第3节 全称量词与存在量词逻辑联结词且或非Word下载.docx
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（2）错误.p且q是真命题，则p，q都是真命题.
（3）错误.命题“长方形的对角线相等”是全称命题.
答案
（1）×
（2）×
（3）×
（4）√
2.（老教材选修2－1P19习题1－4T2（4）改编）已知p：
2是偶数，q：
2是质数，则命题綈p，綈q，p或q，p且q中真命题的个数为（ ）
A.1B.2C.3D.4
解析 p和q显然都是真命题，所以綈p，綈q都是假命题，p或q，p且q都是真命题.
答案 B
3.（新教材必修第一册P23A3改编）命题“表面积相等的三棱锥体积也相等”的否定是________________________.
答案 有些表面积相等的三棱锥体积不相等
4.（2020·
渭南调研）已知命题p：
存在x0∈R，x
＋4x0＋6<
0，则綈p为（ ）
A.任意x∈R，x2＋4x＋6≥0B.存在x∈R，x2＋4x＋6>
C.任意x∈R，x2＋4x＋6>
0D.存在x∈R，x2＋4x＋6≥0
解析 依据特称命题的否定是全称命题，由此知答案A是正确的.
答案 A
5.（2020·
唐山模拟）已知命题p：
f（x）＝x3－ax的图像关于原点对称；
命题q：
g（x）＝xcosx的图像关于y轴对称.则下列命题为真命题的是（ ）
A.綈pB.q
C.p且qD.p且（綈q）
解析 根据题意，对于f（x）＝x3－ax，有f（－x）＝（－x）3－a（－x）＝－（x3－ax）＝
－f（x），为奇函数，其图像关于原点对称，p为真命题；
对于g（x）＝xcosx，有
g（－x）＝（－x）cos（－x）＝－xcosx，为奇函数，其图像关于原点对称，q为假命题，则綈p为假命题，q为假命题，p且q为假命题，p且（綈q）为真命题.
答案 D
6.（2019·
豫南五校联考）若“任意x∈
，m≤tanx＋2”为真命题，则实数m的最大值为________.
解析 由x∈
，∴1≤tanx＋2≤2＋
.
∵“任意x∈
，m≤tanx＋2”为真命题，则m≤1.
∴实数m的最大值为1.
答案 1
考点一 含有逻辑联结词的命题的真假判断
【例1】
（1）设a，b，c是非零向量.已知命题p:
若a·
b＝0，b·
c＝0，则a·
c＝0；
若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中真命题是（ ）
A.p或qB.p且q
C.（綈p）且（綈q）D.p且（綈q）
（2）（2020·
济南调研）已知命题p：
若a>
|b|，则a2>
b2；
m，n是直线，α为平面，若m∥α，n⊂α，则m∥n.下列命题为真命题的是（ ）
A.p且qB.p且（綈q）
C.（綈p）且qD.（綈p）且（綈q）
解析
（1）取a＝c＝（1，0），b＝（0，1），显然a·
c＝0，但a·
c＝1≠0，∴p是假命题.
又a，b，c是非零向量，
由a∥b知a＝xb（x∈R），由b∥c知b＝yc（y∈R），
∴a＝xyc，∴a∥c，∴q是真命题.
综上知p或q是真命题，p且q是假命题.
綈p为真命题，綈q为假命题.
∴（綈p）且（綈q），p且（綈q）都是假命题.
（2）对于命题p，由a>
|b|两边平方，可得到a2>
b2，故命题p为真命题.对于命题q，直线m∥α，但是m，n有可能是异面直线，故命题q为假命题，綈q为真命题.所以p且（綈q）为真命题.
答案
（1）A
（2）B
规律方法 1.“p或q”、“p且q”、“綈p”形式命题真假的判断关键是对逻辑联结词“或”“且”“非”含义的理解，其操作步骤是：
（1）明确其构成形式；
（2）判断其中命题p，q的真假；
（3）确定“p或q”“p且q”“綈p”形式命题的真假.
2.p且q形式是“一假必假，全真才真”，p或q形式是“一真必真，全假才假”，綈p则是“与p的真假相反”.
【训练1】
（1）若命题“p或q”与命题“綈p”都是真命题，则（ ）
A.命题p与命题q都是真命题
B.命题p与命题q都是假命题
C.命题p是真命题，命题q是假命题
D.命题p是假命题，命题q是真命题
衡水中学检测）命题p：
若向量a·
b<
0，则a与b的夹角为钝角；
若cosα·
cosβ＝1，则sin（α＋β）＝0.下列命题为真命题的是（ ）
A.pB.綈qC.p且qD.p或q
解析
（1）因为綈p为真命题，所以p为假命题，又p或q为真命题，所以q为真命题.
（2）当a，b方向相反时，a·
0，但夹角是180°
，不是钝角，命题p是假命题；
若cosαcosβ＝1，则cosα＝cosβ＝1或cosα＝cosβ＝－1，
所以sinα＝sinβ＝0，从而sin（α＋β）＝0，命题q是真命题，
所以p或q是真命题.
答案
（1）D
（2）D
考点二 全称量词与存在量词
多维探究
角度1 含有量词命题的否定
【例2－1】（2020·
河南八所重点高中联考）已知集合A是奇函数集，B是偶函数集.若命题p：
任意f（x）∈A，|f（x）|∈B，则綈p为（ ）
A.任意f（x）∈A，|f（x）|∉BB.任意f（x）∉A，|f（x）|∉B
C.存在f（x）∈A，|f（x）|∉BD.存在f（x）∉A，|f（x）|∉B
解析 全称命题的否定为特称命题：
改写量词，否定结论.
∴綈p：
存在f（x）∈A，|f（x）|∉B.
答案 C
角度2 全称（特称）命题的真假判断
【例2－2】
（1）已知定义域为R的函数f（x）不是偶函数，则下列命题一定为真命题的是（ ）
A.任意x∈R，f（－x）≠f（x）
B.任意x∈R，f（－x）≠－f（x）
C.存在x0∈R，f（－x0）≠f（x0）
D.存在x0∈R，f（－x0）≠－f（x0）
九江检测）已知命题p：
任意x∈N+，
≥
，命题q：
存在x∈R，2x＋21－x＝2
，则下列命题中是真命题的是（ ）
A.p且qB.（綈p）且q
C.p且（綈q）D.（綈p）且（綈q）
解析
（1）∵定义域为R的函数f（x）不是偶函数，∴任意x∈R，f（－x）＝f（x）为假命题，∴存在x0∈R，f（－x0）≠f（x0）为真命题.
（2）因为y＝xn（n∈N+）在（0，＋∞）上递增.
∴任意x∈N+，
成立，p为真命题.
又2x＋21－x≥2
＝2
，
当且仅当2x＝21－x，即x＝
时，上式取等号，
则q为真命题.因此p且q为真命题.
答案
（1）C
（2）A
规律方法 1.全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；
二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论.
2.判定全称命题“任意x∈M，p（x）”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p（x）成立；
要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内找到一个x＝x0，使p（x0）成立即可.
【训练2】
（1）（角度1）命题“存在x0∈R，1<
f（x0）≤2”的否定形式是（ ）
A.任意x∈R，1<
f（x）≤2
B.存在x0∈R，1<
f（x0）≤2
C.存在x0∈R，f（x0）≤1或f（x0）>
2
D.任意x∈R，f（x）≤1或f（x）>
（2）（角度2）（2020·
合肥模拟）已知命题p：
任意x>
0，ex>
x＋1，命题q：
存在x∈（0，＋∞），lnx≥x，则下列命题正确的是（ ）
解析
（1）特称命题的否定是全称命题，原命题的否定形式为“任意x∈R，f（x）≤1或f（x）>
2”.
（2）令f（x）＝ex－x－1，则f′（x）＝ex－1，当x>
0时，
f′（x）>
0，所以f（x）在（0，＋∞）上单调递增，
∴f（x）>
f（0）＝0，即ex>
x＋1，命题p真；
令g（x）＝lnx－x，x>
0，则g′（x）＝
－1＝
当x∈（0，1）时，g′（x）>
0；
当x∈（1，＋∞）时，g′（x）<
0，
即当x＝1时，g（x）取得极大值，也是最大值，
所以g（x）max＝g
（1）＝－1<
∴g（x）<
0在（0，＋∞）上恒成立，则命题q假，
因此綈q为真，故p且（綈q）为真.
答案
（1）D
（2）C
考点三 由命题的真假求参数
典例迁移
【例3】
（1）已知命题p：
“任意x∈[0，1]，a≥ex”；
“存在x0∈R，使得x
＋4x0＋a＝0”.若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围为________________.
（2）（经典母题）已知f（x）＝ln（x2＋1），g（x）＝
－m，若对任意x1∈[0，3]，存在x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2），则实数m的取值范围是________________.
解析
（1）若命题“p且q”是真命题，那么命题p，q都是真命题.由任意x∈[0，1]，a≥ex，得a≥e；
由存在x0∈R，使x
＋4x0＋a＝0，得Δ＝16－4a≥0，则a≤4，因此e≤a≤4.则实数a的取值范围为[e，4].
（2）当x∈[0，3]时，f（x）min＝f（0）＝0，
当x∈[1，2]时，g（x）min＝g
（2）＝
－m，
由f（x）min≥g（x）min，
得0≥
－m，所以m≥
答案
（1）[e，4]
（2）
【迁移】本例
（2）中，若将“存在x2∈[1，2]”改为“任意x2∈[1，2]”，其他条件不变，则实数m的取值范围是______________________________________.
解析 当x∈[1，2]时，g（x）max＝g
（1）＝
对任意x1∈[0，3]，任意x2∈[1，2]使得f（x1）≥g（x2）等价于f（x）min≥g（x）max，得0≥
－m，∴m≥
答案
规律方法 1.由含逻辑联结词的命题真假求参数的方法步骤：
（1）求出每个命题是真命题时参数的取值范围；
（2）根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围.
2.全称命题可转化为恒成立问题.
3.含量词的命题中参数的取值范围，可根据命题的含义，利用函数的最值解决.
【训练3】已知命题p：
任意x∈R，2x<
3x，命题q：
存在x∈R，x2＝2－x，若命题（綈p）且q为真命题，则x的值为（ ）
A.1B.－1C.2D.－2
解析 因为綈p：
存在x∈R，2x≥3x，要使（綈p）且q为真，所以綈p与q同时为真.
由2x≥3x，得
≥1，所以x≤0.①
由x2＝2－x，得x＝1或x＝－2.②
由①②知x＝－2.
逻辑推理——突破双变量“存在性或任意性”问题
逻辑推理的关键要素是：
逻辑的起点、推理的形式、结论的表达.解决双变量“存在性或任意性”问题关键就是将含有全称量词和存在量词的条件“等价转化”为两个函数值域之间的关系（或两个函数最值之间的关系），目的在于培养学生的逻辑推理素养和良好的数学思维品质.
类型1 形如“对任意x1∈A，都存在x2∈B，使得g（x2）＝f（x1）成立”的问题
【例1】已知函数f（x）＝x3＋（1－a）x2－a（a＋2）x，g（x）＝
x－
，若对任意x1∈
[－1，1]，总存在x2∈[0，2]，使得f′（x1）＋2ax1＝g（x2）成立，求实数a的取值范围.
解 由题意知，g（x）在[0，2]上的值域为
令h（x）＝f′（x）＋2ax＝3x2＋2x－a（a＋2），
则h′（x）＝6x＋2，由h′（x）＝0得x＝－
当x∈
时，h′（x）<
时，h′（x）>
0，所以[h（x）]min＝h
＝－a2－2a－
又由题意可知，h（x）的值域是
的子集，
所以
解得实数a的取值范围是[－2，0].
思维升华 理解全称量词与存在量词的含义是求解本题的关键，此类问题求解的策略是“等价转化”，即“函数f（x）的值域是g（x）的值域的子集”，从而利用包含关系构建关于a的不等式组，求得参数的取值范围.
类型2 形如“存在x1∈A及x2∈B，使得f（x1）＝g（x2）成立”的问题
【例2】已知函数f（x）＝
函数g（x）＝ksin
－2k＋2（k>
0），若存在x1∈[0，1]及x2∈[0，1]，使得f（x1）＝g（x2）成立，求实数k的取值范围.
解 由题意，易得函数f（x）的值域为[0，1]，g（x）的值域为
，并且两个值域有公共部分.
先求没有公共部分的情况，即2－2k>
1或2－
k<
0，解得k<
或k>
，所以，要使两个值域有公共部分，k的取值范围是
思维升华 本类问题的实质是“两函数f（x）与g（x）的值域的交集不为空集”，上述解法的关键是利用了补集思想.另外，若把此种类型中的两个“存在”均改为“任意”，则“等价转化”策略是利用“f（x）的值域和g（x）的值域相等”来求解参数的取值范围.
类型3 形如“对任意x1∈A，都存在x2∈B，使得f（x1）<
g（x2）成立”的问题
【例3】已知函数f（x）＝x＋
，g（x）＝2x＋a，若任意x1∈
，存在x2∈[2，3]，使得f（x1）≤g（x2），则实数a的取值范围是________.
解析 依题意知f（x）max≤g（x）max.
∵f（x）＝x＋
在
上是减函数，
∴f（x）max＝f
＝
又g（x）＝2x＋a在[2，3]上是增函数，∴g（x）max＝8＋a，
因此
≤8＋a，则a≥
思维升华 理解量词的含义，将原不等式转化为[f（x）]max≤[g（x）]max；
利用函数的单调性，求f（x）与g（x）的最大值，得关于a的不等式，求得a的取值范围.
思考1：
在[例3]中，若把“存在x2∈[2，3]”变为“任意x2∈[2，3]”时，其它条件不变，则a的取值范围是________.
问题“等价转化”为[f（x）]max≤[g（x）]min，请读者完成.
思考2：
在[例3]中，若将“任意x1∈
”改为“存在x1∈
”，其它条件不变，则a的取值范围是______.
问题“等价转化”为f（x）min≤g（x）max，请读者自行求解.
A级 基础巩固
一、选择题
1.（2020·
咸阳调研）命题p：
“任意x>
1，x2－1>
0”，则綈p为（ ）
A.任意x>
1，x2－1≤0B.任意x≤1，x2－1≤0
C.存在x0>
1，x
－1≤0D.存在x0≤1，x
－1≤0
解析 命题p：
0”，则綈p为：
存在x0>
－1≤0.
2.第32届夏季奥林匹克运动会将于2020年7月24日在日本东京隆重开幕.在体操预赛中，有甲、乙两位队员参加.设命题p是“甲落地站稳”，q是“乙落地站稳”，则命题“至少有一位队员落地没有站稳”可表示为（ ）
A.（綈p）或（綈q）B.p或（綈q）
C.（綈p）且（綈q）D.p或q
解析 命题“至少有一位队员落地没有站稳”包含以下三种情况：
“甲、乙落地均没有站稳”、“甲落地没站稳，乙落地站稳”、“乙落地没有站稳，甲落地站稳”，故可表示为（綈p）或（綈q）.或者，命题“至少有一位队员落地没有站稳”等价于命题“甲、乙均落地站稳”的否定，即“p且q”的否定，选A.
3.命题“任意n∈N+，f（n）∈N*且f（n）≤n”的否定形式是（ ）
A.任意n∈N+，f（n）∉N+且f（n）＞n
B.任意n∈N+，f（n）∉N+或f（n）＞n
C.存在n0∈N+，f（n0）∉N+且f（n0）＞n0
D.存在n0∈N+，f（n0）∉N+或f（n0）＞n0
解析 ∵全称命题的否定为特称命题，
∴该命题的否定是：
存在n0∈N+，f（n0）∉N+或f（n0）>
n0.
4.已知命题p：
存在x∈R，x2－x＋1≥0；
若a2<
b2，则a<
b.下列命题为真命题的是（ ）
A.p且qB.p且綈q
C.綈p且qD.綈p且綈q
解析 因为x2－x＋1＝
＋
>
0恒成立，所以p为真命题，则綈p为假命题；
当a＝1，b＝－2时，满足a2<
b2，但不满足a<
b，所以q为假命题，则綈q为真命题，根据且命题同真则真的原则，p且綈q为真命题.
河南六校联考）已知命题p：
对任意x∈R，总有2x>
x2，q：
“ab>
4”是“a>
2，b>
2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（ ）
解析 当x＝2时，2x＝x2，所以p是假命题；
由a>
2可以推出ab>
4；
反之不成立，例如a＝2，b＝4，所以“ab>
2”的必要不充分条件，故q是假命题；
所以（綈p）且（綈q）是真命题.
6.已知命题“存在x∈R，4x2＋（a－2）x＋
≤0”是假命题，则实数a的取值范围为（ ）
A.（－∞，0）B.[0，4]
C.[4，＋∞）D.（0，4）
解析 因为命题“存在x∈R，4x2＋（a－2）x＋
≤0”是假命题，所以其否定命题“任意x∈R，4x2＋（a－2）x＋
0”是真命题.
则Δ＝（a－2）2－4×
4×
＝a2－4a<
0，解得0<
a<
4.
7.命题p：
函数y＝log2（x－2）的单调递增区间是[1，＋∞），命题q：
函数y＝
的值域为（0，1）.下列命题是真命题的为（ ）
A.p且qB.p或qC.p且（綈q）D.綈q
解析 由于y＝log2（x－2）的单调递增区间是（2，＋∞），
所以命题p是假命题.
由3x>
0，得3x＋1>
1，所以0<
<
1，
所以函数y＝
的值域为（0，1），故命题q为真命题.
所以p且q为假命题，p或q为真命题，p且（綈q）为假命题，綈q为假命题.
8.已知函数f（x）＝a2x－2a＋1.若命题“任意x∈（0，1），f（x）≠0”是假命题，则实数a的取值范围是（ ）
A.
B.（1，＋∞）
C.
D.
∪（1，＋∞）
解析 ∵函数f（x）＝a2x－2a＋1，
命题“任意x∈（0，1），f（x）≠0”是假命题，
∴原命题的否定：
“存在x0∈（0，1），使f（x0）＝0”是真命题，
∴f
（1）f（0）<
0，即（a2－2a＋1）（－2a＋1）<
∴（a－1）2（2a－1）>
0，解得a>
，且a≠1，
∴实数a的取值范围是
∪（1，＋∞）.
二、填空题
9.若“任意x∈
，tanx≤m”是真命题，则实数m的最小值为________.
解析 ∵函数y＝tanx在
上是增函数，∴ymax＝tan
＝1，依题意，m≥ymax，即m≥1.∴m的最小值为1.
10.命题p的否定是“对所有正数x，
x＋1”，则命题p可写为________________________________.
解析 因为p是綈p的否定，所以只需将全称量词变为存在量词，再对结论否定即可.
答案 存在x0∈（0，＋∞），
≤x0＋1
11.（2020·
湖南百校大联考改编）下列四个命题：
p1：
任意x∈R，2x>
p2：
存在x∈R，x2＋x＋1≤0；
p3：
任意x∈R，sinx<
2x；
p4：
存在x∈R，cosx>
x2＋x＋1.其中是真命题的为________.
解析 任意x∈R，2x>
0恒成立，p1是真命题.
又x2＋x＋1＝
0，∴p2是假命题.
由sin
＝1>
2－
π，知p3是假命题.
取x＝－
时，cos
cos
但x2＋x＋1＝
，则p4为真.
综上，p1，p4为真命题，p2，p3是假命题.
答案 p1，p4
12.已知命题p：
存在x0∈R，（m＋1）（x
＋1）≤0，命题q：
任意x∈R，x2＋mx＋1>
0恒成立.若p且q为假命题，则实数m的取值范围为________.
解析 由命题p：
＋1）≤0可得m≤－1；
由命题q：
0恒成立，即Δ＝m2－4<
0，可得－2<
m<
2，
若p且q为真命题，则－2<
m≤－1，
因为p且q为假命题，所以m≤－2或m>
－1.
答案 （－∞，－2]∪（－1，＋∞）
B级 能力提升
13.命题“任意x∈R，存在n∈N+，使得n≥x2”的否定形式是（ ）
A.任意x∈R，存在n∈N+，使得n<
x2
B.任意x∈R，任意n∈N+，使得n<
C.存在x∈R，存在n∈N+，使得n<
D.存在x0∈R，任意n∈N+，使得n<
x
解析 改变量词，否定结论.
∴该命题的否定应为：
存在x0∈R，任意n∈N+，使得n<
14.（2020·
南昌质检）下列有关命题的说法正确的是（ ）
A.命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”
B.命题p：
存在x0∈R，sinx0＝
；
任意x∈R，x>
sinx，则命题p或q为真
C.命题“存在x0∈R，x
＋x0＋1<
0”的否定是“任意x∈R，x2＋x＋1<
0”
D.命题“若x＝y，则sinx＝siny”的逆否命题是真命题
解析 选项A，命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1”，∴A选项错误.
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