抛物线压轴题文档格式.docx
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〔1〕当销售单价定为每千克55元时,计算月销售量和月销售利润;
〔2〕设销售单价为每千克x元,月销售利润为y元,求y与x之间的函数关系式;
〔3〕商店想在月销售本钱不超过10000元的情况下,使得月销售利润到达5000元,销售单价应定为多少?
4.如图,抛物线y=-x
+4x+5交x轴于A、B〔以A左B右)两点,交y轴于点C.
(1)求直线BC的解析式;
(2)点P为抛物线第一象限函数图象上一点,设P点的横坐标为m,△PBC的面积为S,求S与m的函数关系式;
(3)在
(2)的条件下,连接AP,抛物线上是否存在这样的点P,使得线段PA被BC平分,如果不存在,请说明理由;
如果存在,求点P的坐标.
5.某商品的进价为每件50元,售价为每件60元,每个月可卖出200件;
如果每件商品的售价每上涨1元.那么每个月少卖10件。
设每件商品的售价上涨x元(x为正整数),每个月的销售利润为y元.
(1)求y与x的函数关系式
(2)每件商品的售价定为多少元时,每个月可获得最大利润?
最大的月利润是多少元?
(3)假设每个月的利润不低于2160元,售价应在什么围?
6.如图,抛物线y=x2-1与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C.
〔1〕求A、B、C三点的坐标.
〔2〕过点A作AP∥CB交抛物线于点P,求四边形ACBP的面积.
〔3〕在
轴上方的抛物线上是否存在一点M,过M作MG
轴于点G,使以A、M、G三点为顶点的三角形与
PCA相似.假设存在,请求出M点的坐标;
否那么,请说明理由.
7.某农户生产经销一种农副产品,这种产品的本钱价为20元/千克.市场调查发现,该产品每天的销售量w〔千克〕与销售价x〔元/千克〕有如下关系:
w=﹣2x+80.设这种产品每天的销售利润为y〔元〕.
〔1〕求y与x之间的函数关系式,自变量x的取值围;
〔2〕当销售价定为多少元时,每天的销售利润最大?
最大利润是多少?
〔3〕如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元/千克,该农户想要每天获得150元的销售利润,销售价应定为多少元?
〔参考关系:
销售额=售价×
销量,利润=销售额﹣本钱〕
参数答案
1.〔1〕600;
〔2〕30;
〔3〕500.
【解析】
试题分析:
〔1〕根据销售额=销售量×
销售单价,列出函数关系式;
〔2〕用配方法将〔2〕的函数关系式变形,利用二次函数的性质求最大值;
〔3〕把y=3000代入〔2〕的函数关系式中,解一元二次方程求x,根据x的取值围求x的值.
试题解析:
⑴当x=20时,y=-10x+500=-10×
20+500=300,
300×
(12-10)=300×
2=600,
即政府这个月为他承当的总差价为600元.
⑵依题意得,W=(x-10)(-10x+500)=-10x2+600x-5000=-10(x-30)2+4000
∵a=-10<0,∴当x=30时,W有最大值4000.
即当销售单价定为30元时,每月可获得最大利润4000元.
⑶由题意得:
-10x2+600x-5000=3000,解得:
x1=20,x2=40.
∵a=-10<0,抛物线开口向下,
∴结合图象可知:
当20≤x≤40时,W≥3000.
又∵x≤25,
∴当20≤x≤25时,W≥3000.
设政府每个月为他承当的总差价为p元,
∴p=(12-10)×
(-10x+500)
=-20x+1000.
∵k=-20<0.
∴p随x的增大而减小,∴当x=25时,p有最小值500.
即销售单价定为25元时,政府每个月为他承当的总差价最少为500元.
考点:
二次函数的应用.
2.〔1〕直线BD的解析式为:
y=﹣x+3,抛物线的解析式为:
y=x2﹣4x+3;
〔2〕满足条件的点N坐标为:
〔0,0〕,〔﹣3,0〕或〔0,﹣3〕;
〔3〕在抛物线上存在点P,使S△PBD=6,点P的坐标为〔4,3〕或〔﹣1,8〕.
〔1〕由待定系数法求出直线BD和抛物线的解析式;
〔2〕首先确定△MCD为等腰直角三角形,因为△BND与△MCD相似,所以△BND也是等腰直角三角形.如答图1所示,符合条件的点N有3个;
〔3〕如答图2、答图3所示,解题关键是求出△PBD面积的表达式,然后根据S△PBD=6的条件,列出一元二次方程求解.
〔1〕∵直线l:
y=3x+3与x轴交于点A,与y轴交于点B,
∴A〔﹣1,0〕,B〔0,3〕;
∵把△AOB沿y轴翻折,点A落到点C,∴C〔1,0〕.
设直线BD的解析式为:
y=kx+b,
∵点B〔0,3〕,D〔3,0〕在直线BD上,
∴
,
解得k=﹣1,b=3,
∴直线BD的解析式为:
y=﹣x+3.
设抛物线的解析式为:
y=a〔x﹣1〕〔x﹣3〕,
∵点B〔0,3〕在抛物线上,
∴3=a×
〔﹣1〕×
〔﹣3〕,
解得:
a=1,
∴抛物线的解析式为:
y=〔x﹣1〕〔x﹣3〕=x2﹣4x+3;
〔2〕抛物线的解析式为:
y=x2﹣4x+3=〔x﹣2〕2﹣1,
∴抛物线的对称轴为直线x=2,顶点坐标为〔2,﹣1〕.
直线BD:
y=﹣x+3与抛物线的对称轴交于点M,令x=2,得y=1,
∴M〔2,1〕.
设对称轴与x轴交点为点F,那么CF=FD=MF=1,
∴△MCD为等腰直角三角形.
∵以点N、B、D为顶点的三角形与△MCD相似,
∴△BND为等腰直角三角形.
如答图1所示:
〔I〕假设BD为斜边,那么易知此时直角顶点为原点O,
∴N1〔0,0〕;
〔II〕假设BD为直角边,B为直角顶点,那么点N在x轴负半轴上,
∵OB=OD=ON2=3,
∴N2〔﹣3,0〕;
〔III〕假设BD为直角边,D为直角顶点,那么点N在y轴负半轴上,
∵OB=OD=ON3=3,
∴N3〔0,﹣3〕.
∴满足条件的点N坐标为:
〔3〕假设存在点P,使S△PBD=6,设点P坐标为〔m,n〕.
〔I〕当点P位于直线BD上方时,如答图2所示:
过点P作PE⊥x轴于点E,那么PE=n,DE=m﹣3.
S△PBD=S梯形PEOB﹣S△BOD﹣S△PDE=
〔3+n〕•m﹣
×
3×
3﹣
〔m﹣3〕•n=6,
化简得:
m+n=7①,
∵P〔m,n〕在抛物线上,
∴n=m2﹣4m+3,
代入①式整理得:
m2﹣3m﹣4=0,
m1=4,m2=﹣1,
∴n1=3,n2=8,
∴P1〔4,3〕,P2〔﹣1,8〕;
〔II〕当点P位于直线BD下方时,如答图3所示:
过点P作PE⊥y轴于点E,那么PE=m,OE=﹣n,BE=3﹣n.
S△PBD=S梯形PEOD+S△BOD﹣S△PBE=
〔3+m〕•〔﹣n〕+
〔3﹣n〕•m=6,
m+n=﹣1②,
代入②式整理得:
m2﹣3m+4=0,△=﹣7<0,此方程无解.
故此时点P不存在.
综上所述,在抛物线上存在点P,使S△PBD=6,点P的坐标为〔4,3〕或〔﹣1,8〕.
考点:
二次函数综合题.
3.〔1〕450(千克)6750(元)〔2〕y=(x-40)[500-(x-50)×
10]〔3〕90元
解:
(1)月销售量:
500-10×
(55-50)=450(千克),
月销售利润:
(55-40)×
450=6750(元).
(2)y=(x-40)[500-(x-50)×
10].
(3)当y=5000元时,(x-40)[500-(x-50)×
10]=5000.
解得x1=50(舍去),x2=90.当x=50时,40×
500=20000>
10000.
不符合题意舍去.
当x=90时,500-(90-50)×
10=100,40×
100=4000.
销售单价应定为90元.
4.
(1)y=
(2)S=
(3)存在,P(2,9)或P(3,8)
〔1〕令y=0,解关于x的一元二次方程即可得到点A、B的坐标,再令x=0求出点C的坐标,设直线BC解析式为y=kx+b〔k≠0〕,利用待定系数法求一次函数解析式解答;
〔2〕过点P作PH⊥x轴于H,交BC于F,根据抛物线和直线BC的解析式表示出PF,再根据S△PBC=S△PCF+S△PBF整理即可得解;
〔3〕设AP、BC的交点为E,过点E作EG⊥x轴于G,根据垂直于同一直线的两直线平行可得EG∥PH,然后判断出△AGE和△AHP相似,根据相似三角形对应边成比例可表示出EG、HG,然后表示出BG,根据OB=OC可得∠OCB=∠OBC=45°
,再根据等角对等边可得EG=BG,然后列出方程求出m的值,再根据抛物线解析式求出点P的纵坐标,即可得解.
〔1〕当y=0时,x1=5,x2=-1,
∵A左B右,
∴A(-1,0),B(5,O)
当x=0时,y=5,
∴C〔0,5〕,
设直线BC解析式为y=kx+b,
∴直线BC解析式为:
y=
;
(2)作PH⊥x轴于H,交BC于点F,
P(m,-m2+4m+5),F(m,-m+5)
PF=-m2+5m,
S△PBC=S△PCF+S△PBF
S=
∴S=
(3)存在点P,
作EG⊥AB于G,PH⊥AB于H,
∴EG∥PH,
∴△AGE∽△AHP,
∵P(m,-m2+4m+5),
EG=
AH=m-(-1)=m+1,GH=
HB=5-m,GB=
∵OC=OB=5,
∴∠OCB=∠OBC=45°
∴EG=BG,
=
∴m1=2m2=3,
当m=2时,P(2,9),
当m=3时,P(3,8),
∴存在这样的点P,使得线段PA被BC平分,P(2,9)或P(3,8).
5.〔1〕y=-10x2+100x+2000;
〔2〕65,2250;
〔3〕不低于62元且不高于68元且为整数.
〔1〕根据题意,得出每件商品的利润以与商品总的销量,即可得出y与x的函数关系式.
〔2〕根据题意利用配方法得出二次函数的顶点形式,进而得出当x=5时得出y的最大值.
〔3〕设y=2160,解得x的值.然后分情况讨论解.
〔1〕设每件商品的售价上涨x元〔x为正整数〕,
那么每件商品的利润为:
〔60-50+x〕元,
总销量为:
〔200-10x〕件,
商品利润为:
y=〔60-50+x〕〔200-10x〕,
=〔10+x〕〔200-10x〕,
=-10x2+100x+2000.
∵原售价为每件60元,每件售价不能高于72元,
∴0<x≤12且x为正整数;
〔2〕y=-10x2+100x+2000,
=-10〔x2-10x〕+2000,
=-10〔x-5〕2+2250.
故当x=5时,最大月利润y=2250元.
这时售价为60+5=65〔元〕.
〔3〕当y=2160时,-10x2+100x+2000=2160,
x1=2,x2=8.
∴当x=2时,60+x=62,当x=8时,60+x=68.
∴当售价定为每件62或68元,每个月的利润为2160元.
当售价不低于62元且不高于68元且为整数时,每个月的利润不低于2160元.
二次函数的应用.
6.
(1)A〔-1,0〕,B〔1,0〕,C〔0,-1〕;
〔2〕4;
〔3〕〔-2,3〕,〔
〕,〔4,15〕.
〔1〕抛物线与x轴的交点,即当y=0,C点坐标即当x=0,分别令y以与x为0求出A,B,C坐标的值;
〔2〕四边形ACBP的面积=△ABC+△ABP,由A,B,C三点的坐标,可知△ABC是直角三角形,且AC=BC,那么可求出△ABC的面积,根据可求出P点坐标,可知AP的长度,以与点B到直线的距离,从而求出△ABP的面积,那么就求出四边形ACBP的面积;
〔3〕假设存在这样的点M,两个三角形相似,根据题意以与上两题可知,∠PAC∠和∠MGA是直角,只需证明
或
即可.设M点坐标,根据题中所给条件可求出线段AG,CA,MG,CA的长度,然后列等式,分情况讨论,求解.
试题解析:
〔1〕令y=0,
得x2-1=0
解得x=±
1,
令x=0,得y=-1
∴A〔-1,0〕,B〔1,0〕,C〔0,-1〕;
〔2〕∵OA=OB=OC=1,
∴∠BAC=∠ACO=∠BCO=45°
.
∵AP∥CB,
∴∠PAB=45°
过点P作PE⊥x轴于E,那么△APE为等腰直角三角形,
令OE=A,那么PE=A+1,
∴P〔A,A+1〕.
∵点P在抛物线y=x2-1上,
∴A+1=A2-1.
解得A1=2,A2=-1〔不合题意,舍去〕.
∴PE=3.
∴四边形ACBP的面积S=
AB•OC+
AB•PE=
2×
1+
3=4;
〔3〕假设存在
∵∠PAB=∠BAC=45°
∴PA⊥AC
∵MG⊥x轴于点G,
∴∠MGA=∠PAC=90°
在Rt△AOC中,OA=OC=1,
∴AC=
在Rt△PAE中,AE=PE=3,
∴AP=3
设M点的横坐标为m,那么M〔m,m2-1〕
①点M在y轴左侧时,那么m<-1.
〔ⅰ〕当△AMG∽△PCA时,有
∵AG=-m-1,MG=m2-1.
即
解得m1=-1〔舍去〕m2=
〔舍去〕.
〔ⅱ〕当△MAG∽△PCA时有
m=-1〔舍去〕m2=-2.
∴M〔-2,3〕〔10分〕.
②点M在y轴右侧时,那么m>1
〔ⅰ〕当△AMG∽△PCA时有
∵AG=m+1,MG=m2-1
∴M〔
〕.
m1=-1〔舍去〕m2=4,
∴M〔4,15〕.
∴存在点M,使以A、M、G三点为顶点的三角形与△PCA相似
M点的坐标为〔-2,3〕,〔
二次函数综合题.
7.
(1)y=﹣2x2+120x﹣1600,20≤x≤40;
(2)30元/千克,200元;
〔3〕25.
〔1〕根据销售利润y=〔每千克销售价﹣每千克本钱价〕×
销售量w,即可列出y与x之间的函数关系式;
〔2〕先利用配方法将〔1〕的函数关系式变形,再利用二次函数的性质即可求解;
〔3〕先把y=150代入〔1〕的函数关系式中,解一元二次方程求出x,再根据x的取值围即可确定x的值.
〔1〕y=w〔x﹣20〕
=〔x﹣20〕〔﹣2x+80〕
=﹣2x2+120x﹣1600,
那么y=﹣2x2+120x﹣1600.
由题意,有
解得20≤x≤40.
故y与x的函数关系式为:
y=﹣2x2+120x﹣1600,自变量x的取值围是20≤x≤40;
〔2〕∵y=﹣2x2+120x﹣1600=﹣2〔x﹣30〕2+200,
∴当x=30时,y有最大值200.
故当销售价定为30元/千克时,每天可获最大销售利润200元;
〔3〕当y=150时,可得方程﹣2x2+120x﹣1600=150,
整理,得x2﹣60x+875=0,
解得x1=25,x2=35.
∵物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元/千克,∴x2=35不合题意,应舍去.
故当销售价定为25元/千克时,该农户每天可获得销售利润150元.
1.二次函数的应用;
2.一元二次方程的应用.