高中三角函数知识点与常见习题类型解法.doc

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三角函数知识点与常见习题类型解法

1、任意角的三角函数：

（1）弧长公式：

R为圆弧的半径，为圆心角弧度数，为弧长。

（2）扇形的面积公式：

R为圆弧的半径，为弧长。

（3）同角三角函数关系式：

①倒数关系：

②商数关系：

，

③平方关系：

（4）诱导公式：

（奇变偶不变，符号看象限）所谓奇偶指的是整数的奇偶性；

函数

2、两角和与差的三角函数：

（1）两角和与差公式：

【注：

公式的逆用或者变形】

（2）二倍角公式：

从二倍角的余弦公式里面可得出：

降幂公式：

，

（3）半角公式（可由降幂公式推导出）：

，，

3、三角函数的图像和性质：

（其中）

三角函数

图像

定义域

（-∞，+∞）

（-∞，+∞）

值域

[-1,1]

[-1,1]

（-∞，+∞）

最小正周期

奇偶性

奇

偶

奇

单调性

单调递增

单调递减

单调递增

单调递减

单调递增

对称性

对称轴：

对称中心：

对称轴：

对称中心：

对称中心：

零值点

最值点

无

4、函数的图像与性质：

（本节知识考察一般能化成形如图像及性质）

（1）函数和的周期都是

（2）函数和的周期都是

（3）五点法作的简图，设，取0、、、、来求相应的值以及对应的值再描点作图。

（4）关于平移伸缩变换可具体参考函数平移伸缩变换，提倡先平移后伸缩。

切记每一个变换总是对字母而言，即图像变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。

【函数的平移变换】：

①将图像沿轴向左（右）平移个单位（左加右减）

②将图像沿轴向上（下）平移个单位（上加下减）

【函数的伸缩变换】：

①将图像纵坐标不变，横坐标缩到原来的倍（缩短，伸长）

②将图像横坐标不变，纵坐标伸长到原来的A倍（伸长，缩短）

【函数的对称变换】：

①）将图像绕轴翻折180°（整体翻折）；

（对三角函数来说：

图像关于轴对称）

②将图像绕轴翻折180°（整体翻折）；

（对三角函数来说：

图像关于轴对称）

③将图像在轴右侧保留，并把右侧图像绕轴翻折到左侧（偶函数局部翻折）；

④保留在轴上方图像，轴下方图像绕轴翻折上去（局部翻动）

5、方法技巧——三角函数恒等变形的基本策略。

（1）常值代换：

特别是用“1”的代换；

如等。

（2）项的分拆与角的配凑。

如分拆项：

；

配凑角：

；等。

（3）降次与升次；切化弦法。

（4）引入辅助角。

，这里辅助角所在象限由的符号确定，角的值由确定。

【典型例题】：

1、已知，求的值．

解：

因为，又，

联立得

解这个方程组得

2、求的值。

解：

原式

3、若，求的值．

解：

法一：

因为

所以

得到，又，联立方程组，解得

所以

法二：

因为

所以，

所以，所以，

所以有

4、求证：

。

证明：

法一：

右边＝；

法二：

左边=

5、求函数在区间上的值域。

解：

因为，所以，由正弦函数的图象，得到

，所以

6、求下列函数的值域．

（1）；

（2））

解：

（1）

=

令，则

利用二次函数的图象得到

（2）

=

令，则

则利用二次函数的图象得到

7、若函数y=Asin（ωx+φ）（ω＞0，φ＞0）的图象的一个最高点为，它到其相邻的最低点之间的图象与x轴交于（6，0），求这个函数的一个解析式。

解：

由最高点为，得到，最高点和最低点间隔是半个周期，从而与x轴交点的间隔是个周期，这样求得，T=16，所以

又由，得到可以取

8、已知函数f（x）=cos4x－2sinxcosx－sin4x．

（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若求f（x）的最大值、最小值．数的值域．

解：

（Ⅰ）因为f（x）=cos4x－2sinxcosx－sin4x＝（cos2x－sin2x）（cos2x＋sin2x）－sin2x

所以最小正周期为π．

（Ⅱ）若，则，所以当x=0时，f（x）取最大值为当时，f（x）取最小值为

9、已知，求

（1）；

（2）的值.

解：

（1）；

（2）

.

说明：

利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到），进行弦、切互化，就会使解题过

程简化。

10、求函数的值域。

解：

设，则原函数可化为

，因为，所以

当时，，当时，，

所以，函数的值域为。

11、已知函数；

（1）求的最小正周期、的最大值及此时x的集合；

（2）证明：

函数的图像关于直线对称。

解：

（1）所以的最小正周期，因为，

所以，当，即时，最大值为；

（2）证明：

欲证明函数的图像关于直线对称，只要证明对任意，有成立，

因为，

，

所以成立，从而函数的图像关于直线对称。

12、已知函数y=cos2x+sinx·cosx+1（x∈R）,

（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；

（2）该函数的图像可由y=sinx（x∈R）的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？

解：

（1）y=cos2x+sinx·cosx+1=（2cos2x－1）++（2sinx·cosx）+1

=cos2x+sin2x+=（cos2x·sin+sin2x·cos）+

=sin（2x+）+

所以y取最大值时，只需2x+=+2kπ,（k∈Z），即x=+kπ,（k∈Z）。

所以当函数y取最大值时，自变量x的集合为{x|x=+kπ,k∈Z}

（2）将函数y=sinx依次进行如下变换：

（i）把函数y=sinx的图像向左平移，得到函数y=sin（x+）的图像；

（ii）把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数y=sin（2x+）的图像；

（iii）把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变），得到函数y=sin（2x+）的图像；

（iv）把得到的图像向上平移个单位长度，得到函数y=sin（2x+）+的图像。

综上得到y=cos2x+sinxcosx+1的图像。

历年高考综合题

一、选择题：

1、（08全国一6）是（）

A、最小正周期为的偶函数 B、最小正周期为的奇函数

C、最小正周期为的偶函数 D、最小正周期为的奇函数

2、（08全国一9）为得到函数的图象，只需将函数的图像（）

A、向左平移个长度单位 B、向右平移个长度单位

C、向左平移个长度单位 D、向右平移个长度单位

3、（08全国二1）若且是，则是（）

A、第一象限角 B、第二象限角 C、第三象限角 D、第四象限角

4、（08全国二10）．函数的最大值为（）

A、1B、C、D、2

5、（08安徽卷8）函数图像的对称轴方程可能是（）

A、 B、 C、 D、

6、（08福建卷7）函数y=cosx（x∈R）的图象向左平移个单位后，得到函数y=g（x）的图象，则g（x）的解析式为（）

A、-sinxB、sinxC、-cosxD、cosx

7、（08广东卷5）已知函数，则是（）

A、最小正周期为的奇函数B、最小正周期为的奇函数

C、最小正周期为的偶函数D、最小正周期为的偶函数

8、（08海南卷11）函数的最小值和最大值分别为（）

A、－3，1 B、－2，2 C、－3， D、－2，

9、（08湖北卷7）将函数的图象F向右平移个单位长度得到图象F′，若F′的一条对称轴是直线则的一个可能取值是（）

A、B、C、D、

10、（08江西卷6）函数是（）

A、以为周期的偶函数B、以为周期的奇函数

C、以为周期的偶函数D、以为周期的奇函数

11、若动直线与函数和的图像分别交于两点，则的最大值为（）

A、1 B、 C、 D、2

12、（08山东卷10）已知，则的值是（）

A、 B、 C、 D、

13、08陕西卷1）等于（）

A、 B、 C、 D．

14、（08四川卷4）（）

Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、

15、（08天津卷6）把函数的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（）

A、 B、

C、 D、

16、（08天津卷9）设，，，则（）

A、 B、 C、 D、

17、（08浙江卷2）函数的最小正周期是（）

A、B、C、D、

18、（08浙江卷7）在同一平面直角坐标系中，函数的图象和直线的交点个数是（）

A、0B、1C、2D、4

二、填空题

19、（08北京卷9）若角的终边经过点，则的值为．

20、（08江苏卷1）的最小正周期为，其中，则=．

21、（08辽宁卷16）设，则函数的最小值为．

22、（08浙江卷12）若，则_________。

23、（08上海卷6）函数f（x）＝sinx+sin（+x）的最大值是

三、解答题

24、（08四川卷17）求函数的最大值与最小值。

25、（08北京卷15）已知函数（）的最小正周期为；（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数在区间上的取值范围．

26、（08天津卷17）已知函数（）的最小值正周期是；（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数的最大值，并且求使取得最大值的的集合．

27、（08安徽卷17）已知函数，

（Ⅰ）求函数的最小正周期和图象的对称轴方程；（Ⅱ）求函数在区间上的值域

28、（08陕西卷17）已知函数．

（Ⅰ）求函数的最小正周期及最值；（Ⅱ）令，判断函数的奇偶性，并说明理由．

参考答案：

一、选择题：

1—10：

D、C、C、B、B、A、D、C、9、A、A；

11—20:

11、C、13、B、14、D15、C16、D17、B18、C；

二、填空题：

19、20、1021、22、23、2。

三、解答题：

24、解：

由于函数在中的最大值为：

最小值为：

故当时取得最大值，当时取得最小值

【点评】：

此题重点考察三角函数基本公式的变形，配方法，符合函数的值域及最值；

【突破】：

利用倍角公式降幂，利用配方变为复合函数，重视复合函数中间变量的范围是关键；

25、解：

（Ⅰ）

．

因为函数的最小正周期为，且，

所以，解得．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得．

因为，所以，所以，

因此，即的取值范围为．

26、解：

（Ⅰ）

由题设，函数的最小正周期是，可得，所以．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，．

当，即时，取得最大值1，所以函数的最大值是，此时的集合为

27、解：

（1）

（2）

因为在区间上单调递增，在区间上单调递减，

所以当时，取最大值1；

又，

当时，取最小值；所以函数在区间上的值域为

28、解：

（Ⅰ）．

的最小正周期．

当时，取得最小值；当时，取得最大值2．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知．又．

．

．

函数是偶函数．

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