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高三数学论文3800字

（一）：

高三数学概念复习教学的实践思考论文

［摘要］弱化概念教学的现象在高三数学复习教学中普遍存在，这对于高三数学复习的有效性会产生巨大的负面影响，教师应从回归知识本源、反思学习过程、立足通性通法、渗透数学思想方法等多方面进行数学概念的复习教学，引导学生充分感受数学的内涵并因此帮助学生树立一种精神，养成一种气质，深植一份思想内涵.

［关键词］复习教学；概念教学；知识本源；反思；通性通法；数学思想方法

从解题教学层面谈高三复习教学有效性的观点颇多，笔者结合自己的教学与体会主要从概念课的复习进行思考.数学概念这一揭示现实世界空间关系与数量关系的思维形式实际上就是客观事物中数与形的本质属性的反映.与此同时，这一数学学科的灵魂与精髓也是导出数学定理与法则的逻辑基础.

不能围绕数学概念核心进行的教学往往会使学生盲目进行大量的解题操练，导致教学缺乏必要根基的同时也令广大学生的数学基础相对薄弱.事实上，高三数学复习教学也因为“题海战术”的影响而存在弱化概念教学的现象，主要表现为：

1.存在让学生自主复习概念的教学行为.这是受“先学后教”这一教学策略影响而形成的.比如，有的教师在直线的方程这一内容的教学中往往会设计以下表格并请学生自主填写（表1）.

2.存在定义、性质、公式直接告知或共同回忆的行为.比如，有的教师在复习“解斜三角形”这一内容中往往会先要求学生回忆三角形内角和、面积公式、正弦定理、余弦定理等概念或公式，然后进行针对性的反复练习，对于定理的证明却往往视而不见.

表1

pagenumber_ebook=63，pagenumber_book=61

3.存在就题论题的教学行为.有的教师因为集体备课、统一习题的原因往往会在例题讲评时形成就题论题的教学行为，例题背后隐藏的概念却往往得不到应有的挖掘.很多教师在试卷讲评课上顺着题目序号一一讲解的现象比比皆是，对于为何如此解题往往置之不理，知识拓展与提升严重缺乏的同时也令学习的效益大大降低.

4.存在不揭示概念实质的教学行为.有的教师虽然在教学中能够关注数学思想方法的渗透，但对其实质却往往不能进行很好的揭示.

例：

过点P（1，2）作直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，则pagenumber_ebook=63，pagenumber_book=61pagenumber_ebook=63，pagenumber_book=61的最小值是多少？

此时直线l的方程如何？

此题的解法多样：

（1）设斜率，求得交点之后再运用基本不等式进行解题；

（2）设斜率，求得交点之后再运用构造平行向量工具进行解题；（3）设∠BAO＝α并借助三角函数的有界性进行解题.解法众多，但很多教师对于此题为何能进行“一题多解”却往往不做解释.再比如，求pagenumber_ebook=64，pagenumber_book=62的最值一题，很多教师对于此题为何能运用“数形结合”方法解题往往也不做解释.

这些现象的产生基本都是因为教师对概念教学的认知不足而造成的，很多教师因为高一、高二对概念已经进行过教学而在复习教学中不再重视.但实际上，学生对概念不清的实际学习状况往往会造成其复习的低质低效.如何改变这一局面呢？

■回归知识本源

搞清基本概念、原理、方法的复习教学能使学生对知识本质产生理解和感悟并构建起知识间的联系，使学生不断完善知识的结构并令知识体系的功能得到强化.

例：

已知f（x）为定义在［-1，1］上的奇函数，且f

（1）＝1，若m，n∈［-1，1］，且当m+n≠0时恒有pagenumber_ebook=64，pagenumber_book=62成立.

（1）用定义证明f（x）在［-1，1］上为增函数；

（2）解不等式pagenumber_ebook=64，pagenumber_book=62

此题涉及函数单调性的复习以及函数单调概念中的某些内在关系，比如假设，①任取x1＜x2∈D，②f（x1）＜f（x2）或f（x1）＞f（x2），③函数单调递增或递减，则pagenumber_ebook=64，pagenumber_book=62的三个命题均为真命题.如此一来，第

（2）问得解.除此以外，数列最值问题也能得到迁移，利用函数单调性来解决数列的单调性要在形式上做出对应的变化，用an+1-an和零作大小比较，这也是可用不等式解数列最值问题的本质，学生在概念的联结和运用中自然会获得更加深刻而广泛的领悟.

教师在概念复习中应突出其过程与对象的双重性并体现其现实背景与寓意，使学生能够在概念的形成、发展与应用过程中获得认知结构的完善与思维能力的发展.

■反思、优化学习过程

引导学生在概念复习中进行已有知识基础上的反思能使其不断获得新的知识经验并令学习过程得以优化.比如，教师在“解斜三角形”的复习教学中可以引导学生进行以下问题的思考：

（1）直角三角形中的边角关系如何？

（2）正弦定理从直角三角形中可以提炼出来吗？

（3）正余弦定理的证明过程是怎样的？

（4）余弦定理和向量的数量积存在怎样的关系呢？

（可以将余弦定理的变形公式pagenumber_ebook=64，pagenumber_book=62看成为数量积的另一种表达形式pagenumber_ebook=64，pagenumber_book=62pagenumber_ebook=64，pagenumber_book=62的特殊情形）

这种优化学习过程的教学方式能使学生熟练掌握知识的同时弄清知识的形成与发展，使学生能够在概念的现实原型、抽象过程、形式表达、符号化运用等多个层面对概念形成理解与掌握.

■立足通性通法

引导学生立足通性通法进行概念内涵与外延的理解与掌握，能使学生更好地抓住问题的本质并因此获得更加完善、稳固的知识结构.

比如，有学生会在判别式的二阶行列式的复习中提出用“D＝0，Dx≠Dy”判别线性方程无解，教师应基于学生的这一认知与错误进行概念的复习：

用行列式解二元一次方程组，满足D＝0且无解，首先应确定Dx或Dy中的一个为具体的非零值，另一个则包含字母，如pagenumber_ebook=64，pagenumber_book=62pagenumber_ebook=64，pagenumber_book=62则令a＝-1即可举出反例.

很多资料对函数值域这一高中重要的数学问题进行了方法的总结，学生在配方法、分离法、换元法、逆求法等众多方法中往往感觉零乱，教师应帮助学生抓住问题的本质及其中所渗透的思想方法并形成科学的学习方法.

■渗透数学思想方法

数学思想这一对数学对象的本质认识，实际上是主体在数学认知过程中所提炼的基本观点与根本想法.

例如，求y＝pagenumber_ebook=64，pagenumber_book=62的最值.教师直接选择数形结合的方法来解决此题必然会造成学生心头的疑惑：

“我怎会想不出来呢？

”因此，在此题的解题教学中，教师可以做如下改进：

首先运用万能公式化归成含有pagenumber_ebook=64，pagenumber_book=62的函数并启发学生思考，引导学生对繁杂过程中的题目结构进行观察和分析并运用变换主元的办法由正余弦的有界性求解，引导学生从结构中隐藏的点坐标（cosx，sinx）联想到圆并采取构造斜率的方法来解题.数形结合方法在此时出现也就符合学生的思维发展了，学生也因此得到认知的深化与理解并对概念形成更好的掌握.同样的，“过点P（1，2）作直线l与x轴、y轴的正半轴分别相交于点A和点B，求pagenumber_ebook=64，pagenumber_book=62的最小值及此时直线l的方程”一题中，教师引导学生对不同点坐标形式展开思考和选择，也会得到不同的解题办法.

教师在复习教学中还应尽量引导学生进行一题多解、一题多联、一题多变，使学生能够在崭新的习题情境中学会更加敏锐地捕捉隐含信息并获得更多的解题感悟.当然，学生在数学学习中的犯错并不止在概念、公式、定理的理解不清上，还有一些非智力因素也会导致其学习出错，教师应及时发现学生的错误并对其出错原因进行分析，使学生能够清晰面对自己的计算错误、策略错误并及时获得正确而简捷的解法.

将知识简单地教给学生在高三数学复习教学中显然是不合时宜的，教师对知识的理解方式并不一定为学生很好地接受，因此，教师在复习教学中仍旧应该重视概念教学并注重学生思维的启发，切忌将自己的直接操作来代替学生的思维，应该引导学生充分感受、理解、领悟数学的内涵并因此帮助学生树立一种精神，养成一种气质，深植一份思想内涵，使学生在充分感受数学课堂的厚重感与力量感的同时建立数学学习的信心，在长才干、长智慧的数学学习中获得数学思维能力与综合素养的锻炼和发展.

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（二）：

高三数学深度学习的施教策略探讨论文

【摘要】理解认知、高阶思维、整体联通是深度学习的三大特征.针对这三大特征，高三数学教师在教学中沿着这三个方向去开展教学，可引导学生深入思考问题的本质，建立恰当的联系，在解决问题时能准确选用最高效的策略.

【关键词】高三数学；深度学习；施教策略

“高三是炒冷饭”“讲了很多遍学生还是不会”，这是高三老师普遍会遇到的问题.学生通过高一、高二对新知识的学习，以量的方式获取了高中数学分散的、零碎的知识.他们大多数能够理解单一的知识，也知道这些知识之间存在的某些简单联系，但是往往不能找到那些藏在背后的复杂和深层联系.所以学习层次还停留在浅层学习.相关研究发现，相比浅层学习，那些使用深度学习法的学生记住所学内容的时间更长久，能更快地整合信息并表达，有更好的创新思维能力，学习的效益更高.

苏州大学付亦宁博士认为：

“深度学习是以内在需求为动力，以理解性学习为基础，运用高阶思维批判性地学习新的思想和事实，能够在知识之间进行整体性联通，将它们融入原有的认知体系进行建构；能够在不同的情境中创造性地解决问题；能够运用元认知策略对学习进行调控，并达到专家学习程度的学习”[1].这个概念的关键词是：

理解、高阶思维、联通.

那么，在高三数学中，深度学习主要指什么？

或者说，高三数学教师应该沿着什么方向帮助学生开展深度学习？

这是一线教师期望得到解决的实际问题.

1从知识结构体系的建构和数学思想方法的渗透，来促进数学理解

英国教育家斯根普从数学的特征出发，将数学理解划分为工具性理解和关系性理解.通过高一、高二的学习，学生对数学概念和数学方法有了语言和操作层面上的理解，也就是工具性理解.而关系性理解还要对数学知识的含义和结构，对得到数学的概念和规律（包括定理、公式、法则等）的过程，以及规则本身逻辑的有效性依据等有相应的认识.总之，工具性理解是指“应该怎么做这件事”，关系性理解则是指“为什么应当这样做”.显然，深度学习的数学理解的目标是达成关系性理解水平.而高三的数学教学，就要促进学生达到关系性理解.

1.1理解知识的结构体系

学生明白知识点之间的联系、搭建起知识网络才是真正的理解.例如，在复习三角恒等变换的时候，不仅仅要求学生对三角公式很熟练，还要让他们知道公式的来龙去脉.先由向量的方法得到两角差的余弦公式，然后将β换为-β得到两角和的余弦公式，接着利用诱导公式推导出两角和与差的正弦公式，再由同角三角函数关系式得到两角和与差的正切公式，最后令β=α得到二倍角公式及其变形，如下表：

width=508，height=324，dpi=110

1.2理解数学的思想方法

数学思想方法，隐藏在数学知识深处，它是数学的灵魂，是发展学生数学思维品质的窍门.教师在高三复习中，要通过合理的教学设计把数学思想方法渗透到具体的教学内容中，启发学生去领会蕴含在数学知识中的数学思想方法，以提高学生的数学素养和思维品质.“转化与化归”的数学思想在高中数学中得到了充分的体现.例如在解决三角恒等变换的问题时，经常要实现已知角和目标角的互相转化.在立体几何中求侧面积的时候，要将空间问题化归为平面问题.“整体与一般”的思想常用于处理数列的相关问题.数学的解题过程的讲解，不能只停留在具体的操作层面，高三的深度学习，就是教师要带领学生去挖掘潜藏的思想方法，领会数学思想的内涵.

2引导学生建立对所学章节知识各部分之间的建构，培养高阶思维

美国教育学家布罗姆将思维过程分为六个方面：

记忆、理解、应用、分析、综合、评价[2].其中分析、综合和评价被称为高阶思维，之后高阶思维又修订为分析、综合、评价和创造.教师要在高三复习中，使用高阶思维，引导学生将学习内容当作可以归纳类比的、有相关联系的资料，然后应用相应的一些逻辑推理和分析将知识整合成为一个体系.以高三一轮复习中三角恒等变换的一道例题为例：

例1求值width=105，height=35，dpi=110.

教师：

通过分析表达式，有什么发现？

做了什么尝试？

学生1：

我发现这个表达式里出现的角是15°，而15°=45°-30°，所以我用两角差的正余弦公式分别求出了sin15°=sin（45°-30°）和cos15°=cos（45°-30°）.

教师：

你发现了要求的角与特殊角的和差关系，所以用两个特殊角的差来表示要求的角.这个角和特殊角除了有和差关系，还有怎样的关系呢？

学生2：

15°还是特殊角30°的width=23，height=32，dpi=110为了能得到15°的二倍角30°，我先计算了表达式的平方的值，然后再开方.即width=398，height=35，dpi=110因为sin15°-cos15°<0，sin15°+cos15°>0，所以原式width=55，height=35，dpi=110

教师：

用平方的方法，在开方的时候需要判号.平方是为了升幂，除了平方，你还有什么方法可以让表达式分子分母都变成二次？

学生2：

还可以分子分母同时乘以sin15°+cos15°.

教师：

非常好！

有没有同学从其他的角度来分析这道题的呢？

学生3：

我发现这个表达式的分子分母是形如asinθ±bcosθ的形式，所以我想到了用辅助角公式.原式width=284，height=41，dpi=110

教师：

太棒了！

这位同学是从表达式的形式上去分析的，发现分子和分母都是sinθ和cosθ的线性表达式.那么从表达式的形上，还有什么发现吗？

学生4：

这个表达式是正、余弦的齐次分式，于是想到了弦化切的方法，然后再用两角差的正切公式的逆用求解.

原式width=396，height=38，dpi=110

教师：

非常好，你还用到了1=tan45°这个“1”的代换.同学们从角的角度和形的角度来分析要求的表达式，用了四种方法来求解，现在请大家问一问自己：

哪个方法是最适合的？

通过这样的教学设计和教学策略，培养学生提出问题、发现问题、分析问题、解决问题和评价问题的能力.深度学习，在教师有指导性的带领下，通过观察、推理和分析，抽象出问题的特点和本质，将各个片段化的知识连成整体，实现对知识的综合加工，再利用整合后的知识去解决问题.

3引导学生建立对新学知识与已有知识之间的建构，实现整体联通

学习，是需要去连接各个信息和知识的.因为知识不是孤立地存在于各个“仓库”中，而是存在于各单元的相关关联中.深度学习就是去搭建起新的联结或改变原来的联结方式.高三教师要引导学生在各种不同的数学知识之间搭建联结，并建立更深远的知识体系，实现整体联通.在这种联通关系下，学生学到的知识体系将更加全面深入.以高三一轮复习中三角函数图象与性质的一道例题为例：

例2若函数f（x）=asinωx+bcosωx（0<ω<5，ab≠0）的图象的一条对称轴方程是width=55，height=28，dpi=110函数f′（x）的图象的一个对称中心是width=55，height=32，dpi=110则f（x）的最小正周期是______.

这道题一开始大部分学生的解法是这样的：

由题设，有width=152，height=32，dpi=110即width=181，height=35，dpi=110得a=b.又width=287，height=32，dpi=110所以width=178，height=32，dpi=110从而width=78，height=29，dpi=110所以width=151，height=29，dpi=110即ω=4k+1，k∈Z.又由0<ω<5，所以ω=1，于是width=167，height=32，dpi=110故f（x）的最小正周期是2π.

这个解法很常规，就是应用了三角函数的图象与性质和导数的知识来按部就班地求解的.学生能够从整体的角度来思考三角函数的知识，发现本章知识之间的内在关联性.不过，这个层次的学习只是部分深度学习.在部分深度学习的学生，对所学知识之间的联系理解得不够深入，所以还不能像“专家”那样在新的情景中实现知识的迁移，从而创造性地解决问题.这个时候，教师要帮助学生建立更多的基于设计的学习活动，实现知识在更多陌生领域的灵活运用，提高学生的适应和调整能力.

教师：

本题研究三角函数，三角函数有自身的特征和性质，那么三角函数的对称轴和其导函数的对称中心之间，有着怎样的联系呢？

学生5：

函数f′（x）的对称中心对应的width=46，height=29，dpi=110就是原函数f（x）的对称轴，所以就令width=58，height=29，dpi=110

教师：

这个想法很好！

将原函数的对称轴和导函数的对称中心联系了起来，只是原函数的对称轴有无数条，width=46，height=29，dpi=110和width=46，height=29，dpi=110未必是同一条啊.

这时候全班同学沉寂了一会，然后有一位学生找到了突破口.

学生6：

原函数既关于width=46，height=29，dpi=110对称，又关于width=46，height=29，dpi=110对称，则有width=243，height=29，dpi=110又因为0<ω<5，所以ω=1，答案为2π.

教师：

漂亮！

　　学生如何深度学习需要多种因素相互配合，其中一个重要因素就是教师在创造学习条件和情境中的作用.当教师给予学生明确的、有条理、有深度的指导时，他们会更多地采用深度学习法.高三教师不再只是传递知识，而是要引起学生的学习愿望，引导学生的学习活动，帮助学生理解更彻底，思维更快捷.启发学生在学习过程中质疑、深入思考，是高三教师非常重要和根本的价值所在.