长方形，又截去宽8分米的长方形（如图），面积比原来的正方形减少181平方分米。

原正方形的边长是多少?

　【思路导航】把阴影部分剪下来，并把剪下的两个小长方形拼起来（如上右图），再拼上长、宽分别是8分米、5分米的小长方形，这个拼合成的长方形的面积是181+8×5=221平方分米，长是原来正方形的边长，宽是8+5=13分米。

所以，原来正方形的边长是221÷13=17分米。

　　练习5：

1.一个正方形一条边减少6分米，另一条边减少10分米后变为一个长方形，这个长方形的面积比正方形的面积少260平方米，求原来正方形的边长。

2.一个长方形的木板，如果长减少5分米，宽减少2分米，那么它的面积就减少66平方分米，这时剩下的部分恰好是一个正方形。

求原来长方形的面积。

3.一块正方形的的玻璃，长、宽都截去8厘米后，剩下的正方形比原来少448平方厘米，这块正方形玻璃原来的面积是多大?