七年级下第五章.docx

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七年级下第五章

第五章整式的乘除教案

第5.1节同底数幂的乘法

一、背景介绍及教学资料

本章教材是在七（上）有理数的运算和代数式中整式加减的基础上，通过引入同底数幂相乘，幂的乘方，积的乘方，同底数幂的除法法则，建立整式的乘除法运算，依据新课标，乘法公式要求有所降低，故不再单独设章，一同在本章学习，突显整体性和特殊与一般的统一。

整式乘除是整式运算的重要组成部分，是数与代数的重要基础知识。

如解方程时总要用到整式的恒等变形，同时也是以后学习因式分解、分式、根式、函数等知识的基础。

毛

本节要学习的同底数幂相乘、幂的乘方和积的乘方三个运算法则是整式乘法的主要依据，教学时应夯实基础。

二、教学设计

第1课时

【教学内容分析】

本节课通过合作探究得到同底数幂的乘法法则，该法则是整式乘法的基础。

【教学目标】

1、理解同底数幂的乘法法则的由来，掌握同底数幂相乘的乘法法则；

2、学会并熟练地运用同底数幂的乘法法则进行计算；

3、在探究“性质”的过程中，培养学习观察，概括与抽象的能力。

【教学重点、难点】

重点是同底数幂的乘法法则及其灵活应用。

难点是理解同底数幂的乘法法则是由乘法的概念加以具体到抽象的概括抽象过程。

【教学准备】

展示课件。

【教学过程】

教学过程

设计说明

一、创设情景，引出课题

情景：

学生观察节前语，教师提出问题：

太阳系外的第100颗行星与地球之间的距离约多少km？

师生共同列式为：

102×3×105×3×107＝9×102×105×107＝9×（102×105×107）

那：

102×105×107等于多少呢？

进而引出本节课题。

二、合作学习，建立模型

1、要求各学习小组合作探究

23×22＝

102×105＝

a4×a3＝

2m×2n＝

2、展示合作学习的成果，加深对幂的意义的理解，总结得到：

23×22＝（2×2×2）×（2×2）＝2×2×2×2×2＝25＝23+2

……

3、形成法则

启发学生探求规律，设疑归纳am·an＝进而形成法则am·an＝am+n（m，n都是正整数）即同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

4、引导学生剖析法则

（1）等号左边是什么运算？

（2）等号两边的底数有什么关系？

（3）等号两边的指数有什么关系？

（4）公式中的底数a可以表示什么？

（5）当三个以上同底数幂相乘时，上述法则成立吗？

三、应用新知，体验成功

1、试一试求：

①78×73

②（-2）8×（-2）7

③x3·x5

④（a-b）2·（a-b）

⑤102×105×107

2、做一做：

①3×33

②105×105

③（-3）2×（-3）3

④am·an·at

⑤a·a3

⑥a＋a＋a

3、分析讲解课本例2。

四、变式训练，激发情智

1、下面计算否正确？

若不正确请加以纠正。

①a3·a2＝a6②a2+a3＝a5

③x5+x5＝x10④x3·x3·x3＝3x3

⑤b4·b4＝2b4⑥y7·y＝y8

2、化简（s-t）2·（t-s）·[-（t-s）3]

五、课内练习，反馈评价

评见教材的课内练习，要求学生说明每一步计算的理由。

六、归纳小结，充实结构

由学生讲今天这堂课学到了什么东西。

同底数幂相乘的运算法则，能用式子表示，也能用语言叙述。

明确了几个须注意的地方：

（1）在计算时不能直接写出结果

（2）不能把同底数幂相乘的运算法则和其它法则混淆。

（3）进一步了解从特殊到一般和从一般到特殊的重要思想。

七、知识留恋，课后韵味

布置作业：

课本后附的作业题。

教材从天文中的有趣问题引入同底数幂的乘法运算，学生在探索这个问题的过程中，将自然地体会同底数幂运算的必要性，了解数学与其他学科的联系。

在乘方意义的基础上，学生可以开展合作探究，采用合作学习，更易使学生体会知识的形成过程。

直接采用试一试，不讲解例题，在学生理解公式的基础上，急于体验成功的情绪下予以尝试，易激发兴趣，同时在纠错过程中更深刻领会法则、理解法则。

在教材做一做的基础上，增添⑤，目的是学生理解a的指数是1；增添⑥，是因为在笔者的教学实践中发现学生极易将出现a+a+a＝a3的错误。

设置例2，使学生体会到运用同底数幂的运算性质可以解决一些实际问题，又可进一步让学生感受大数目，发展数感。

设置1，为了理清法则，辨别中求真知。

设置2，为了学会转化和提高。

通过鼓励，合作交流，及时反思自己的解题过程，达到掌握的目的。

在教师的引导下，学生自主进行归纳、能够使所学的知识及时地纳入学生的认知结构。

这里教师适时的修正、补充、强调也必不可少。

【设计思想】

1、整个设计突出体现学生的参与意识，让学生在运算的过程中发现运算法则。

学生不是被动接受现成的书本知识，而是在经验过程中主动探索，发现经验中事物之间的联系过程。

2、设计体现了从特殊到一般，再从一般到特殊的重要数学思想，这有利于学生养成良好的思维习惯。

3、设计了判断题和变式题，有利于避免错误并通过此来提高认识。

5.1节第2课时

【教学内容分析】

本节课通过合作探究得到幂的乘方法则，进而运用该法则进行计算。

【教学目标】

1、经历探索幂的乘方的法则，进一步体会幂的意义，发展推理能力和有条理的表达能力，培养从特殊到一般，从具体到抽象的逐步概括抽象的认识能力。

2、了解幂的乘方的运算法则，并能利用法则进行计算和解决一些实际问题。

【教学重点、难点】

重点是法则的探索过程和法则的灵活应用。

难点是幂的乘方与同底数幂相乘的混合运算。

【教学准备】

展示课件。

【教学过程】

教学过程

设计说明

一、回顾与思考

1、学习

（1）幂的意义a·a·……a=an

n个a相乘

（2）同底数幂的相乘法则am·an=am+n（m，n都是正整数）

二、创设情景，导入课题

1、课件展示乒乓球和足球的图片，先让学生直观体会两个球体的体积的大小的悬殊比例，然后让他们猜想足球的体积大约是乒乓球体积的多少倍？

同学讨论、交流。

最后，告诉他们足球的半径是乒乓球半径的几倍，让他们算足球的体积是乒乓球体积的多少倍？

而导入新课。

2、，从计算的结果我们看出：

球体的体积与半径的大小有着紧密的联系，如果甲球的半径是乙球的n倍，那么甲球的体积是乙球的体积n3倍。

地球、木星、太阳可以近似地看成球体，木星、太阳的半径分别约为地球的10倍和102倍，它们的体积约是地球的多少倍？

学生独立思考后回答：

木星的体积是地球的体积的103倍，而太阳的体积则是地球的体积的（102）3。

你知道（102）3到底是多少倍吗？

猜想一下，并说明你的理由。

半径扩大的倍数与体积扩大的倍数哪个变化更大？

这节课我们共同研究“幂的乘方”。

三、合作学习，建立模型

1、做一做

计算下列各式，并说明理由

（1）（102）3

（2）（34）2

（3）（a3）5（4）（am）n

由学生合作完成，探索幂的乘方的法则的归纳过程，经小组讨论，交流各自的想法，看看别人是怎么运算出结果的，和自己的想法有何区别，最后指名让小组代表说自己的想法和运算过程及运算结果。

师生共同归纳为：

（1）（102）3＝102×102×102（根据幂的意义）

＝102＋2＋2（根据同底幂相乘法则）

＝102×3

（2）（34）2＝34×34＝34＋4＝34×2=38

（3）（a3）5＝a3·a3·a3·a3·a3＝a3＋3＋3＋3＋3

＝a3×5＝a15

n个

（4）（am）n＝am·am·am……am（幂的意义）

n个

＝am＋m＋…＋m（同底数幂相乘的法则）

＝amn（乘法的意义）

2、总结法则

（am）n＝amn（m，n都是正整数）

幂的乘方，底数不变，指数相乘。

3、想一想（小组讨论）

（am）n＝与（an）m相等吗？

为什么？

四、应用新知，体验成功

1、例3：

计算下列各式，采用幂的形式表示

（1）（107）3

（2）（a4）8（3）[（-x）6]3

（4）-（x2）m（5）（x3）4·（x2）5

（6）2（a2）6-（a3）4

解：

（1）（107）3＝107×3＝1021

（2）（a4）8＝a4×8＝a32

（3）[（-x）6]3＝（-x）6×3＝（-x）18＝x18

（4）-（x2）m＝-x2m

（5）（x3）4·（x2）5＝x3×4·x2×5＝x12·x10

＝x12＋10＝x22

（6）2（a2）6-（a3）4＝2a2×6-a3×4＝2a12-a12＝a12

2、课内练习

详见教材P115页

1、口答；2、改错；3、计算

五、探索挑战，激发情智

1、探究活动

教材P116探究活动，探究魔方

2、智能挑战

在255，344，433，522，这四个幂的数值中，最大的一个是344

六、归纳小结，充实结构

1、今天收获1，2，3……

2、结构

幂

的

意

义

七、知识留恋，课后韵味

布置作业：

课本后附作业题

充分的复习回顾与本节课有联系的认识，便于建构新知和理解法则之间的联系，对建构正确的模型大有好处。

设计从实际问题引入幂的乘方运算，学生在探索这个问题的过程中，将自然地体会幂的乘方运算的必要性，了解数学与现实世界的联系。

做一做的目的，是使学生通过对特例的考察，归纳幂的乘方的运算性质，并运用幂的意义加以说明，在此过程中，学生进一步体会了幂的意义，发展了归纳，符号演算等推理能力和有条理的表达能力。

推导法则时，显示理由，更能使学生进一步体会幂的意义。

通过小组讨论，更能辨别法则。

增添（4），是为了使学生对符号和底数有进一步的认识。

增添（6），提高综合运用的能力。

通过改错纠正，反思做题过程，深入理解法则的意义，达到融洽贯通。

魔方的探究能激起学生浓厚的学习兴趣，进一步体会幂的乘方法则。

挑战性问题能激发学生情智，从最近发展区理论出发，适当设置本课内容相关的挑战性问题对发展学生主动探索能力大有裨益。

开放式小结，充分地调动每一个学生的积极性

在小结中形式知识结构，便于学生理解和掌握。

【设计思想】

1、这节课开始就展示了三张有趣的照片，让同学深刻体会到幂的乘方运算结果变化之大，增加了对幂的乘方的学习兴趣，然后又通过“做一做”了解幂的乘方运算法则的生成过程，通过让学生大胆发言阐述自己的理由，通过学生亲自动手动脑更深刻体会到如何进行积的乘方运算。

2、这节课的设计主要体现课改精神中的：

探索、交流、合作精神，鼓励学生在自主探究中理解知识的生成过程。

5.1节第3课时

【教学内容分析】

本节课通过合作探究得到积的乘方法则，进而能灵活运用该法则进行应用和计算。

【教学目标】

1、经历探索积的乘方的法则，进一步体会幂的意义，发展推理能力和有条理的表达能力，培养从特殊到一般，从具体到抽象的逐步概括抽象的认识能力。

2、了解积的乘方的运算法则，并能利用法则进行计算和解决一些实际问题。

【教学重点、难点】

重点是理解法则的探索过程和掌握并正确运用积的乘方法则。

难点是运算中有积的乘方，幂的乘方，同底数幂相乘等多种法则，运算时正确运用运算法则是本节的难点。

【教学准备】

展示课件

【教学过程】

教学过程

设计说明

一、回顾与思考

用逐步展示的形式回顾复习

n个a

1、幂的意义：

a·a·……a=an

2、同底数幂相乘的运算法则：

am·an＝am＋n（m，n都是正整数）

3、幂的乘方运算法则

（am）n＝amn（m，n都是正整数）

二、合作交流，探索新知

1、合作学习

（1）根据乘方的意义（幂的意义）和同底数幂的乘法法则

（4×6）3表示什么？

（4×6）3＝（4×6）·（4×6）·（4×6）

＝（4×4×4）·（6×6×6）

＝43×63

（2）那（4×6）5，（ab）3又等于什么？

（3）探索：

由特殊的（ab）3＝a3b3出发，你能想到一般的公式吗？

猜想：

（ab）n＝anbn

2、论证猜想

n个ab

（ab）n＝ab·ab……·ab（幂的意义）

n个an个b

＝（a·a…·a）·（b·b…·b）（乘法交换律、结合律）

＝anbn（幂的意义）

3、分析法则

（1）积的乘方法则：

（ab）n＝an·bn（n为正整数）

积的乘方乘方的积

上式显示：

积的乘方＝积中每个因式分别乘方后的积

（2）你能认出法则中“因式”这两个字的意义吗？

（3）（a＋b）n＝an·bn吗？

（a＋b）n＝an＋bn吗？

4、公式的拓展

（abc）n＝（n为正整数），为什么？

说明时有两种思路：

一种思路是利用乘法结合律，把三个因式的乘方转化为两个因式积的乘方，再用积的乘方法则。

另一种思路是仍用推导两个因式的积的乘方的方法：

用乘方的意义，乘法交换律与结合律。

三、应用新知，体验成功

1、阅读体验，解析例题

（1）例4：

计算下列各式

1）（2b）52）（3x3）6

3）（-3x3y2）34）

解：

1）（2b）5＝25b5＝32b5

2）（3x3）6＝36（x3）6＝36x18＝729x18

3）（-3x3y2）3＝-（x3）3（y2）3＝-x9y6

4）

=

a4b4=

（2）例5：

木星是太阳系九大行星中最大的一颗，木星可以近似地看成球体。

已知木星的半径大约是7×104km，木星的体积大约是多少km3（п取3.14）。

解：

V＝4/3пr3

＝4/3п（7×104）3

＝4/3п×73×1012

≈4/3×3.14×343×1012

≈1436×1012≈1.44×1015（km3）

答：

（略）

分析时注意强调运算顺序。

2、练习巩固

（1）下列计算对吗？

如果不对，请改正。

①（3a2）3＝27a5×27a6

②（-a2b）4＝-a8b4×a8b4

③（ab4）4＝ab8×a4b16

④（-3pq）2＝-6p2q2×9p2q2

4

⑤（23）4＝23×212

注意⑤（23）4＝212

4

23＝281

（2）计算：

①（ab）6②（a2y）5

③（x2y3）4④（-a2）3＋3a2·a4

（3）填空：

①a6y3＝（）3②81x4y10＝（－）2

四、探索延伸

展示：

不用计算器，发挥你的聪明才智，相信你能很快求出下列各式的结果。

（1）22×3×52

（2）24×32×53

（3）2·59×48

通过分析使学生明确（ab）n＝anbn公式有时可以逆用。

五、归纳小结

1、提问：

今天的课你有何收获，与同伴交流一下。

2、小结：

幂的意义

积的乘方运算法则（ab）n

同底数幂的乘法则＝anbn

3、小结：

有时反向运用法则也会起到简化运算的作用。

六、知识留恋，课后韵味

布置作业：

课本后附作业题

上课开始时对旧的相关知识的复习梳理，即能巩固已有的知识结构，又为构建新知识奠定基础。

通过合作学习，一步一步的展开即体会幂的意义，又逐步在探索新的知识，通过由特殊到一般的探究，猜想、论证、归纳，即构建了新知识，又体验了知识的发生过程。

法则分析，更能在理性上把握法则。

辨别和拓展是对法则的一种充实，适时的辨别和恰当的拓展，效果显得更佳。

多角度的考虑问题，对良好思维品质的形成大有好处。

严格按步骤分析例题，使学生进一步体会积的乘方法则。

通过实际问题的解决，进一步理解实际问题与数学的联系。

同时也体会到积的乘方法则在实际问题中的应用。

在已学了3个法则之后，用改错纠正题更能辨别3个法则之间的联系与区别。

通过探究延伸，旨在理解积的乘方的逆用，同时也告知学生公式灵活应用的又一个方向。

通过开放式和总结式的小结，达到进一步梳理知识，体会法则的作用。

【设计思想】

1、本课时在已有的同底数幂相乘法则和幂的乘方法则，以及乘方的意义的基础上，通过合作交流，探索归纳得出积的乘方法则，正是从建构主义观点出发而一环一环设计而成的。

2、适时的辨明和恰当的拓展、延伸，效果特佳，并能增强课堂的兴趣，发展学生的思维能力。

第5.2节单项式的乘法

一、背景介绍及教学资料

本教材改变了传统教材的做法，在全面系统地学习了整式乘法的三个基本法则之后，开始学习单项式的乘法，符合从法则到运用的认知规律。

改变了以往先学单项式的乘法，再学积的乘方的不系统的做法。

另外，本节内容系整式乘法的三大法则的基础运用，应当一方面拓展知识，另一方面体验三大法则的具体运用，以加深印象。

二、教学设计

【教学内容分析】

单项式乘法是整式乘法的重要内容，是多项式乘法的基础。

它是以幂的运算性质为基础，根据乘法交换律、结合律和分配律进行计算的。

进行单项式乘法运算时，首先弄清每个单项式的系数，字母及各个字母的指数，注意单项式的系数包括前面的符号，对于只在一个单项式中出现的字母不能漏掉，单项式与多项式相乘时要特别注意分配律应用时项的符号处理。

【教学目标】

1、了解单项式与单项式相乘，单项式与多项式相乘的法则，并理解其中的算理，进而会进行单项式与单项式相乘，单项式与多项式相乘的运算。

2、体会乘法交换律、结合律和分配律的作用和转化的思想。

3、在探索过程中，利用运算律将问题转化，使学生获得成就感，培养学习数学的兴趣。

【教学重点、难点】

重点是单项式与单项式和单项式与多项式相乘的运算法则及其应用。

难点是如何灵活进行单项式的乘法运算。

【教学准备】

展示课件。

【教学过程】

教学过程

设计说明

一、回顾与思考

简单回顾新学的有关幂的运算性质，鼓励学生参与回顾。

二、创设情景，引出课题。

展示：

天安门广场

展示：

一位旅行者用步长测量天安门广场的面积：

他从南到北，记下所走的步数为1100步；再从东走到西，记下所走的步数为625步，然后根据自己的步长来估算广场的面积。

（1）如果用字母a表示该旅行者的步长，你能用含a的代数式表示广场的面积吗？

（1100a）×（625a）

（2）假设这位旅行者的步长为0.8m，那么广场的面积大约是多少m2？

（1100×0.8）×（625×0.8）＝440000m2

（3）通过解决上述问题，你认为两个单项式相乘应怎样运算？

运算依据是什么？

教师引导，学生参与，从具体实行（1100×0.8）×（625×0.8）＝1100×625×0.82开始运用乘法交换律、乘法结合律、同底数幂的运算性质能得出：

（1100a）×（625a）＝（1100×625）×（a×a）＝（1100×625）a2

二、诱向深入，构建模型

类似的3x2y·2x3y2，（abc）·（a2c）怎么办呢？

学生小组交流，合作学习，老师进行引导总结：

（1）系数与系数相乘

（2）同底数幂与同底数幂相乘

（3）其余字母及其指数不变作为积的因式

师：

以上各题正是单项式与单项式相乘，总结得到的三点正是单项式与单项式相乘法则。

三、展示应用，评价自我。

1、做一做。

（学生到黑板前演示，之后师生共同评定）

（1）3b3·5/6b2

（2）（-6ay3）（-a2）

（3）（-3x）3（5x2y）（4）（2×104）（6×103）·107

注意点：

（1）任何一个因式都不可丢掉

（2）结果仍是单项式（3）要注意运算顺序

2、练一练

课本P1211、2

四、合作学习，再觅新知

一幅电脑画的尺寸如图5-3（详见课本P170）

（1）请用两种不同的方法表示画面的面积；

方法一：

a（a-2m）

方法二：

ab-am-am＝ab-2am

（2）这两种不同方法表示的面积应当相等，你所用运算律解释它们相等吗？

（体会分配律及其转化）

（3）通过上面讨论，你能总结出单项式与多项式相乘的运算规律吗？

学生小组讨论，合作学习，逐步从a（b-2m）＝ab-2am中提炼出单项式与多项式相乘的法则：

单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

（注意：

项是包括符号的）

五、应用新知，体验成功。

1、试一试（教师与学生共同完成）

（1）2a2b（1/2ab-3ab2）

（2）（1/3x-3/4xy）（-12y）

2、练一练

课本P122课内练习3。

六、归纳小结，充实结构。

1、单项式与单项式相乘法则

2、单项式与多项式相乘法则

3、法则是由哪些运算律转化而来的？

七、知识留恋，课后韵味。

布置作业：

1、课后作业题

2、课本P123设计题

温故而知新

由实际中的具体问题引出数学问题，进一步加强学生对数学的兴趣。

从特殊到一般，从具体到抽象。

运算律的转化使用

进行更深入的探讨，学会总结运算中的规律。

展示自我，有错纠之，无则加勉。

通过实际情景和合作学习的方式，使学生更易体会事物之间的联系，加深印象。

及时巩固，及时反馈，更有利于知识的掌握。

在教师引导下，学生自主进行归纳，能够使新学的知识及时地纳入学生的认知结构。

设计题能培养学生的综合实践能力，是一个好题材。

【设计说明】：

本节课通过创设情景和合作学习引入新知识，使得知识的构建比较自然，通过设计问题，使学生体会到相关运算律的转化，并体验从特殊到一般，从具体到抽象，抽象又服务于具体的认知规律。

同时，通过两段论式的设计，分解新知识的难度，使得学生能分步掌握知识。

第5.3节多项式的乘法

一、背景介绍及教学资料

本教材在单项式的乘法之后直接安排多项式的乘法，显得贴切自然，多项式乘以多项式是整式乘法的一部分。

本课时利用对同一面积不同表达和分配律的运用两个方面，探索多项式相乘的运算法则，进而体会分配律的重要作用，以及转化思想，并从理解的角度掌握多项式乘法法则。

二、教学设计

【教学内容分析】

本节课从同一面积的不同表达入手，通过分析讨论，进一步体会分配律的作用的情况下得到多项式相乘法则。

由法则可知：

（1）多项式与多项式相乘的结果仍是多项式；

（2）结果的项数应该是原两个多项式项数的积（没有经过合并同类项之前），检验项数常常作为检验解题过程是否的一个有效方法。

【教学目标】

1、经历探索多项式乘法法则的过程，理解多项式乘法法则。

2、学会用多项式乘法法则进行计算。

3、培养学生用几何图形理解代数知识的能力和复杂问题转化为简单问题的转化思想。

【教学重点、难点】

重点是掌握多项式的乘法法则并加以运用。

难点是理解多项式乘法法则的推导过程和运用法则进行计算。

【教学准备】

展示课件。

【教学过程】

教学过程

设计说明

一、回顾与思考

教师引导学生复习单项式×多项式运算法则

整式的乘法实际上就是

单项式×单项式

单项式×多项式

和今天学多项式×多项式

二、创设情景，导入课题

展示：

节前语和图片。

展示：

课本中三图

图5-4

图5-5

图5-5

图5-6

一间厨房的平面布局如图5-4，试用几种方法表示厨房的总面积。

（师生共同探索，鼓励学生用不同的表示方法完成，然后总结）

由图5-5得总面积为（a+n）（b+m）

由图5-6得总面积为a（b+m）+n（b+m）

或ab+am+nb+nm

此时提出问题《多项多的乘法》。

三、探索法则与应用

（a+n）（b+m）＝a（b+m）+n（b+m）

＝ab+am+nb+nm

根据分配律，我们也能得到下面等式：

（a