小学奥数计数专题几何计数六年级竞赛测试docWord下载.docx

小学奥数计数专题几何计数六年级竞赛测试docWord下载.docx

《小学奥数计数专题几何计数六年级竞赛测试docWord下载.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《小学奥数计数专题几何计数六年级竞赛测试docWord下载.docx（16页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

（1+2+3+…+20）＝630根．

【题文】如图，用长短相同的火柴棍摆成3×

1996的方格网，其中每个小方格的边都由一根火柴棍组成，那么一共需用多少根火柴棍?

【答案】13975

【解析】横放需1996×

4根，竖放需1997×

3根，共需1996×

4+1997×

3＝13975根．

【题文】图是一个跳棋棋盘，请你计算出棋盘上共有多少个棋孔?

【答案】121

【解析】把棋盘分割成一个平行四边形和四个小三角形，如下图．平行四边形中棋孔数为9×

9＝81，每个小三角形中有10个棋孔，所以棋孔共有81+10×

4＝121个．

或直接数出有121个．

【题文】如图，在桌面上，用6个边长为l的正三角形可以拼成一个边长为1的正六边形．如果在桌面上要拼出一个边长为6的正六边形，那么，需要边长为1的正三角形多少个？

【答案】216

【解析】如图AB＝6，组成△AOB需要边长为1的正三角形共：

1+3+5+7+9+11＝36个，而拼成边长为6的正六边形需要6个△AOB，因此总共需要边长为1的正三角形36×

6＝216个．

【题文】如图，其中的每条线段都是水平的或竖直的，边界上各条线段的长度依次为5厘米、7厘米、9厘米、2厘米和4厘米、6厘米、5厘米、1厘米．求图中长方形的个数，以及所有长方形面积的和．

【答案】100，10664

【解析】确定好长方形的长和宽，长方形就唯一确定，而图中只需确定好横向线段，竖向线段，即可．

于是横向线段有（1+2+3+4）＝10种选法，竖向线段也有（1+2+3+4）＝10种选法，则共有10×

10＝100个长方形．

这些长方形的面积和为：

（5+7+9+2+12+16+11+21+18+23）×

（4+6+5+1+10+11+6+15+12+16）＝124×

86＝10664（平方厘米）．

【题文】如图，18个边长相等的正方形组成了一个3×

6的方格表，其中包含“*”的长方形及正方形共有多少个?

【答案】36

【解析】我们把所求的长、正方形按占有的行数分为三类，每类的长、正方形的个数相等．

其中只占有下面一行的有如下12种情况：

于是共有12×

3＝36个正、长方形包含“*”．

【题文】图是由若干个相同的小正方形组成的．那么，其中共有各种大小的正方形多少个?

【答案】130

【解析】每个4×

4正方形中有：

边长为1的正方形4×

4个；

边长为2的正方形3×

3个；

边长为3的正方形2×

2个，边长为4的正方形1×

1个．

总共有4×

4+3×

3+2×

2+1×

1＝30个正方形．

现在5个4×

4的正方形，它们重叠部分是4个2×

2的正方形．因此，图中正方形的个数是30×

5－5×

4＝130．

【题文】图中共有多少个三角形?

【答案】22

【解析】边长为1的正三角形，有16个．边长为2的正三角形，尖向上的有3个，尖向下的也有3个．因此共有16+3+3＝22个．

【题文】图是由18个大小相同的小正三角形拼成的四边形，其中某些相邻的小正三角形可以拼成较大的正三角形．那么，图中包含“*”的各种大小的正三角形一共有多少个?

【答案】6

【解析】设小正三角形的边长为1，分三类计算计数包含*的三角形中，

边长为1的正三角形有1个；

边长为2的正三角形有4个，边长为3的正三角形有1个；

因此，图中包含“*”的所有大、小正三角形一共有1+4+1＝6个．

【题文】如图，AB，CD，EF，MN互相平行，则图中梯形个数与三角形个数的差是多少?

【答案】20

【解析】图中共有三角形（1+2+3+4）×

4＝40个，梯形（1+2+3+4）×

（1+2+4）＝60个，梯形比三角形多60－40＝20个．

【题文】在图中，共有多少个不同的三角形?

【答案】85

【解析】下图中共有35个三角形，两个叠加成题中图形时，又多出5+5×

2＝15个三角形，共计35×

2+15＝85个三角形．

【题文】如图，一块木板上有13枚钉子．用橡皮筋套住其中的几枚钉子，可以构成三角形、正方形、梯形等等，如图．那么，一共可以构成多少个不同的正方形?

【答案】11

【解析】按正方形的面积分类，设最小的正方形面积为1，

面积为1的正方形有5个，如图a所示；

面积为2的正方形有4个，如图b所示；

面积为4的正方形有1个，如图c所示；

还有1个面积比4大的正方形，如图d所示；

于是，一共可以构成5+4+1+1＝11个不同的正方形．

【题文】如图，用9枚钉子钉成水平和竖直间隔都为1厘米的正方阵．用一根橡皮筋将3枚不共线的钉子连结起来就形成一个三角形．在这样得到的三角形中，面积等于1平方厘米的三角形共有多少个?

【答案】32

【解析】我们分三种情况来找面积为1平方厘米的三角形，这些三角形的底与高分别为1厘米或2厘米，利用正方形的对称性：

（1）等腰直角三角形，如下图a所示有△AOC，△COE，△EOG，△GOA，△BOH，△DFB，△FHD，△HBF，共计8个，其中以AC，CF，FG，GA为底的各一个，以BF，DH为底的各两个．

（2）直角三角形，如图b所示有△ACH，△CHD，△ACD，△DHA，△BEF，△BCE，△CEF，△CFB，△DEG，△DGH，△EGH，△EHD，△GAB，△GBF，△FAB，△FGA，共计16个，其中以AD、CH、BE、CF、DG、EH、FA、GB为斜边的各两个．

（3）钝角三角形，如图c所示有△ABE，△AHE，△ADE，△AFE，△CBG，△CFG，△CDG，△CHG共计8个，其中以AE、CG为边的各四个．

于是，综上所述，共有面积为1平方厘米的三角形32个．

【题文】如图，木板上钉着12枚钉子，排成三行四列的长方阵．那么用橡皮筋共可套出多少个不同的三角形?

【答案】200

【解析】我们先任意选取三个点，那么第1个点有12个位置可以选择，第2个点有11个位置可以选择，第3个点有10个位置可以选择，但是每6种选法对应的都是同一个图形，如下图，ABC，ACB，BAC，BCA，CAB，CBA均是同一个图形．

所以有12×

11×

10÷

6＝220种选法，但是如果这3点在同一条直线上就无法构成三角形，其中每行有4种情况，共3×

4；

每列有1种情况，共1×

2个边长为2的正方形的4条对角线，共4种情况．

所以，可以套出220－3×

4－1×

4－4＝200个不同的三角形．

【题文】如图，正方形ACEG的边界上有A，B，C，D，E，F，G这7个点，其中B，D，F分别在边AC，CE，EG上．以这7个点中的4个点为顶点组成的不同四边形的个数等于多少?

【答案】12

【解析】如果暂时不考虑点之间的排列位置关系，从7个点中任取4个点，则第一个点有7个位置可选，第二个点有6个位置可选，第三个点有5个位置可选，第四个点有4个位置可选，而不考虑先后，那么有4×

3×

2×

1＝24种选法的实质是一样的，所有可能的组合数目应该是（7×

6×

5×

4）÷

24＝35．我们只要从中减去不能构成四边形的情形．

对图19-16而言，任取4个点而又不构成四边形的情形只能发生在所取的4个点中有3个来自正方形ACEG的一条边，而另一个则任意选取的时候，例如选定A、B、C3点，第4个点无论如何选取都不能构成四边形．

正方形的4条边中有3条都存在这样的情况．而每次这种情况发生时，第4个顶点的选取有4种可能．

所取的顶点只有4个，因此不可能出现同时选择了2条有3点共线的边的情况．

那么需要排除的情况有4×

3＝12种．

所以，满足题意的四边形个数有35－12＝23个．

【题文】数一数下列图形中各有多少条线段.

【答案】15

【解析】要想使数出的每一个图形中线段的总条数，不重复、不遗漏，就需要按照一定的顺序、按照一定的规律去观察、去数.这样才不至于杂乱无章、毫无头绪.我们可以按照两种顺序或两种规律去数.

第一种：

按照线段的端点顺序去数，如上图

（1）中，线段最左边的端点是A，即以A为左端点的线段有AB、AC两条以B为左端点的线段有BC一条，所以上图

（1）中共有线段2＋1＝3条.同样按照从左至右的顺序观察图

（2）中，以A为左端点的线段有AB、AC、AD三条，以B为左端点的线段有BC、BD两条，以C为左端点的线段有CD一条.所以上页图

（2）中共有线段为3＋2＋1＝6条.

第二种：

按照基本线段多少的顺序去数.所谓基本线段是指一条大线段中若有n个分点，则这条大线段就被这n个分点分成n＋1条小线段，这每条小线段称为基本线段.如上页图

（2）中，线段AD上有两个分点B、C，这时分点B、C把AD分成AB、BC、CD三条基本线段，那么线段AD总共有多少条线段？

首先有三条基本线段，其次是包含有二条基本线段的是：

AC、BD二条，然后是包含有三条基本线段的是AD这样一条.所以线段AD上总共有线段3＋2＋1＝6条，又如上页图（3）中线段AE上有三个分点B、C、D，这样分点B、C、D把线段AE分为AB、BC、CD、DE四条基本线段，那么线段AE上总共有多少条线段？

按照基本线段多少的顺序是：

首先有4条基本线段，其次是包含有二条基本线段的有3条，然后是包含有三条基本线段的有2条，最后是包含有4条基本线段的有一条，所以线段AE上总共有线段是4＋3＋2＋1＝10条.

解：

①2＋1＝3（条）.

②3＋2＋1＝6（条）.

③4＋3＋2＋1＝10（条）.

小结：

上述三例说明：

要想不重复、不遗漏地数出所有线段，必须按照一定顺序有规律的去数，这个规律就是：

线段的总条数等于从1开始的连续几个自然数的和，这个连续自然数的和的最大的加数是线段分点数加1或者是线段所有点数（包括线段的两个端点）减1.也就是基本线段的条数.例如右图中线段AF上所有点数（包括两个端点A、F）共有6个，所以从1开始的连续自然数的和中最大的加数是6—1＝5，或者线段AF上的分点有4个（B、C、D、E）.所以从1开始的连续自然数的和中最大的加数是4＋1＝5.也就是线段AF上基本线段（AB、BC、CD、DE、EF）的条数是5.所以线段AF上总共有线段的条数是5＋4＋3＋2＋1＝15（条）.

【题文】数出下图中总共有多少个角.

【答案】10

【解析】在∠AOB内有三条角分线OC1、OC2、OC3，∠AOB被这三条角分线分成4个基本角，那么∠AOB内总共有多少个角呢？

首先有这4个基本角，其次是包含有2个基本角组成的角有3个（即∠AOC2、∠C1OC3、∠C2OB），然后是包含有3个基本角组成的角有2个（即∠AOC3、∠C1OB），最后是包含有4个基本角组成的角有1个（即∠AOB），所以∠AOB内总共有角：

4＋3＋2＋1＝10（个）.

数角的方法可以采用例1数线段的方法来数，就是角的总数等于从1开始的几个连续自然数的和，这个和里面的最大的加数是角分线的条数加1，也就是基本角的个数.

【题文】数一数下图中总共有多少个角？

【答案】55

【解析】因为∠AOB内角分线OC1、OC2…OC9共有9条，即9+1=10个基本角.

所以总共有角：

10+9+8+…+4+3+2+1=55（个）.

【题文】如下图中，各个图形内各有多少个三角形？

【答案】

（1）6

（2）10

【解析】可以采用类似

例1数线段的两种方法来数，如图

（2）：

第一种方法：

先数以AB为一条边的三角形共有：

△ABD、△ABE、△ABF、△ABC四个三角形.

再数以AD为一条边的三角形共有：

△ADE、△ADF、△ADC三个三角形.

以AE为一条边的三角形共有：

△AEF、△AEC二个三角形.

最后以AF为一条边的三角形共有△AFC一个三角形.

所以三角形的个数总共有4+3+2+1=10.

第二种方法：

先数图中小三角形共有：

△ABD、△ADE、△AEF、△AFC四个三角形.

再数由两个小三角形组合在一起的三角形共有：

△ABE、△ADF、△AEC三个三角形，

以三个小三角形组合在一起的三角形共有：

△ABF、△ADC二个三角形，

最后数以四个小三角形组合在一起的只有△ABC一个.

所以图中三角形的个数总共有：

4+3+2+1=10（个）.

①3+2+1=6（个）

②4+3+2+1=10（个）.

答：

图

（1）及图

（2）中各有三角形分别是6个和10个.

计算三角形的总数也等于从1开始的几个连续自然数的和，其中最大的加数就是三角形一边上的分点数加1，也就是三角形这边上分成的基本线段的条数.

【题文】如下图中，数一数共有多少条线段？

共有多少个三角形？

【答案】60,30

【解析】分析在数的过程中应充分利用上几例总结的规律，明确数什么？

怎么数？

这样两个问题.数：

就是要数出图中基本线段（基本三角形）的条数，算：

就是以基本线段（基本三角形）条数为最大加数的从1开始的连续几个自然数的和.

①要数多少条线段：

先看线段AB、AD、AE、AF、AC、上各有2个分点，各分成3条基本线段，再看BC、MN、GH这3条线段上各有3个分点，各分成4条基本线段.所以图中总共有线段是：

（3+2+1）×

5+（4+3+2+1）×

3=30+30=60（条）.

②要数有多少个三角形，先看在△AGH中，在GH上有3个分点，分成基本小三角形有4个.所以在△AGH中共有三角形4+3+2+1=10（个）.在△AMN与△ABC中，三角形有同样的个数，所以在△ABC中三角形个数总共：

（4+3+2+1）×

3=10×

3=30（个）.

①在△ABC中共有线段是：

3=30+30=60（条）

②在△ABC中共有三角形是：

【题文】如右图中，共有多少个角？

【答案】13

【解析】分析本题虽然与上几例有区别，但仍可以采用上几例所总结的规律去解决.

∠1、∠2、∠3、∠4我们可视为4个基本角，由2个基本角组成的有：

∠1与∠2、∠2与∠3、∠3与∠4、∠4与∠1，共4个角.由3个基本角组成的角有：

∠1、∠2与∠3；

∠2、∠3与∠4；

∠3、∠4与∠1；

∠4、∠1与∠2，共4个角，由4个基本角组成的角只有一个.

所以图中总共有角是：

4×

3+1=13（个）.

所以图中共有角是：

由本题可以推出一般情况：

若周角中含有n个基本角，那么它上面角的总数是n（n-1）+1.

【题文】在图中（单位：

厘米）：

①一共有几个长方形?

②所有这些长方形面积的和是多少?

【答案】100,12384

【解析】①一共有

（个）长方形；

②所求的和是

（平方厘米）。

【题文】由20个边长为1的小正方形拼成一个

长方形中有一格有“☆”图中含有“☆”的所有长方形（含正方形）共有 

个，它们的面积总和是 

。

☆

【答案】48,360

【解析】含☆的一行内所有可能的长方形有：

（八种）

含☆的一列内所有可能的长方形有：

（六种）

所以总共长方形有

个，面积总和为

。

【题文】图中共有多少个三角形？

【答案】118

【解析】显然三角形可分为尖向上与尖向下两大类，两类中三角形的个数相等．尖向上的三角形又可分为6类

（1）最大的三角形1个（即△ABC），

（2）第二大的三角形有3个

（3）第三大的三角形有6个

（4）第四大的三角形有10个

（5）第五大的三角形有15个

（6）最小的三角形有24个

所以尖向上的三角形共有1+3+6+10+15+24=59（个）

图中共有三角形2×

59=118（个）。

【题文】一个圆上有12个点A1，A2，A3，…，A11，A12．以它们为顶点连三角形，使每个点恰好是一个三角形的顶点，且各个三角形的边都不相交．问共有多少种不同的连法?

【解析】我们采用递推的方法．

I如果圆上只有3个点，那么只有一种连法．

Ⅱ如果圆上有6个点，除A1点所在三角形的三顶点外，剩下的三个

点一定只能在A1所在三角形的一条边所对应的圆弧上，表1给出这时有可能的连法。

Ⅲ如果圆上有9个点，考虑A1所在的三角形．此时，其余的6个点可能分布在：

①A1所在三角形的一个边所对的弧上；

②也可能三个点在一个边所对应的弧上，另三个点在另一边所对的弧上．

在表2中用“+”号表示它们分布在不同的边所对的弧．

如果是情形①，则由Ⅱ，这六个点有三种连法；

如果是情形②，则由①，每三个点都只能有一种连法.

共有12种连法．

Ⅳ最后考虑圆周上有12个点．同样考虑A1所在三角形，剩下9个点的分布有三种可能：

①9个点都在同一段弧上：

②有6个点是在一段弧上，另三点在另一段弧上；

③每三个点在A1所在三角形的一条边对应的弧上．得到表3．

共有12×

3+3×

6+1＝55种．

所以当圆周上有12个点时，满足题意的连法有55种。