北师大版必修五第1章 4 数列在日常经济生活中的应用.docx

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北师大版必修五第1章4数列在日常经济生活中的应用

数列在日常经济生活中的应用

学习目标

核心素养

1.掌握单利、复利的概念．（重点）

2．掌握零存整取、定期自动转存、分期付款三种模型及应用．（重点）

3．掌握数列在日常经济生活中的应用．（难点）

1.通过数列在日常生活中的应用提升数学建模素养．

2．通过数列在经济生活中的应用提升数学运算素养.

数列在日常经济生活中的应用

阅读教材P32～P34例3以上部分，完成下列问题：

（1）三种常见的应用模型

①零存整取：

每月定时收入一笔相同数目的现金，这是零存；到约定日期，可以取出全部本利和，这是整取，规定每次存入的钱不计复利（暂不考虑利息税）．

②定期自动转存：

银行有另一种储蓄业务为定期存款自动转存．例如，储户某日存入一笔存期为1年的存款，1年后，如果储户不取出本利和，则银行自动办理转存业务，第2年的本金就是第1年的本利和．

③分期付款：

分期付款是购物的一种付款方式．即将所购物的款数在规定的期限内按照一定的要求，分期付清．

（2）常用公式

①复利公式：

按复利计算的一种储蓄，本金为P元，每期利率为r，存期为n，则本利和S＝P（1＋r）n.

②产值模型：

原来产值的基础数为N，平均增长率为r，对于时间x的总产值y＝N（1＋r）x.

③单利公式：

利息按单利计算，本金为P元，每期利率为r，存期为n，则本利和为S＝P（1＋nr）．

思考：

（1）数学中常见的定期存款利率计算方法有哪些？

[提示]　单利和复利两种方法．

（2）建立数学模型的关键是什么？

[提示]　正确选取变量，并准确建立变量之间的数量关系．

1．现存入银行10000元钱，年利率是3.60%，那么按照复利，第5年末的本利和是（　　）

A．10000×1.0363　B．10000×1.0364

C．10000×1.0365D．10000×1.0366

C　[由复利公式得S＝10000×（1＋3.60%）5＝10000×1.0365.]

2．某产品计划每年成本降低q%，若三年后成本为a元，则现在的成本是

（　　）

A．a（1＋q%）3B．a（1－q%）3

C．

D．

C　[设现在的成本为x元，则有x（1－q%）3＝a．

∴x＝

.故选C．]

3．过圆x2＋y2＝10x内一点（5,3）有k条弦的长度组成等差数列，且最短弦长为首项a1，最长弦长为末项ak，若公差d∈

，则k的取值不可能是（　　）

A．4B．5

C．6D．7

A　[x2＋y2＝10x化简得（x－5）2＋y2＝25

过点（5,3）的最短弦长为8，最长弦长为10，

则由题意d＝

＝

∈

，5≤k≤7.]

4．阿明存入5万元定期存款，存期1年，年利率为2.25%，那么10年后共得本息和为________万元．（精确到0.001）

6．246　[10年后的本息：

a10＝5×（1＋0.0225）10≈6.246（万元）．]

等差数列模型

【例1】　某单位用分期付款的方式为职工购买40套住房，共需1150万元，购买当天先付150万元，以后每月这一天都交付50万元，并加付欠款利息，月利率为1%，若交付150万元后的第一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第10个月应付多少钱？

全部按期付清后，买这40套住房实际花了多少钱？

[解]　因购房时付150万元，

则欠款1000万元，依题意分20次付款，

则每次付款的数额顺次构成数列{an}．

则a1＝50＋1000×1%＝60，

a2＝50＋（1000－50）×1%＝59.5，

a3＝50＋（1000－50×2）×1%＝59，

a4＝50＋（1000－50×3）×1%＝58.5，

…

所以an＝50＋[1000－50（n－1）]×1%＝60－

（n－1）（1≤n≤20，n∈N＋）．

所以{an}是以60为首项，－

为公差的等差数列．

所以a10＝60－9×

＝55.5.

所以第10个月应付55.5（万元）．

a20＝60－19×

＝50.5.

所以S20＝

×（a1＋a20）×20＝10×（60＋50.5）＝1105.

所以实际共付1105＋150＝1255（万元）．

1．按单利计算公式

单利的计算仅在原有本金上计算利息，对本金所产生的利息不再计算利息，其公式为利息＝本金×利率×存期．

2．按单利分期付款问题的三个关键问题

（1）规定多少时间内付清全部款额．

（2）在规定的时间内分几期付款，并且规定每期所付款额相同．

（3）规定多长时间段结算一次利息，及在规定时间段内利息的计算公式．

1．某人在一年12个月中，每月10日向银行存入1000元，假设银行的月利率为5‰（按单利计算），则到第二年的元月10日，此项存款一年的利息之和是

（　　）

A．5（1＋2＋3＋…＋12）元

B．5（1＋2＋3＋…＋11）元

C．1000[1＋5‰＋（5‰）2＋…＋（5‰）11]元

D．1000[1＋5‰＋（5‰）2＋…＋（5‰）12]元

A　[存款利息是以5为首项，5为公差的等差数列，12个月的存款利息之和为5（1＋2＋3＋…＋12）元，故选A．]

等比数列模型

【例2】　某家庭打算以一年定期的方式存款，计划从2018年起，每年年初到银行新存入a元，年利率p保持不变，并按复利计算，到2028年年初将所有存款和利息全部取出，一共可以取回多少钱？

[解]　设从2018年年初到2028年年初每年存入a元的本利和组成数列{an}（1≤n≤10）．

则a1＝a（1＋p）10，a2＝a（1＋p）9，…，a10＝a（1＋p），

故数列{an}（1≤n≤10）是以a1＝a（1＋p）10为首项，q＝

为公比的等比数列．

所以2028年初这个家庭应取出的钱数为

S10＝

＝

[（1＋p）11－（1＋p）]（元）．

1．复利问题的计算方法

复利问题可以转化为等比数列问题，第n年的本息＝本金×（1＋利率）n.

2．解决等比数列应用题的关键

（1）认真审题抓特点，仔细观察找规律．

（2）等比数列的特点是增加或减少的百分数相同．

（3）分析数列的规律，一般需先写出数列的一些项加以考查．

2．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n（n∈N＋）等于________．

6　[每天植树的棵数构成以2为首项，2为公比的等比数列，其前n项和Sn＝

＝2n＋1－2.由2n＋1－2≥100，得2n＋1≥102.由于26＝64,27＝128，则n＋1≥7，即n≥6.]

分期付款问题

[探究问题]

1．复利与单利的区别是什么？

[提示]　

（1）复利在第二次以后计算时，将上一次得到的利息也作为了本金，而单利每一次的计算都是将开始的本金作为本金计息．

（2）单利和复利分别以等差数列和等比数列作为模型，即单利的实质是等差数列，复利的实质是等比数列．

2．小明存入1万元定期存款，存期5年，年利率为2%，若按单利计算，5年后共获得本息和为多少元？

若按复利计算，5年后共获得本息和多少元？

[提示]　按单利计算：

5年后共获（1＋5×2%）＝1.1万元；

按复利计算：

5年后共获（1＋2%）5＝1.104万元．

3．在实际问题中，涉及一组与顺序有关的数的问题时，应考虑用什么方法解决？

解决此问题的关键是什么？

[提示]　在实际问题中，若涉及一组与顺序有关的数的问题，可考虑用数列方法解决，在利用数列方法解决实际问题时的关键是分清首项、项数等问题．

【例3】　某企业进行技术改造，有两种方案：

甲方案，一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案，每年贷款1万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前年多获利5千元．两种方案，使用期限都是十年，到期一次性归还本息，若银行贷款利息按年息10%的复利计算，比较两种方案，哪个获利更多？

（计算数据精确到千元，1.110≈2.594,1.310≈13.786）

思路探究：

分清两种方案分别属于什么数列模型，然后分别建立不同数列模型解决．

[解]　方案甲：

十年获利中，每年获利数构成等比数列，首项为1，公比为1＋30%，前10项和为S10＝1＋（1＋30%）＋（1＋30%）2＋…＋（1＋30%）9，所以S10＝

≈42.62（万元）．又贷款本息总数为

10（1＋10%）10＝10×1.110≈25.94（万元），

甲方案净获利

42．62－25.94≈16.7（万元）．

乙方案获利构成等差数列，首项为1，公差为

，前10项和为

T10＝1＋

＋

＋…＋

＝

＝32.50（万元），

而贷款本息总数为

1．1×[1＋（1＋10%）＋…＋（1＋10%）9]

＝1.1×

≈17.53（万元），

乙方案净获利

32．50－17.53≈15.0（万元）．

比较两方案可得甲方案获利较多．

1．（变条件）在例3中，若该企业还有两种技术改造的方案，丙方案：

一次性贷款40万元，第一年获利是贷款额的10%，以后每年比上一年增加25%的利润，丁方案：

一次性贷款20万元，第一年获利是贷款额的15%，以后每年都比上一年增加利润1.5万元，两种方案使用期限都是10年，到期一次性还本付息，两种方案均按年息2%的复利计算．（参考数据：

1.259≈7.45,1.2510≈9.3,1.029≈1.20,1.0210≈1.22），试比较两种方案，哪种方案净获利更多？

[解]方案丙：

由题意知，每年的利润an成等比数列，

且a1＝4，公比q＝1＋25%＝1.25，n＝10，

收入S丙＝

＝

＝132.8（万元）．

净获利W丙＝132.8－40（1＋2%）10＝132.8－48.8＝84（万元），

方案丁：

由题意，每年的利润记为数列{bn}，它是等差数列，且b1＝3，公差为1.5，n＝10，

收入S丁＝10×3＋

×10×9×1.5＝30＋67.5＝97.5（万元）．

净获利：

W丁＝97.5－20（1＋2%）10＝97.5－24.4＝73.1（万元）

所以方案丙净获利更多．

2．（变结论）在例3中，设甲方案可贷款n年，按此方案技术改造第n年的累计净获利能够超过100万元，求n的最小值．（参考数据：

1.314≈39.374,1.315≈51.186,1.114≈3.798,1.115≈4.178）

[解]　设按照甲方案进行技术改造，n年的累计净获利超过100万元，

由题意知，每年获利数构成等比数列，首项为1，公比为1＋30%，

前n项和为Sn＝1＋（1＋30%）＋（1＋30%）2＋…＋（1＋30%）n－1＝

＝

（1.3n－1），

又贷款本息总数为10（1＋10%）n＝10×1.1n，

则甲方案的净获利为

（1.3n－1）－10×1.1n，

由题意知

（1.3n－1）－10×1.1n＞100，

经验证，当n＝14时，

（1.314－1）－10×1.114

＝

（39.374－1）－10×3.798

＝127.913－37.98＝89.933＜100，

当n＝15时，

（1.315－1）－10×1.115＝

（51.186－1）－10×4.178

＝167.287－41.78＝125.507＞100，

所以n的最小值为15.

1．等差、等比数列的应用题常见问题

产量增减、价格的升降、细胞繁殖、贷款利率、增长率等方面的问题，解决方法是建立数列模型，应用数列知识解决问题．

2．将实际问题转化为数列问题时应注意

（1）分清是等差数列还是等比数列．

（2）分清是求an，还是求Sn，特别要准确确定项数n.

（3）递推关系的发现是数列建模的重要方式．

1．等差、等比数列的应用题常见于产量增减、价格升降、细胞繁殖、贷款利率、增长率等方面的问题，解决方案是建立数列模型，应用数列知识解决问题．

2．银行存款中的单利是等差数列模型，本利和公式为S＝P（1＋nr）；复利是等比数列模型，本利和公式为S＝P（1＋r）n.（其中P为本金，r为利率，n为期数）

3．等额本息分期付款是等比数列求和问题；等额本金分期付款是等差数列求和问题．

1．判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）在银行取款时，取到的本息是指存款得到的利息．（　　）

（2）定期自动转存模型是等差数列．（　　）

（3）在分期付款中，各期所付款及各期所付款所生成的利息之和等于商品的售价．（　　）

[答案]　

（1）×　

（2）×　（3）×

[提示]　

（1）不正确，本息指本金与利息的和；

（2）不正确，定期自动转存的模型不是等差数列；（3）不正确，分期付款的本质是贷款按复利整存整取，还款按复利零存整取到贷款全部还清时，贷款本利合计＝还款本利合计．

2．某钢厂的年产值由1999年的40万吨，增加到2009年的50万吨，经历了10年的时间，如果按此年增长率计算，该钢厂2019年的年产值将接近（　　）

A．60万吨　　B．61万吨

C．63万吨D．64万吨

C　[设年增长率为x，则2009年为：

40（1＋x）10＝50，则（1＋x）10＝

.

2019年为：

40（1＋x）20＝40×[（1＋x）10]2

＝40×

×

＝62.5≈63（万吨）．]

3．某工厂购买一台机器价格为a万元，实行分期付款，每期付款b万元，每期为一个月，共付12次，如果月利率为5‰，每月复利一次，则a，b满足（　　）

A．b＝

B．b＝

C．b＝

D．

D　[因为b（1＋1.005＋1.0052＋…＋1.00511）

＝a（1＋0.005）12，所以12b

所以b<

，显然12b>a，

即

.]

4．1个水池有若干出水量相同的水龙头，如果所有水龙头同时放水，那么24min可注满水池．如果开始时全部开放，

以后每隔相等的时间关闭1个水龙头，到最后1个水龙头关闭时，恰好注满水池，而且最后1个水龙头放水的时间恰好是第1个水龙头放水时间的5倍，问最后关闭的这个水龙头放水的时间是多少？

[解]　设共有n个水龙头，每个水龙头开放时间依次为x1，x2，…，xn，

由已知x2－x1＝x3－x2＝x4－x3＝…＝xn－xn－1，数列{xn}是等差数列，每个水龙头1min放水

，所以

＝1，即Sn＝24n，即

＝24n，所以

（x1＋xn）＝24，x1＋xn＝48.

又因为xn＝5x1，所以6x1＝48，x1＝8，xn＝5x1＝40.

故最后关闭的水龙头放水40min.