高考数学二轮复习专题五解析几何第3讲解析几何的综合问题学案Word文档格式.docx

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直线l：

x＝my＋n，P（x1，y1），Q（x2，y2），

联立得（4＋m2）y2＋2mny＋n2－4＝0，

Δ＝16（m2－n2＋4）＞0，

y1,2＝，

所以＝－，y1y2＝，

所以＝＝，

即H，

由OH＝1，得n2＝，

则S△POQ＝·

OD·

|y1－y2|＝|n||y1－y2|，

n2（y1－y2）2＝n2[（y1＋y2）2－4y1y2]

＝12×

16×

.

设t＝4＋m2（t≥4），

则＝＝≤，

当且仅当t＝，即t＝12时取等号，此时S△POQ＝1，

所以△POQ面积的最大值为1.

热点二　定点问题

例2　（2018·

全国大联考江苏卷）如图，已知A，B是椭圆＋＝1的长轴顶点，P，Q是椭圆上的两点，且满足kAP＝2kQB，其中kAP，kQB分别为直线AP，QB的斜率．

（1）求证：

直线AP和BQ的交点R在定直线上；

（2）求证：

直线PQ过定点．

证明　

（1）根据题意，可设直线AP的方程为y＝kAP（x－2），直线BQ的方程为y＝kQB（x＋2），

则直线AP和BQ的交点R的横坐标x0满足＝2，即x0＝6.

因此直线AP和BQ的交点R在定直线x＝6上.

（2）由

（1），可设点R的坐标为（6，m），

则直线AP的方程为y＝（x－2），直线BQ的方程为y＝（x＋2），

联立方程得（m2＋12）x2－4m2x＋4（m2－12）＝0，

设P（xP，yP），则根据根与系数的关系，得2×

xP＝，即xP＝，

代入直线AP的方程得，yP＝，

故P.

联立方程得（m2＋48）x2＋4m2x＋4（m2－48）＝0，

设Q（xQ，yQ）,则－2×

xQ＝，

即xQ＝，

代入直线BQ的方程得，yQ＝，

故Q，

当＝，即m2＝24时，直线PQ与x轴的交点为T，

当≠，即m2≠24时，

下面证直线PQ过点T.

kPT－kQT＝－＝－＝0，

故直线PQ过定点T.

思维升华　如果要解决的问题是一个定点问题，我们可以根据特殊情况先找到这个定点，明确解决问题的目标，然后再进行一般性证明．

跟踪演练2　如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：

x2＋y2＝4，椭圆C：

＋y2＝1，A为椭圆右顶点．过原点O且异于坐标轴的直线与椭圆C交于B，C两点，直线AB与圆O的另一交点为P，直线PD与圆O的另一交点为Q，其中D.设直线AB，AC的斜率分别为k1，k2.

（1）求k1k2的值；

（2）记直线PQ，BC的斜率分别为kPQ，kBC，是否存在常数λ，使得kPQ＝λkBC？

若存在，求λ值；

若不存在，说明理由；

（3）求证：

直线AC必过点Q.

（1）解　设B（x0，y0），则C（－x0，－y0），＋y＝1，

所以k1k2＝·

＝＝＝－.

（2）解　由题意得直线AP的方程为y＝k1（x－2），联立

得（1＋k）x2－4kx＋4（k－1）＝0，

设P（xp，yp），

解得xp＝，yp＝k1（xp－2）＝，

联立得（1＋4k）x2－16kx＋4（4k－1）＝0，

设B（xB，yB），

同理得xB＝，yB＝k1（xB－2）＝，

所以kBC＝＝，

kPQ＝＝＝，

所以kPQ＝kBC，故存在常数λ＝，使得kPQ＝kBC，

（3）证明　当直线PQ与x轴垂直时，Q，

则kAQ＝＝＝k2，所以直线AC必过点Q.

当直线PQ与x轴不垂直时，直线PQ方程为

y＝，

联立，

解得xQ＝，yQ＝，

所以kAQ＝＝－＝k2，

故直线AC必过点Q.

综上可知，直线AC必过点Q.

热点三　定值问题

例3　记焦点在同一条轴上且离心率相同的椭圆为“相似椭圆”．已知椭圆E：

＋＝1，以椭圆E的焦点为顶点作相似椭圆M.

（1）求椭圆M的方程；

（2）设直线l与椭圆E交于A，B两点，且与椭圆M仅有一个公共点，试判断△ABO的面积是否为定值（O为坐标原点）？

若是，求出该定值；

若不是，请说明理由．

解　

（1）由条件知，椭圆M的离心率e＝，且长轴的顶点为（－2,0），（2,0），

∴椭圆M的方程为＋＝1.

（2）当直线l的斜率存在时，设直线l:

y＝kx＋b.

由得，x2＋8kbx＋4b2－12＝0.

令Δ＝64k2b2－4＝0得，

b2＝3＋4k2.

联立化简得x2＋8kbx＋4b2－48＝0.

设A（x1，y1），B（x2，y2），

∴x1,2＝

∴

∴AB＝

＝＝

＝，而原点O到直线l的距离d＝，

∴S△ABO＝AB·

d＝6.

当直线l的斜率不存在时，l：

x＝2或x＝－2，则AB＝6，原点O到直线l的距离d＝2，

∴S△ABO＝6.

综上所述，△ABO的面积为定值6.

思维升华　

（1）从特殊开始，求出定值，再证明该值与变量无关：

（2）直接推理、计算，在整个过程中消去变量，得定值．

跟踪演练3　（2018·

苏锡常镇四市调研）如图，椭圆＋＝1（a>

0）的离心率为，焦点到相应准线的距离为1，点A，B，C分别为椭圆的左顶点、右顶点和上顶点，过点C的直线l交椭圆于点D，交x轴于点M（x1,0），直线AC与直线BD交于点N（x2，y2）．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若＝2，求直线l的方程；

x1x2为定值．

（1）解　由椭圆的离心率为，焦点到对应准线的距离为1.

得解得

所以椭圆的标准方程为＋y2＝1.

（2）解　由

（1）知C（0,1），设D（x0，y0），

由＝2，得2y0＝－1，所以y0＝－，

代入椭圆方程得x0＝或－，

所以D或D，

所以kl＝＝－或kl＝＝.

所以直线l的方程为x－2y＋2＝0或x＋2y－2＝0.

（3）证明　设D（x3，y3），由C（0,1），M（x1,0）可得直线CM的方程为y＝－x＋1,

联立椭圆方程得

解得x3＝，y3＝.

由B（，0），得直线BD的方程为

y＝（x－），

因为点N（x2，y2）在直线BD上，

所以y2＝（x2－），①

直线AC的方程为y＝x＋1，

因为点N（x2，y2）在直线AC上，所以y2＝x2＋1，②

联立①②得x2＝，

从而x1x2＝2为定值．

1．（2017·

江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：

＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，两准线之间的距离为8.点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1，过点F2作直线PF2的垂线l2.

（1）求椭圆E的标准方程；

（2）若直线l1，l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标．

解　

（1）设椭圆的半焦距为c.

因为椭圆E的离心率为，两准线之间的距离为8，

所以＝，＝8，解得a＝2，c＝1，

于是b＝＝，

因此椭圆E的标准方程是＋＝1.

（2）由

（1）知，F1（－1,0），F2（1,0）．设P（x0，y0），

因为P为第一象限的点，故x0＞0，y0＞0.

当x0＝1时，l2与l1相交于F1，与题设不符．

当x0≠1时，直线PF1的斜率为，

直线PF2的斜率为.

因为l1⊥PF1，l2⊥PF2，

所以直线l1的斜率为－，

直线l2的斜率为－，

从而直线l1的方程为y＝－（x＋1），①

直线l2的方程为y＝－（x－1）．②

由①②，解得x＝－x0，y＝，

所以Q.

因为点Q在椭圆上，由对称性，得＝±

y0，

即x－y＝1或x＋y＝1.

又点P在椭圆上，故＋＝1.

由解得x0＝，y0＝，

由无解．

因此点P的坐标为.

2．（2018·

苏州调研）已知椭圆C：

0）的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2，一条准线方程为x＝2，P为椭圆C上一点，直线PF1交椭圆C于另一点Q.

（1）求椭圆C的方程；

（2）若点P的坐标为，求过P，Q，F2三点的圆的方程；

（3）若＝λ，且λ∈，求·

的最大值．

解　

（1）由题意得解得c＝1，a2＝2，

所以b2＝a2－c2＝1.

所以椭圆C的方程为＋y2＝1.

（2）因为P（0,1），F1（－1,0），

所以PF1的方程为x－y＋1＝0.

由解得或

所以点Q的坐标为.

设过P，Q，F2三点的圆为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，

则

解得D＝，E＝，F＝－.

所以圆的方程为x2＋y2＋x＋y－＝0.

（3）设P，Q，则＝（x1＋1，y1），＝（－1－x2，－y2）．

因为＝λ，

所以即

所以＋λ2y＝1，＋y＝1，

解得x2＝.

所以·

＝x1x2＋y1y2＝x2－λy＝－x－（1＋λ）x2－λ

＝－2－－λ

＝－，

因为λ∈，所以λ＋≥2，当且仅当λ＝，

即λ＝1时取等号．

≤，即·

的最大值为.

A组　专题通关

1．已知抛物线x2＝2py（p>

0）的焦点F是椭圆＋＝1（a>

0）的一个焦点，若P，Q是椭圆与抛物线的公共点，且直线PQ经过焦点F，则该椭圆的离心率为______．

答案　－1

解析　方法一　由抛物线方程，得焦点为F.

由椭圆方程，可得上焦点为（0，c），

故＝c，

将y＝c代入椭圆方程可得x＝±

又抛物线通径为2p，

所以2p＝＝4c，

所以b2＝a2－c2＝2ac，

即e2＋2e－1＝0，解得e＝－1.

方法二　如图所示，由抛物线方程以及直线y＝，

可得Q.

又＝c，即Q（2c，c），

代入椭圆方程可得＋＝1，

化简可得e4－6e2＋1＝0，

解得e2＝3－2，e2＝3＋2>

1（舍去），

即e＝＝－1（负值舍去）．

2．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·

的最大值为________．

答案　6

解析　由题意得F（－1,0），设点P（x0，y0），

则y＝3（－2≤x0≤2）．

＝x0（x0＋1）＋y＝x＋x0＋y

＝x＋x0＋3＝（x0＋2）2＋2.

又因为－2≤x0≤2，

所以当x0＝2时，·

取得最大值6.

3．已知两定点A（－1,0）和B（1,0），动点P（x，y）在直线l：

y＝x＋2上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为________．

答案　

解析　A（－1,0）关于直线l：

y＝x＋2的对称点为

A′（－2,1），连结A′B交直线l于点P，

则椭圆C的长轴长的最小值为

A′B＝＝，

所以椭圆C的离心率的最大值为＝＝.

4．如图，已知F1，F2是椭圆C：

＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF2与圆x2＋y2＝b2相切于点Q，且点Q为线段PF2的中点，则椭圆C的长轴长是短轴长的________倍．

解析　连结PF1，OQ，则PF1＝2OQ＝2b，PF1⊥PF2，

由PF＋PF＝F1F，得（2b）2＋（2a－2b）2＝（2c）2，

解得＝，故＝.

5．（2018·

江苏省扬州树人学校模拟）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：

0）的短轴长为2，离心率为.

（2）已知A为椭圆C的上顶点，点M为x轴正半轴上一点，过点A作AM的垂线AN与椭圆C交于另一点N，若∠AMN＝60°

，求点M的坐标．

解　

（1）因为椭圆C的短轴长为2，离心率为，

所以解得

所以椭圆C的方程为＋＝1.

（2）因为A为椭圆C的上顶点，所以A（0，）．

设M（m,0）（m>

0），则kAM＝－.

又AM⊥AN，所以kAN＝，

所以直线AN的方程为y＝x＋.

由消去y，整理得

（2＋3m2）x2＋12mx＝0，

所以xN＝，yN＝×

＋，

所以AN＝＝×

，

在Rt△AMN中，由∠AMN＝60°

，得AN＝AM，

所以×

＝×

，解得m＝.

所以点M的坐标为.

6．已知椭圆C：

＋y2＝1（常数m＞1），点P是C上的动点，M是右顶点，定点A的坐标为（2,0）．

（1）若M与A重合，求C的焦点坐标；

（2）若m＝3，求PA的最大值与最小值；

（3）若PA的最小值为MA，求m的取值范围．

解　

（1）m＝2，椭圆方程为＋y2＝1，c＝＝，

∴左、右焦点坐标为（－，0），（，0）．

（2）m＝3，椭圆方程为＋y2＝1，设P（x，y），则

PA2＝（x－2）2＋y2＝（x－2）2＋1－

＝2＋（－3≤x≤3），

∴当x＝时，（PA）min＝，

当x＝－3时，（PA）max＝5.

（3）设动点P（x，y），则

＝2－＋5（－m≤x≤m），

∵当x＝m时，PA取最小值，且＞0，

∴≥m且m＞1，

解得1＜m≤1＋.

7．（2018·

江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C过点，焦点为F1（－，0），F2（，0），圆O的直径为F1F2.

（1）求椭圆C及圆O的方程；

（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P.

①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；

②直线l与椭圆C交于A，B两点．若△OAB的面积为，求直线l的方程．

解　

（1）因为椭圆C的焦点为F1（－，0），F2（，0），

可设椭圆C的方程为＋＝1（a＞b＞0）．

又点在椭圆C上，

因此，椭圆C的方程为＋y2＝1.

因为圆O的直径为F1F2，所以其方程为x2＋y2＝3.

（2）①设直线l与圆O相切于点P（x0，y0）（x0＞0，y0＞0），

则x＋y＝3，

所以直线l的方程为y＝－（x－x0）＋y0，

即y＝－x＋.

由消去y，得

（4x＋y）x2－24x0x＋36－4y＝0.（*）

因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点，

所以Δ＝（－24x0）2－4（4x＋y）·

（36－4y）

＝48y（x－2）＝0.

因为x0＞0，y0＞0，

所以x0＝，y0＝1.

因此，点P的坐标为（，1）．

②因为△OAB的面积为，

所以AB·

OP＝，从而AB＝.

由（*）得x1,2＝，

所以AB2＝（x1－x2）2＋（y1－y2）2

＝·

因为x＋y＝3，

所以AB2＝＝，即2x－45x＋100＝0，

解得x＝（x＝20舍去），则y＝，

代入Δ＝48y（x－2）＞0，满足题意，

所以直线l的方程为y＝－x＋3，即x＋y－3＝0.

B组　能力提高

8.如图，在平面直角坐标系xOy中，焦点在x轴上的椭圆C：

＋＝1经过点（b,2e），其中e为椭圆C的离心率．过点T（1,0）作斜率为k（k＞0）的直线l交椭圆C于A，B两点（A在x轴下方）．

（2）过点O且平行于l的直线交椭圆C于点M，N，求的值；

（3）记直线l与y轴的交点为P.若＝，求直线l的斜率k.

解　

（1）因为椭圆＋＝1经过点（b,2e），

所以＋＝1.

因为e2＝＝，所以＋＝1.

因为a2＝b2＋c2，所以＋＝1.

整理得b4－12b2＋32＝0，

解得b2＝4或b2＝8（舍）.

所以椭圆C的标准方程为＋＝1.

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．

因为T（1,0），所以直线l的方程为y＝k（x－1）．

联立直线l与椭圆方程得

消去y，得（2k2＋1）x2－4k2x＋2k2－8＝0，

所以x1,2＝，

所以

因为MN∥l，所以直线MN的方程为y＝kx，

联立直线MN与椭圆方程得

消去y，得（2k2＋1）x2＝8，解得x2＝.

因为MN∥l，所以＝.

因为（1－x1）·

（x2－1）＝－[x1x2－（x1＋x2）＋1]

＝，

（xM－xN）2＝4x2＝，

所以＝

＝.

（3）在y＝k（x－1）中，令x＝0，

则y＝－k，所以P（0，－k），

从而＝（－x1，－k－y1），＝（x2－1，y2）．

因为＝，

所以－x1＝（x2－1），即x1＋x2＝.

由

（2）知由

解得x1＝，x2＝.

因为x1x2＝，

＝，

整理得50k4－83k2－34＝0，

解得k2＝2或k2＝－（舍）.

又因为k＞0，所以k＝.

9.如图，椭圆C：

＋＝1（a＞b＞0）的顶点分别为A1，A2，B1，B2，

＝4，直线y＝x＋与圆O：

x2＋y2＝b2相切．

（1）求椭圆C的离心率；

（2）若P是椭圆C上除顶点外的任意一点，直线A1P交y轴于点F，直线A1B1交直线B2P于点E，问直线EF是否过定点．若是，求出该定点的坐标；

解　

（1）因为直线y＝x＋与圆O相切，由点到直线的距离公式得，＝＝b，即b＝1.

又

＝4，所以×

2a×

2b＝4，所以a＝2，

所以椭圆C的方程为＋y2＝1，

离心率e＝＝.

（2）由题意知直线B2P的斜率存在，设直线B2P的斜率为k，由

（1）可知，A1（－2,0），B1（0，－1），B2（0,1），

则直线B2P的方程为y＝kx＋1.

由得（1＋4k2）x2＋8kx＝0，

其中xB2＝0，所以xP＝－.

所以P，易知k≠0，且k≠±

则直线A1P的斜率

＝＝－，

直线A1P的方程为y＝－（x＋2），

令x＝0，则y＝－，即F.

易知直线A1B1的方程为x＋2y＋2＝0，

由解得

所以E，

所以直线EF的斜率k0＝＝－，

所以直线EF的方程为y＝－x－，

即2k（x＋y＋1）－（y－1）＝0，

由得

所以直线EF过定点（－2,1）．

精美句子

1、善思则能“从无字句处读书”。

读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；

读太阳，读出了它普照万物的无私；

读春雨，读出了它润物无声的柔情。

读大海，读出了它气势磅礴的豪情。

读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。

2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；

幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 

幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；

幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。

幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；

幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。

幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。

幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。

幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。

幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。

3、大自然的语言丰富多彩：

从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；

从归雁的行列中，我读出了集体的力量；

从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；

从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；

从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。

4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。

鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。

矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。

蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。

航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。

5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。

井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。

笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。

山中的石！

当你背靠群峰时，意志就坚了。

水中的萍！

当你随波逐流后，根基就没了。

空中的鸟！

当你展翅蓝天中，宇宙就大了。

空中的雁！

当你离开队伍时，危险就大了。

地下的煤！

你燃烧自己后，贡献就大了

6、朋友是什么？

朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；

朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。

朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；

朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。

7、一粒种子，可以无声无息地在泥土里腐烂掉，也可以长成参天的大树。

一块铀块，可以平庸无奇地在石头里沉睡下去，也可以产生惊天动地的力量。

一个人，可以碌碌无为地在世上厮混日子，也可以让生命发出耀眼的光芒。

8、青春是一首歌，她拨动着我们年轻的心弦；

青春是一团火，她点燃了我们沸腾的热血；

青春是一面旗帜，她召唤着我们勇敢前行；

青春是一本教科书，她启迪着我们的智慧和心灵。