中考数学二轮复习专题三开放型问题.docx

中考数学二轮复习专题三开放型问题.docx

《中考数学二轮复习专题三开放型问题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《中考数学二轮复习专题三开放型问题.docx（20页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

中考数学二轮复习专题三开放型问题

开放型问题

一、中考专题诠释

开放型问题是相对于有明确条件和明确结论的封闭型问题而言的，它是条件或结论给定不完全、答案不唯一的一类问题．这类试题已成为近年中考的热点，重在考查同学们分析、探索能力以及思维的发散性，但难度适中．根据其特征大致可分为：

条件开放型、结论开放型、方法开放型和编制开放型等四类．

二、解题策略与解法精讲

解开放性的题目时，要先进行观察、试验、类比、归纳、猜测出结论或条件，然后严格证明；同时，通常要结合以下数学思想方法：

分类讨论，数形结合，分析综合，归纳猜想，构建数学模型等。

三、中考考点精讲

考点一：

条件开放型

条件开放题是指结论给定，条件未知或不全，需探求与结论相对应的条件．解这种开放问题的一般思路是：

由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论出发，逆向追索，逐步探求．

例1（2015•江苏盐城，第13题3分）如图，在△ABC与△ADC中，已知AD=AB，在不添加任何辅助线的前提下，要使△ABC≌△ADC，只需再添加的一个条件可以是　　．

考点：

全等三角形的判定。

专题：

开放型．

分析：

添加DC=BC，利用SSS即可得到两三角形全等；添加∠DAC=∠BAC，利用SAS即可得到两三角形全等．

解答：

解：

添加条件为DC=BC，

在△ABC和△ADC中，

，

∴△ABC≌△ADC（SSS）；

若添加条件为∠DAC=∠BAC，

在△ABC和△ADC中，

，

∴△ABC≌△ADC（SAS）．

故答案为：

DC=BC或∠DAC=∠BAC

点评：

此题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键．

对应训练

1．（2015•娄底，第13题3分）如图，已知AB=BC，要使△ABD≌△CBD，还需添加一个条件，你添加的条件是．（只需写一个，不添加辅助线）

考点：

全等三角形的判定．

专题：

开放型．

分析：

由已知AB=BC，及公共边BD=BD，可知要使△ABD≌△CBD，已经具备了两个S了，然后根据全等三角形的判定定理，应该有两种判定方法①SAS，②SSS．所以可添∠ABD=∠CBD或AD=CD．

解答：

解：

答案不唯一．

①∠ABD=∠CBD．

在△ABD和△CBD中，

∵

，

∴△ABD≌△CBD（SAS）；

②AD=CD．

在△ABD和△CBD中，

∵

，

∴△ABD≌△CBD（SSS）．

故答案为：

∠ABD=∠CBD或AD=CD．

点评：

本题主要考查了全等三角形的判定定理，能灵活运用判定进行证明是解此题的关键．熟记全等三角形的判定方法有：

SSS，SAS，ASA，AAS．

考点二：

结论开放型：

给出问题的条件，让解题者根据条件探索相应的结论并且符合条件的结论往往呈现多样性，这些问题都是结论开放问题．这类问题的解题思路是：

充分利用已知条件或图形特征，进行猜想、类比、联想、归纳，透彻分析出给定条件下可能存在的结论，然后经过论证作出取舍．

例2（2015·四川甘孜、阿坝，第27题10分）已知E，F分别为正方形ABCD的边BC，CD上的点，AF，DE相交于点G，当E，F分别为边BC，CD的中点时，有：

①AF=DE；②AF⊥DE成立．

试探究下列问题：

（1）如图1，若点E不是边BC的中点，F不是边CD的中点，且CE=DF，上述结论①，②是否仍然成立？

（请直接回答“成立”或“不成立”），不需要证明）

（2）如图2，若点E，F分别在CB的延长线和DC的延长线上，且CE=DF，此时，上述结论①，②是否仍然成立？

若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；

（3）如图3，在

（2）的基础上，连接AE和BF，若点M，N，P，Q分别为AE，EF，FD，AD的中点，请判断四边形MNPQ是“矩形、菱形、正方形”中的哪一种，并证明你的结论．

考点：

四边形综合题．.

专题：

综合题．

分析：

（1）由四边形ABCD为正方形，CE=DF，易证得△ADF≌△DCE（SAS），即可证得AF=DE，∠DAF=∠CDE，又由∠ADG+∠EDC=90°，即可证得AF⊥DE；

（2）由四边形ABCD为正方形，CE=DF，易证得△ADF≌△DCE（SAS），即可证得AF=DE，∠E=∠F，又由∠ADG+∠EDC=90°，即可证得AF⊥DE；

（3）首先设MQ，DE分别交AF于点G，O，PQ交DE于点H，由点M，N，P，Q分别为AE，EF，FD，AD的中点，即可得MQ=PN=DE，PQ=MN=AF，MQ∥DE，PQ∥AF，然后由AF=DE，可证得四边形MNPQ是菱形，又由AF⊥DE即可证得四边形MNPQ是正方形．

解答：

（1）上述结论①，②仍然成立，

理由为：

∵四边形ABCD为正方形，

∴AD=DC，∠BCD=∠ADC=90°，

在△ADF和△DCE中，

，

∴△ADF≌△DCE（SAS），

∴AF=DE，∠DAF=∠CDE，

∵∠ADG+∠EDC=90°，

∴∠ADG+∠DAF=90°，

∴∠AGD=90°，即AF⊥DE；

（2）上述结论①，②仍然成立，

理由为：

∵四边形ABCD为正方形，

∴AD=DC，∠BCD=∠ADC=90°，

在△ADF和△DCE中，

，

∴△ADF≌△DCE（SAS），

∴AF=DE，∠E=∠F，

∵∠ADG+∠EDC=90°，

∴∠ADG+∠DAF=90°，

∴∠AGD=90°，即AF⊥DE；

（3）四边形MNPQ是正方形．

理由为：

如图，设MQ，DE分别交AF于点G，O，PQ交DE于点H，

∵点M，N，P，Q分别为AE，EF，FD，AD的中点，

∴MQ=PN=DE，PQ=MN=AF，MQ∥DE，PQ∥AF，

∴四边形OHQG是平行四边形，

∵AF=DE，

∴MQ=PQ=PN=MN，

∴四边形MNPQ是菱形，

∵AF⊥DE，

∴∠AOD=90°，

∴∠HQG=∠AOD=90°，

∴四边形MNPQ是正方形．

点评：

此题属于四边形的综合题，考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及三角形中位线的性质．注意证得△ADF≌△DCE（SAS），掌握三角形中位线的性质是关

对应训练

2．（2015•浙江丽水，第20题8分）某运动品牌对第一季度A、B两款运动鞋的销售情况进行统计，两款运动鞋的销售量及总销售额如图所示：

（1）一月份B款运动鞋的销售量是A款的

，则一月份B款运动鞋销售了多少双？

（2）第一季度这两款运动鞋的销售单价保持不变，求三月份的总销售额（销售额=销售单价×销售量）；

（3）结合第一季度的销售情况，请你对这两款运动鞋的进货、销售等方面提出一条建议。

【答案】解：

（1）∵

，

∴一月份B款运动鞋销售了40双.

（2）设A、B两款运动鞋的销售单价分别为

元，

则根据题意，得

，解得

.

∴三月份的总销售额为

（元）.

（3）答案不唯一，如：

从销售量来看，A款运动鞋销售量逐月上升，比B款运动鞋销售量大，建议多进A款运动鞋，少进或不进B款运动鞋.

从总销售额来看，由于B款运动鞋销售量逐月减少，导致总销售额减少，建议采取一些促销手段，增加B款运动鞋的销售量.

【考点】开放型；代数和统计的综合题；条形统计图和折线统计图；二元一次方程组的应用.

【分析】

（1）根据条形统计图A款运动鞋的销售量和B款运动鞋的销售量是A款的

即可列式求解.

（2）方程（组）的应用解题关键是找出等量关系，列出方程（组）求解.本题设A、B两款运动鞋的销售单价分别为

元，等量关系为：

“一月份A、B两款运动鞋的总销售额40000元”和“二月份A、B两款运动鞋的总销售额50000元”.

（3）答案不唯一，合理即可.

考点三：

条件和结论都开放的问题：

此类问题没有明确的条件和结论，并且符合条件的结论具有多样性，因此必须认真观察与思考，将已知的信息集中分析，挖掘问题成立的条件或特定条件下的结论，多方面、多角度、多层次探索条件和结论，并进行证明或判断．

例3（2014•四川巴中，第28题10分）如图，在四边形ABCD中，点H是BC的中点，作射线AH，在线段AH及其延长线上分别取点E，F，连结BE，CF．

（1）请你添加一个条件，使得△BEH≌△CFH，你添加的条件是　　，并证明．

（2）在问题

（1）中，当BH与EH满足什么关系时，四边形BFCE是矩形，请说明理由．

考点：

矩形的判定．

分析：

（1）根据全等三角形的判定方法，可得出当EH=FH，BE∥CF，∠EBH=∠FCH时，都可以证明△BEH≌△CFH，

（2）由

（1）可得出四边形BFCE是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形为矩形可得出BH=EH时，四边形BFCE是矩形．

解答：

（1）答：

添加：

EH=FH，证明：

∵点H是BC的中点，∴BH=CH，

在△△BEH和△CFH中，

，∴△BEH≌△CFH（SAS）；

（2）解：

∵BH=CH，EH=FH，

∴四边形BFCE是平行四边形（对角线互相平分的四边形为平行四边形），

∵当BH=EH时，则BC=EF，

∴平行四边形BFCE为矩形（对角线相等的平行四边形为矩形）．

点评：

本题考查了全等三角形的判定和性质以及平行四边形的判定，是基础题，难度不大．

对应训练

3．（2013•荆州）如图，△ABC与△CDE均是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，D在AB上，连结BE．请找出一对全等三角形，并说明理由．

解：

△ACD≌△BCE．

证明如下∵∠ACB=∠DCE=90°，

∴∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB，

即∠ACD=∠BCE．

∵△ABC与△CDE均是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，

∴CA=CB，CD=CE，

在△ACD和△BCE中，

，

∴△ACD≌△BCE．

四、中考真题演练

1.（2014•江苏淮安，第11题3分）若一个三角形三边长分别为2，3，x，则x的值可以为　　（只需填一个整数）

2.（2014•浙江金华，第11题，4分）写出一个解为x≥1的一元一次不等式　　．

3.（2014•浙江杭州，第23题，12分）复习课中，教师给出关于x的函数y=2kx2﹣（4kx+1）x﹣k+1（k是实数）．

教师：

请独立思考，并把探索发现的与该函数有关的结论（性质）写到黑板上．

学生思考后，黑板上出现了一些结论．教师作为活动一员，又补充一些结论，并从中选出以下四条：

①存在函数，其图象经过（1，0）点；

②函数图象与坐标轴总有三个不同的交点；

③当x＞1时，不是y随x的增大而增大就是y随x的增大而减小；

④若函数有最大值，则最大值比为正数，若函数有最小值，则最小值比为负数．

教师：

请你分别判断四条结论的真假，并给出理由．最后简单写出解决问题时所用的数学方法．

4.（2014•北京，第11题4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2．写出一个函数y=

（k≠0），使它的图象与正方形OABC有公共点，这个函数的表达式为　　．

5.（2014•山东烟台，第25题10分）在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动．

（1）如图①，当点E自D向C，点F自C向B移动时，连接AE和DF交于点P，请你写出AE与DF的位置关系，并说明理由；

（2）如图②，当E，F分别移动到边DC，CB的延长线上时，连接AE和DF，

（1）中的结论还成立吗？

（请你直接回答“是”或“否”，不需证明）

（3）如图③，当E，F分别在边CD，BC的延长线上移动时，连接AE，DF，

（1）中的结论还成立吗？

请说明理由；

（4）如图④，当E，F分别在边DC，CB上移动时，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，请你画出点P运动路径的草图．若AD=2，试求出线段CP的最小值．

6.（2014•内蒙古赤峰，第24题，12分）如图1，E是直线AB，CD内部一点，AB∥CD，连接EA，ED．

（1）探究猜想：

①若∠A=30°，∠D=40°，则∠AED等于多少度？

②若∠A=20°，∠D=60°，则∠AED等于多少度？

③猜想图1中∠AED，∠EAB，∠EDC的关系并证明你的结论．

（2）拓展应用：

如图2，射线FE与矩形ABCD的边AB交于点E，与边CD交于点F，①②③④分别是被射线FE隔开的4个区域（不含边界，其中区域③、④位于直线AB上方，P是位于以上四个区域上的点，猜想：

∠PEB，∠PFC，∠EPF的关系（不要求证明）．

五、中考真题演练

1.（2014•江苏淮安，第11题3分）若一个三角形三边长分别为2，3，x，则x的值可以为　　（只需填一个整数）

考点：

三角形三边关系．

专题：

开放型．

分析：

根据三角形的三边关系：

三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得x的取值范围．

解答：

根据三角形的三边关系可得：

3﹣2＜x＜3+2，

即：

1＜x＜5，

故答案为：

4．

点评：

此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：

大于已知的两边的差，而小于两边的和．

2.（2014•浙江金华，第11题，4分）写出一个解为x≥1的一元一次不等式　　．

考点：

不等式的解集．

专题：

开放型．

分析：

根据不等式的解集，可得不等式．

解答：

写出一个解为x≥1的一元一次不等式x+1≥2，

故答案为：

x+1≥2．

点评：

本题考查了不等式的解集，注意符合条件的不等式有无数个，写一个即可．

3.（2014•浙江杭州，第23题，12分）复习课中，教师给出关于x的函数y=2kx2﹣（4kx+1）x﹣k+1（k是实数）．

教师：

请独立思考，并把探索发现的与该函数有关的结论（性质）写到黑板上．

学生思考后，黑板上出现了一些结论．教师作为活动一员，又补充一些结论，并从中选出以下四条：

①存在函数，其图象经过（1，0）点；

②函数图象与坐标轴总有三个不同的交点；

③当x＞1时，不是y随x的增大而增大就是y随x的增大而减小；

④若函数有最大值，则最大值比为正数，若函数有最小值，则最小值比为负数．

教师：

请你分别判断四条结论的真假，并给出理由．最后简单写出解决问题时所用的数学方法．

考点：

二次函数综合题

分析：

①将（1，0）点代入函数，解出k的值即可作出判断；

②首先考虑，函数为一次函数的情况，从而可判断为假；

③根据二次函数的增减性，即可作出判断；

④当k=0时，函数为一次函数，无最大之和最小值，当k≠0时，函数为抛物线，求出顶点的纵坐标表达式，即可作出判断．

解答：

①真，将（1，0）代入可得：

2k﹣（4k+1）﹣k+1=0，

解得：

k=0．

运用方程思想；

②假，反例：

k=0时，只有两个交点．运用举反例的方法；

③假，如k=1，﹣

=

，当x＞1时，先减后增；运用举反例的方法；

④真，当k=0时，函数无最大、最小值；

k≠0时，y最=

=﹣

，

∴当k＞0时，有最小值，最小值为负；

当k＜0时，有最大值，最大值为正．运用分类讨论思想．

点评：

本题考查了二次函数的综合，立意新颖，结合考察了数学解题过程中经常用到的几种解题方法，同学们注意思考、理解，难度一般．

4.（2014•北京，第11题4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2．写出一个函数y=

（k≠0），使它的图象与正方形OABC有公共点，这个函数的表达式为　　．

考点：

反比例函数图象上点的坐标特征．.

分析：

先根据正方形的性质得到B点坐标为（2，2），然后根据反比例函数图象上点的坐标特征求出过B点的反比例函数解析式即可．

解答：

∵正方形OABC的边长为2，

∴B点坐标为（2，2），

当函数y=

（k≠0）过B点时，k=2×2=4，

∴满足条件的一个反比例函数解析式为y=

．

故答案为：

y=

，y=

（0＜k≤4）（答案不唯一）．

点评：

本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：

反比例函数y=

（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．

5.（2014•山东烟台，第25题10分）在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动．

（1）如图①，当点E自D向C，点F自C向B移动时，连接AE和DF交于点P，请你写出AE与DF的位置关系，并说明理由；

（2）如图②，当E，F分别移动到边DC，CB的延长线上时，连接AE和DF，

（1）中的结论还成立吗？

（请你直接回答“是”或“否”，不需证明）

（3）如图③，当E，F分别在边CD，BC的延长线上移动时，连接AE，DF，

（1）中的结论还成立吗？

请说明理由；

（4）如图④，当E，F分别在边DC，CB上移动时，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，请你画出点P运动路径的草图．若AD=2，试求出线段CP的最小值．

考点：

全等三角形，正方形的性质，勾股定理，运动与变化的思想.

分析：

（1）AE=DF，AE⊥DF．先证得△ADE≌△DCF．由全等三角形的性质得AE=DF，∠DAE=∠CDF，再由等角的余角相等可得AE⊥DF；

（2）是．四边形ABCD是正方形，所以AD=DC，∠ADE=∠DCF=90°，DE=CF，所以△ADE≌△DCF，于是AE=DF，∠DAE=∠CDF，因为∠CDF+∠ADF=90°，∠DAE+

∠ADF=90°，所以AE⊥DF；

（3）成立．由

（1）同理可证AE=DF，∠DAE=∠CDF，延长FD交AE于点G，再由等角的余角相等可得AE⊥DF；

（4）由于点P在运动中保持∠APD=90°，所以点P的路径是一段以AD为直径的弧，设AD的中点为O，连接OC交弧于点P，此时CP的长度最小，再由勾股定理可得

OC的长，再求CP即可．

解答：

（1）AE=DF，AE⊥DF．理由：

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=DC，∠ADC=∠C=90°．∵DE=CF，∴△ADE≌△DCF．

∴AE=DF，∠DAE=∠CDF，由于∠CDF+∠ADF=90°，∴∠DAE+∠ADF=90°．∴AE⊥DF；

（2）是；

（3）成立．

理由：

由

（1）同理可证AE=DF，∠DAE=∠CDF

延长FD交AE于点G，

则∠CDF+∠ADG=90°，

∴∠ADG+∠DAE=90°．

∴AE⊥DF；[

（4）如图：

由于点P在运动中保持∠APD=90°，

∴点P的路径是一段以AD为直径的弧，

设AD的中点为O，连接OC交弧于点P，此时CP的长度最小，

在Rt△ODC中，OC=

，

∴CP=OC﹣OP=

．

点评：

本题主要考查了四边形的综合知识．综合性较强，特别是第（4）题要认真分析．

6.（2014•内蒙古赤峰，第24题，12分）如图1，E是直线AB，CD内部一点，AB∥CD，连接EA，ED．

（1）探究猜想：

①若∠A=30°，∠D=40°，则∠AED等于多少度？

②若∠A=20°，∠D=60°，则∠AED等于多少度？

③猜想图1中∠AED，∠EAB，∠EDC的关系并证明你的结论．

（2）拓展应用：

如图2，射线FE与矩形ABCD的边AB交于点E，与边CD交于点F，①②③④分别是被射线FE隔开的4个区域（不含边界，其中区域③、④位于直线AB上方，P是位于以上四个区域上的点，猜想：

∠PEB，∠PFC，∠EPF的关系（不要求证明）．

考点：

平行线的性质．

专题：

阅读型；分类讨论．

分析：

（1）①根据图形猜想得出所求角度数即可；

②根据图形猜想得出所求角度数即可；

③猜想得到三角关系，理由为：

延长AE与DC交于F点，由AB与DC平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，再利用外角性质及等量代换即可得证；

（2）分四个区域分别找出三个角关系即可．

解答：

（1）①∠AED=70°；

②∠AED=80°；

③猜想：

∠AED=∠EAB+∠EDC，

证明：

延长AE交DC于点F，

∵AB∥DC，

∴∠EAB=∠EFD，

∵∠AED为△EDF的外角，

∴∠AED=∠EDF+∠EFD=∠EAB+∠EDC；

（2）根据题意得：

点P在区域①时，∠EPF=360°﹣（∠PEB+∠PFC）；

点P在区域②时，∠EPF=∠PEB+∠PFC；

点P在区域③时，∠EPF=∠PEB﹣∠PFC；

点P在区域④时，∠EPF=∠PFC﹣∠PEB．

点评：

此题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键．