人教版高中数学必修四重点知识点归纳总结文档格式.docx

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弧度

7．弧长公式

弧长等于弧所相应圆心角（弧度数）绝对值与半径积．

4-1.2.1任意角三角函数（三）

1.三角函数定义

2.诱导公式

当角终边上一点坐标满足时，有三角函数正弦、余弦、正切值几何表达——三角函数线。

1．有向线段：

坐标轴是规定了方向直线，那么与之平行线段亦可规定方向。

规定：

与坐标轴方向一致时为正，与坐标方向相反时为负。

有向线段：

带有方向线段。

2．三角函数线定义：

设任意角顶点在原点，始边与轴非负半轴重叠，终边与单位圆相交与点，

过作轴垂线，垂足为；

过点作单位圆切线，它与角终边或其反向延

长线交与点.

（Ⅰ）

（Ⅱ）

（Ⅳ）

（Ⅲ）

由四个图看出：

当角终边不在坐标轴上时，有向线段，于是有

，，

咱们就分别称有向线段为正弦线、余弦线、正切线。

阐明：

（1）三条有向线段位置：

正弦线为终边与单位圆交点到轴垂直线段；

余弦线在轴上；

正切线在过单位圆与轴正方向交点切线上，三条有向线段中两条在单位圆内，一条在单位圆外。

（2）三条有向线段方向：

正弦线由垂足指向终边与单位圆交点；

余弦线由原点指向垂足；

正切线由切点指向与终边交点。

（3）三条有向线段正负：

三条有向线段凡与轴或轴同向为正值，与轴或轴反向为负值。

（4）三条有向线段书写：

有向线段起点字母在前，终点字母在背面。

4-1.2.1任意角三角函数

（1）

1．三角函数定义

在直角坐标系中，设α是一种任意角，α终边上任意一点（除了原点）坐标为，它与原点距离为，那么

（1）比值叫做α正弦，记作，即；

（2）比值叫做α余弦，记作，即；

（3）比值叫做α正切，记作，即；

（4）比值叫做α余切，记作，即；

①α始边与轴非负半轴重叠，α终边没有表白α一定是正角或负角，以及α大小，只表白与α终边相似角所在位置；

②依照相似三角形知识，对于拟定角α，四个比值不以点在α终边上位置变化而变化大小；

③当时，α终边在轴上，终边上任意一点横坐标都等于，

因此无意义；

同理当时，无意义；

④除以上两种状况外，对于拟定值α，比值、、、分别是一种拟定实数，

正弦、余弦、正切、余切是以角为自变量，比值为函数值函数，以上四种函数统称为三角函数。

函数

定义域

值域

2．三角函数定义域、值域

注意：

（1）在平面直角坐标系内研究角问题，其顶点都在原点，始边都与x轴非负半轴重叠.

（2）α是任意角，射线OP是角α终边，α各三角函数值（或与否故意义）与ox转了几圈，按什么方向旋转到OP位置无关.

（3）sin是个整体符号，不能以为是“sin”与“α”积.别的五个符号也是这样.

（4）任意角三角函数定义与锐角三角函数定义联系与区别:

锐角三角函数是任意角三角函数一种特例，它们基本共建立于相似（直角）三角形性质，“r”同为正值.所不同是，锐角三角函数是以边比来定义，任意角三角函数是以坐标与距离、坐标与坐标、距离与坐标比来定义,它也适合锐角三角函数定义.实质上，由锐角三角函数定义到任意角三角函数定义是由特殊到普通结识和研究过程.

（5）为了便于记忆，咱们可以运用两种三角函数定义一致性，将直角三角形置于平面直角坐标系第一象限，使一锐角顶点与原点重叠，始终角边与x轴非负半轴重叠，运用咱们熟悉锐角三角函数类比记忆.

3．例题分析

例1．求下列各角四个三角函数值：

（通过本例总结特殊角三角函数值）

（1）；

（2）；

（3）．

解：

（1）由于当时，，，因此

，，，不存在。

（2）由于当时，，，因此

，，，不存在，

（3）由于当时，，，因此

，，不存在，，

例2．已知角α终边通过点，求α四个函数值。

由于，因此，于是

．

例3．已知角α终边过点，求α四个三角函数值。

由于过点，因此，

当；

．

4．三角函数符号

由三角函数定义，以及各象限内点坐标符号，咱们可以得知：

①正弦值对于第一、二象限为正（），对于第三、四象限为负（）；

②余弦值对于第一、四象限为正（），对于第二、三象限为负（）；

③正切值对于第一、三象限为正（同号），对于第二、四象限为负（异号）．

若终边落在轴线上，则可用定义求出三角函数值。

5．诱导公式

由三角函数定义，就可懂得：

终边相似角三角函数值相似。

即有：

，

，其中．

这组公式作用是可把任意角三角函数值问题转化为0～2π间角三角函数值问题．

4-1.2.2同角三角函数基本关系

（一）同角三角函数基本关系式：

1.由三角函数定义，咱们可以得到如下关系：

（1）商数关系：

（2）平方关系：

①注意“同角”，至于角形式无关重要，如等；

②注意这些关系式都是对于使它们故意义角而言，如

③对这些关系式不但要牢固掌握，还要能灵活运用（正用、反用、变形用），如：

，，等。

总结：

1.已知一种角某一种三角函数值，便可运用基本关系式求出其他三角函数值。

在求值中，拟定角终边位置是核心和必要。

有时，由于角终边位置不拟定，因而解状况不止一种。

2.解题时产生漏掉重要因素是：

①没有拟定好或不去拟定角终边位置；

②运用平方关系开平方时，漏掉了负平方根。

小结：

化简三角函数式，化简普通规定是：

（1）尽量使函数种类至少，项数至少，次数最低；

（2）尽量使分母不含三角函数式；

（3）根式内三角函数式尽量开出来；

（4）能求得数值应计算出来，另一方面要注旨在三角函数式变形时，常将式子中“1”作巧妙变形，

1．3诱导公式

1、诱导公式（五）

2、诱导公式（六）

总结为一句话：

函数正变余，符号看象限

①三角函数简化过程图：

②三角函数简化过程口诀：

负化正，正化小，化到锐角就行了.

1.4.1正弦、余弦函数图象

1、用单位圆中正弦线、余弦线作正弦函数、余弦函数图象（几何法）：

为了作三角函数图象，三角函数自变量要用弧度制来度量，使自变量与函数值都为实数

（1）函数y=sinx图象

第一步：

在直角坐标系x轴上任取一点，觉得圆心作单位圆，从这个圆与x轴交点A起把圆提成n（这里n=12）等份.把x轴上从0到2π这一段提成n（这里n=12）等份.（预备：

取自变量x值—弧度制下角与实数相应）.

第二步：

在单位圆中画出相应于角，，,…，2π正弦线正弦线（等价于“列表”）.把角x正弦线向右平行移动，使得正弦线起点与x轴上相应点x重叠，则正弦线终点就是正弦函数图象上点（等价于“描点”）.

第三步：

连线.用光滑曲线把这些正弦线终点连结起来，就得到正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]图象．

依照终边相似同名三角函数值相等，把上述图象沿着x轴向右和向左持续地平行移动，每次移动距离为2π，就得到y=sinx，x∈R图象.

把角x正弦线平行移动，使得正弦线起点与x轴上相应点x重叠，则正弦线终点轨迹就是正弦函数y=sinx图象.

（2）余弦函数y=cosx图象

依照诱导公式,可以把正弦函数y=sinx图象向左平移单位即得余弦函数y=cosx图象.

正弦函数y=sinx图象和余弦函数y=cosx图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线．

2．用五点法作正弦函数和余弦函数简图（描点法）：

正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]图象中，五个核心点是：

（0,0）（,1）（π,0）（,-1）（2π,0）

余弦函数y=cosxx∈[0,2π]五个点核心是哪几种？

（0,1）（,0）（π,-1）（,0）（2π,1）

1.4.2正弦、余弦函数性质

（一）

1．周期函数定义：

对于函数f（x），如果存在一种非零常数T，使得当x取定义域内每一种值时，均有：

f（x+T）=f（x）那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数周期。

问题：

（1）对于函数，有，能否说是它周期？

（2）正弦函数，是不是周期函数，如果是，周期是多少？

（，且）

（3）若函数周期为，则，也是周期吗？

为什么？

（是，其原由于：

）

2、阐明：

1︒周期函数x∈定义域M，则必有x+T∈M，且若T>

0则定义域无上界；

T<

0则定义域无下界；

2︒“每一种值”只要有一种反例，则f（x）就不为周期函数（如f（x0+t）≠f（x0））

3︒T往往是多值（如y=sinx2π,4π,…,-2π,-4π,…都是周期）周期T中最小正数叫做f（x）最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）y=sinx，y=cosx最小正周期为2π（普通称为周期）从图象上可以看出，；

，最小正周期为；

判断：

是不是所有周期函数均有最小正周期？

（没有最小正周期）

（1）普通结论：

函数及函数，（其中为常数，且，）周期；

（2）若，如：

①；

②；

③，．

则这三个函数周期又是什么？

普通结论：

函数及函数，周期

1.4.2

（2）正弦、余弦函数性质

（二）

1.奇偶性

（1）余弦函数图形

当自变量取一对相反数时，函数y取同一值。

（2）正弦函数图形

2.单调性

从y＝sinx，x∈［－］图象上可看出：

当x∈［－，］时，曲线逐渐上升，sinx值由－1增大到1.

当x∈［，］时，曲线逐渐下降，sinx值由1减小到－1.

结合上述周期性可知：

正弦函数在每一种闭区间［－＋2kπ，＋2kπ］（k∈Z）上都是增函数，其值从－1增大到1；

在每一种闭区间［＋2kπ，＋2kπ］（k∈Z）上都是减函数，其值从1减小到－1.

余弦函数在每一种闭区间［（2k－1）π，2kπ］（k∈Z）上都是增函数，其值从－1增长到1；

在每一种闭区间［2kπ，（2k＋1）π］（k∈Z）上都是减函数，其值从1减小到－1.

3.关于对称轴

观测正、余弦函数图形，可知

y=sinx对称轴为x=k∈Zy=cosx对称轴为x=k∈Z

1.4.3正切函数性质与图象

1．正切函数定义域

2．正切函数是周期函数

，

∴是一种周期。

是不是正切函数最小正周期？

下面作出正切函数图象来判断。

3．作，图象

（1）正切函数最小正周期不能比小，正切函数最小正周期是；

（2）依照正切函数周期性，把上述图象向左、右扩展，得到正切函数

，且图象，称“正切曲线”。

x

（3）正切曲线是由被互相平行直线所隔开无穷多支曲线构成。

4．正切函数性质

（1）定义域：

（2）值域：

R观测：

当从不大于，时，

当从不不大于，时，。

（3）周期性：

（4）奇偶性：

由知，正切函数是奇函数；

（5）单调性：

在开区间内，函数单调递增。

1.5函数y=Asin（ωx+φ）图象

（二）

函数表达一种振动量时：

A：

这个量振动时离开平衡位置最大距离，称为“振幅”.

T：

f：

称为“相位”.

x=0时相位，称为“初相”.

2.1.1向量物理背景与概念及向量几何表达

（一）向量概念：

咱们把既有大小又有方向量叫向量。

1、数量与向量区别：

数量只有大小，是一种代数量，可以进行代数运算、比较大小；

向量有方向，大小，双重性，不能比较大小.

2.向量表达办法：

①用有向线段表达；

②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表达；

③用有向线段起点与终点字母：

④向量大小―长度称为向量模，记作||.

3.有向线段：

具备方向线段就叫做有向线段，三个要素：

起点、方向、长度.

向量与有向线段区别：

（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相似，这两个向量就是相似向量；

（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相似，也是不同有向线段.

4、零向量、单位向量概念：

①长度为0向量叫零向量，记作0.0方向是任意.注意0与0含义与书写区别.

②长度为1个单位长度向量，叫单位向量.

零向量、单位向量定义都只是限制了大小.

5、平行向量定义：

①方向相似或相反非零向量叫平行向量；

②咱们规定0与任从来量平行.

（1）综合①、②才是平行向量完整定义

（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ.

2.1.2相等向量与共线向量

1、相等向量定义：

长度相等且方向相似向量叫相等向量.

（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；

（2）零向量与零向量相等；

（3）任意两个相等非零向量，都可用同一条有向线段表达，并且与有向线段起点无关.

2、共线向量与平行向量关系：

平行向量就是共线向量，由于任一组平行向量都可移到同始终线上（与有向线段起点无关）.

（1）平行向量可以在同始终线上，要区别于两平行线位置关系；

（2）共线向量可以互相平行，要区别于在同始终线上线段位置关系.

2.2.1向量加法运算及其几何意义

１、向量加法：

求两个向量和运算，叫做向量加法.

２、三角形法则（“首尾相接，首尾连”）

如图，已知向量a、ｂ.在平面内任取一点，作＝a，＝ｂ，则向量叫做a与ｂ和，记作a＋ｂ，即a＋ｂ，规定：

a+0-=0+a

（1）两向量和仍是一种向量；

（2）当向量与不共线时：

当向量与不共线时，+方向不同向，且|+|<

||+||；

当与同向时，则+、、同向，且|+|=||+||，

当与反向时，若||>

||，则+方向与相似，且|+|=||-||；

若||<

||，则+方向与相似，且|+b|=||-||.

（3）“向量平移”（自由向量）：

使前一种向量终点为后一种向量起点，可以推广到n个向量连加

3．加法互换律和平行四边形法则

1）向量加法平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）

2）向量加法互换律：

+=+

六、备用习题思考：

你能用向量加法证明：

两条对角线互相平分四边形是平行四边形吗？

2.2.2向量减法运算及其几何意义

1．用“相反向量”定义向量减法

（1）“相反向量”定义：

与a长度相似、方向相反向量.记作-a

（2）规定：

零向量相反向量仍是零向量.-（-a）=a.

任从来量与它相反向量和是零向量.a+（-a）=0

如果a、b互为相反向量，则a=-b，b=-a，a+b=0

（3）向量减法定义：

向量a加上b相反向量，叫做a与b差.

即：

a-b=a+（-b）求两个向量差运算叫做向量减法.

2．用加法逆运算定义向量减法：

向量减法是向量加法逆运算：

若b+x=a，则x叫做a与b差，记作a-b

3．

求作差向量：

已知向量a、b，求作向量a-b

∵（a-b）+b=a+（-b）+b=a+0=a

作法：

在平面内取一点O，

作=a，=b则=a-b

即a-b可以表达为从向量b终点指向向量a终点向量.

注意：

1︒表达a-b.强调：

差向量“箭头”指向被减数

2︒用“相反向量”定义法作差向量，a-b=a+（-b）

平面向量基本定理、平面向量正交分解和坐标表达及运算

1.

（1）咱们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表达这一平面内所有向量一组基底；

（2）基底不惟一，核心是不共线；

（3）由定理可将任从来量a在给出基底ｅ１、ｅ２条件下进行分解；

（4）基底给定期，分解形式惟一.λ1，λ2是被，，唯一拟定数量

2．向量夹角:

已知两个非零向量、，作，，则∠AOB＝，叫向量、夹角，当=0°

，、同向，当=180°

，、反向，当=90°

，与垂直，记作⊥。

3．平面向量坐标表达

（1）正交分解：

把向量分解为两个互相垂直向量。

如图，在直角坐标系内，咱们分别取与轴、轴方向相似两个单位向量、作为基底.任作一种向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得

…………

咱们把叫做向量（直角）坐标，记作…………

其中叫做在轴上坐标，叫做在轴上坐标，

式叫做向量坐标表达.与相等向量坐标也为.特别地，，，.

如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作，则点位置由唯一拟定.

设，则向量坐标就是点坐标；

反过来，点坐标也就是向量坐标.因而，在平面直角坐标系内，每一种平面向量都是可以用一对实数唯一表达.

2．3．3平面向量坐标运算

1．平面向量坐标运算

（1）若，，则，

两个向量和与差坐标分别等于这两个向量相应坐标和与差.

（2）若和实数，则.

实数与向量积坐标等于用这个实数乘本来向量相应坐标.

设基底为、，则，即

实数与向量积坐标等于用这个实数乘本来向量相应坐标。

（3）若，，则

=-=（x2，y2）-（x1，y1）=（x2-x1，y2-y1）

一种向量坐标等于表达此向量有向线段终点坐标减去始点坐标.

2.4.1平面向量数量积物理背景及其含义

1．平面向量数量积（内积）定义：

已知两个非零向量ａ与ｂ，它们夹角是θ，

则数量|a||b|cosθ叫ａ与ｂ数量积，记作a⋅b，即有a⋅b=|a||b|cosθ，（0≤θ≤π）.

并规定0向量与任何向量数量积为0.

（1）两个向量数量积是一种实数，不是向量，符号由cosθ符号所决定.

（2）两个向量数量积称为内积，写成a⋅b；

此后要学到两个向量外积a×

b，而a⋅b是两个向量数量积，书写时要严格区别.符号“·

”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×

”代替.

（3）在实数中，若a≠0，且a⋅b=0，则b=0；

但是在数量积中，若a≠0，且a⋅b=0，不能推出b=0.由于其中cosθ有也许为0.

（4）已知实数a、b、c（b≠0），则ab=bc⇒a=c.但是a⋅b=b⋅ca=c

如右图：

a⋅b=|a||b|cosβ=|b||OA|，b⋅c=|b||c|cosα=|b||OA|

⇒a⋅b=b⋅c但a≠c

（5）在实数中，有（a⋅b）c=a（b⋅c），但是（a⋅b）c≠a（b⋅c）

显然，这是由于左端是与c共线向量，而右端是与a共线向量，而普通a与c不共线.

2．“投影”概念：

作图

定义：

|b|cosθ叫做向量b在a方向上投影.投影也是一种数量，不是向量；

当θ为锐角时投影为正值；

当θ为钝角时投影为负值；

当θ为直角时投影为0；

当θ=0︒时投影为|b|；

当θ=180︒时投影为-|b|.

3．向量数量积几何意义：

数量积a⋅b等于a长度与b在a方向上投影|b|cosθ乘积.

两个向量数量积性质：

设a、b为两个非零向量，

1、a⊥b⇔a⋅b=0

2、当a与b同向时，a⋅b=|a||b|；

当a与b反向时，a⋅b=-|a||b|.

特别a⋅a=|a|2或|a⋅b|≤|a||b|cosθ=

平面向量数量积运算律:

1．互换律：

a⋅b=b⋅a

证：

设a，b夹角为θ，则a⋅b=|a||b|cosθ，b⋅a=|b||a|cosθ∴a⋅b=b⋅a

2．数乘结合律：

（a）⋅b=（a⋅b）=a⋅（b）

若>

0，（a）⋅b=|a||b|cosθ，（a⋅b）=|a||b|cosθ，a⋅（b）=|a||b|cosθ，

若<

0，（a）⋅b=|a||b|cos（π-θ）=-|a||b|（-cosθ）=|a||b|cosθ，（a⋅b）=|a||b|cosθ，a⋅（b）=|a||b|cos（π-θ）=-|a||b|（-cosθ）=|a||b|cosθ.

3．分派律：

（a+b）⋅c=a⋅c+b⋅c

在平面内取一点O，作=a，=b，=c，∵a+b（即）在c方向上投影等于a、b在c方向上投影和，即|a+b|cosθ=|a|cosθ1+|b|cosθ2

∴|c||a+b|cosθ=|c||a|cosθ1+|c||b|cosθ2，∴c⋅（a+b）=c⋅a+c⋅b即：

（1）普通地，（ａ·

ｂ）с≠ａ（ｂ·

с）

（2）ａ·

с＝ｂ·

с，с≠0ａ＝ｂ

（3）有如下惯用性质：

ａ２＝｜ａ｜２，

（ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａ·

с＋ａ·

ｄ＋ｂ·

с＋ｂ·

ｄ

2.4.2平面向量数量积坐标表达、模、夹角

1、平面两向量数量积坐标表达

两个向量数量积等于它们相应坐标乘积和.即

2.平面内两点间距离公式

（1）设，则或.

（2）如果表达向量有向线段起点和终点坐标分别为、，

那么（平面内两点间距离公式）

3．向量垂直鉴定

设，，则

4．两向量夹角余弦（）

cosθ=

2.5.1平面几何中向量办法

运用向量办法解决平面几何问题“三步曲”：

（1）建立平面几何与向量联系，用向量表达问题中涉及几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；

（2）通过向量运算，研究几何元素之间关系，如距离、夹角等问题；

（3）把运算成果“翻译”成几何关系.

3.1.1两角差余弦公式

两角差余弦公式：

3.1.2两角和与差正弦、余弦、正切公式

（分式分子、分母同步除以，得到．

将、、称为和角公式，、、称为差角公式。

3.1.3二倍角正弦、余弦和正切公式

公式推导：

变形：

3.2简朴三角恒等变换

（一）

代数式变换往往着眼于式子构造形式变换．对于三角变换，由于不同三角函数式不但会有构造形式方面差别，并且还会有所包括角，以及这些角三角函数种类方面差别，因而三角恒等变换经常一方面寻找式子所包括各个角之间联系，这是三角式恒等变换重要特点．

3.2简朴三角恒等变换

（二）

（1）二倍角公式：

（2）二倍角变式：

（3）三角变形技巧和代数变形技巧

常用三角变形技巧有

①切割化弦；

②“1”变用；

③统一角度，统一