安徽省马鞍山市2018届高三第二次教学质量监测数学(文)试卷+Word版含答案.doc
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安徽省马鞍山市2018届高三第二次教学质量监测试题
文科数学
第Ⅰ卷(共60分)
一、选择题:
本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合,集合,则()
A.B.C.D.
2.已知复数满足,则复数在复平面内对应的点位于()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
3.若一组数据的方差为1,则的方差为()
A.1B.2C.4D.8
4.设满足约束条件,则的最大值为()
A.2B.3C.4D.5
5.已知等比数列满足,则的值为()
A.2B.4C.D.6
6.如图,四边形是边长为2的菱形,,分别为的中点,则()
A.B.C.D.
7.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为()
A.B.C.D.
8.《九章算术》是我国古代数学名著,也是古代东方数学的代表作.书中有如下问题:
“今有勾五步,股十二步,问勾中容方几何?
”其意思为:
“已知直角三角形两直角边长分别为5步和12步,问一边在勾上的内接正方形边长为多少步?
”现向此三角形内投一粒豆子,则豆子落在这个内接正方形内的概率是()
A.B.C.D.
9.执行如图所示的程序框图,则输出的最大值为()
A.B.C.2D.
10.设,函数的图象向右平移个单位长度后与函数图象重合,则的最小值是()
A.B.C.D.
11.过抛物线的焦点且斜率为1的直线交抛物线于两点,,则的值为()
A.4B.C.1D.2
12.已知函数在上满足,当时,.若,则实数的取值范围是()
A.B.C.D.
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.已知函数,若,则.
14.已知双曲线,过其中一个焦点分别作两条渐近线的垂线段,两条垂线段的和为,则双曲线的离心率为.
15.在中,角所对的边分别为,,的面积,则的周长为.
16.在三棱锥中,,当三梭锥的体积最大时,其外接球的表面积为.
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.已知数列是等差数列,其前项和为,.
(1)求数列的通项公式;
(2)求数列的前项和.
18.如图,在三棱台中,,且面,,分别为的中点,为上两动点,且.
(1)求证:
;
(2)求四面体的体积.
19.某校为了解该校多媒体教学普及情况,根据年龄按分层抽样的方式调查了该校50名教师,他们的年龄频数及使用多媒体教学情况的人数分布如下表:
(1)由以上统计数据完成下面的列联表,并判断是否有的把握认为以40岁为分界点对是否经常使用多媒体教学有差异?
附:
,.
(2)若采用分层抽样的方式从年龄低于40岁且经常使用多媒体的教师中选出6人,再从这6人中随机抽取2人,求这2人中至少有1人年龄在30-39岁的概率.
20.在直角坐标系中,己知点,两动点,且,直线与直线的交点为.
(1)求动点的轨迹方程;
(2)过点作直线交动点的轨迹于两点,试求的取值范围.
21.已知函数.
(1)若在定义域内无极值点,求实数的取值范围;
(2)求证:
当时,恒成立.
请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.选修4-4:
坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,直线的参数方程为:
(为参数).在极坐标系(与平面直角坐标系取相同的长度单位,且以原点为极点,以轴正半轴为极轴)中,圆的方程为.
(1)求圆的直角坐标方程;
(2)设圆与直线交于点,求的大小.
23.选修4-5:
不等式选讲
已知,.
(1)若且的最小值为1,求的值;
(2)不等式的解集为,不等式的解集为,,求的取值范围.
试卷答案
一、选择题
1-5:
CDCAB6-10:
DBBDC11、12:
DA
二、填空题
13.或14.15.16.
三、解答题
17.解:
(1)设数列的首项为,公差为,则:
,解得,所以数列的通项公式:
(2)由
(1)知,
,
①当时,,有:
,
②当时,,
,
,
综上所述:
18.证明:
(1)取的中点,连接,∵,为的中点,
∴,又,∴,
∵,且,∴四边形为平行四边形,∴,
同理,四边形为平行四边形,∴.∴四边为平行四边形,
∵面,∴面,
∴,又,∴面,
∵面,∴.
(2)∵面,面,∴面面,
∵面面,∵,∴,∴面,
∴为点到面的距离,即,
又,
∴.
19.解:
(1)根据所给数据可得如下列联表
由表中数据可得:
.
∴有的把握认为以40岁为分界点对是否经常使用多媒体教学有差异 .
(2)由题意,抽取6人,岁有2人,分别记为;岁有4人,分别记为;则抽取的结果共有15种:
设“至少有1人年龄在岁”记为事件,则事件包含的基本事件有14种
∴
即至少有1人年龄在岁的概率.
20.解:
(1)直线的方程:
直线的方程:
上述两式相乘得:
,又,于是:
由得,∴
所以动点的轨迹方程:
.
(2)当直线的斜率不存在时,,有:
,
得;
当直线的斜率存在时,设方程:
联立:
,整理得:
有,
由
;
由,可得:
,
综上所得:
的取值范围:
21.解:
(1)由题意知,
令,则,
当时,在上单调递减,
当时,在上单调递增,
又,∵在定义域内无极值点,
∴
又当时,在和上都单调递增也满足题意,
所以
(2),令,由
(1)可知在上单调递増,又
,所以存在唯一的零点,故在上单调递减,在上单调递増,
∴
由知
即当时,恒成立.
22.解:
(1)由,得圆的直角坐标方程为:
.
(2)(法一)由直线的参数方程可得直线的普通方程为:
,
代入圆方程消去可得
∴
∴
(也可以用几何方法求解)
(法二)将直线的参数方程代入圆的方程可得:
整理得:
∴
根据参数方程的几何意义,由题可得:
.
23.解:
(1)(当时,等号成立)
∵的最小值为1,∴,∴或,又,∴.
(2)由得,,∵,
∴,即
且且.
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