圆锥曲线中焦点三角形问题.docx

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圆锥曲线中焦点三角形问题

焦点三角形是圆锥曲线的两个焦点与圆锥曲线上任意一点组成的三角形，以这个三角形的某些元素作为条件的圆锥曲线问题称为焦点三角形问题。

焦点三角形是圆锥曲线中的重要内容，本文将介绍一些关于焦点三角形问题的解法。

一、周长问题

例1是椭圆的两个焦点，是椭圆上任一点，求的周长。

分析由于的三边由构成，故考虑运用椭圆的定义。

解据椭圆的定义有，，则的周长为。

变式是椭圆的两个焦点，是椭圆上任一点，的延长线交椭圆于点，求的周长。

解,,

小结：

解此类题关键是运用圆锥曲线的定义。

二、面积问题

例2是椭圆的两个焦点，是椭圆上任一点，求的面积。

解设

由椭圆定义可知，。

在中，运用余弦定理有

可得，。

（1）

由此类比双曲线可得到

是椭圆的两个焦点，是椭圆上任一点，求的面积。

（2）

公式

（1）、

（2）对于焦点在轴上的椭圆和双曲线同样成立。

小结：

此结论一般称为焦点三角形的面积公式，一般运用于客观题的解题。

求解圆锥曲线中的面积问题一般会利用余弦定理来求解。

在解圆锥曲线的问题中，有些选择题或填空题，如果用常规方法去解题，无疑是小题大做,这在考试特别是高考中，是非常不可取的。

运用特殊解法，不但可以节省时间，还可提高准确率。

例3已知双曲线方程为，是双曲线的两个焦点，是双曲线上任一点，求的面积。

分析若是客观题，可直接代入焦点三角形面积公式得：

三、最值问题

例4已知椭圆方程为，分别为其左右两焦点，为椭圆上任意一点，，

求

（1）的最大值；

（2）面积的最大值；

（3）的周长的最大值。

解

（1）法一设由椭圆定义可知，。

在中，运用余弦定理有

又，（当且仅当时等号成立）

又因当时，单调递减，

且在时，取得最大值或者

又时，取得最大值。

即位于椭圆短轴端点时，取得最大值。

法二设,由焦半径公式可知：

，

在中，

=

即位于椭圆短轴端点时，取得最大值。

（2）过点作的垂线，垂足为。

令。

，当为最大时，三角形的面积取得最大值。

即当位于椭圆短轴端点时，三角形面积取得最大值。

（3）据椭圆的定义有，，则的周长为。

即的周长无最大值。

小结:

解焦点三角形有关的最值问题，主要是利用圆锥曲线的第一定义，并借助正弦定理、余弦定理以及均值定理和函数的单调性等来解决。

四、离心率问题

例5是椭圆的两个焦点，是椭圆上任一点，，求椭圆的离心率。

解

小结：

已知“焦点三角形”的两个角，求其离心率，一般利用正弦定理、等比定理、椭圆的定义及三角函数等有关知识来求解。

双曲线也有类似结论。

例6已知椭圆方程为两焦点分别为设焦点三角形中则

证明：

设则在中，由余弦定理得：

命题得证。

例7已知椭圆的焦点是F1（－1，0）、F2（1，0），P为椭圆上一点，且｜F1F2｜是｜PF1｜和|PF2｜的等差中项．

（1）求椭圆的方程；

（2）若点P在第三象限，且∠PF1F2＝120°，求tanF1PF2．

解：

（1）由题设2｜F1F2｜＝｜PF1｜＋｜PF2｜

∴2a＝４，又2c＝2，∴b＝

∴椭圆的方程为＝1．

（2）设∠F1PF2＝θ，则∠PF2F1＝60°－θ

椭圆的离心率

则，

整理得：

5sinθ＝（1＋cosθ）

∴故，tanF1PF2＝tanθ＝．

参考文献

1.俞新龙.破解圆锥曲线焦点三角形问题【J】.数学导学.2013.

2.吴成强.圆锥曲线中“焦点三角形”有关问题研究【J】.中学数学杂志.2009（5）.

3.刘豪.圆锥曲线中焦点三角形几个问题的解法【J】.林区教学.2008（133）.