三、解答题：
共8题
17．已知数列{an}满足2a1+4a2+…+2nan=.
（1）求证:
数列{}是等比数列;
（2）求数列{an}的前n项和Tn.
18．如图1,正方形ABCD的边长为4,AB=AE=BF=EF,AB∥EF,把四边形ABCD沿AB折起,使得AD⊥底面AEFB,G是EF的中点,如图2.
（1）求证:
AG⊥平面BCE;
（2）求二面角C-AE-F的余弦值.
19．某市拟实行机动车尾号限行交管措施,为了解民众对“车辆限行”的态度,随机调查了50人,并将调查结果制成下表:
（1）若从年龄在[15,25）、[25,35）的被调查者中各随机选取2人进行跟踪调查,选中的4人中不赞成“车辆限行”的人数记为X,求X的分布列和期望;
（2）把年龄在[15,45）称为中青年,年龄在[45,75）称为中老年,请根据上表完成2×2列联表,并说明民众对“车辆限行”的态度与年龄是否有关联.
参考公式和数据:
χ2=
20．已知椭圆+=1（a>b>0）的离心率为,左焦点F1到点P（2,1）的距离为.
（1）求椭圆的标准方程;
（2）过椭圆右焦点F2的直线l与椭圆交于不同的两点M,N,则△F1MN内切圆的面积是否存在最大值?
若存在,求出这个最大值及此时直线l的方程;若不存在,请说明理由.
21．已知函数F（x）=ax2-xlnx,f（x）=F'（x）+1,g（x）=-（a∈R）.
（1）当a=g'
（1）时,求曲线y=f（x）在（e,f（e））（e是自然对数的底数）处的切线方程;
（2）当x∈（0,e]时,是否存在实数a,使得f（x）的最小值是3?
若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由.
22．如图,已知四边形ABCD内接于圆O,且AB是圆O的直径,以点D为切点的圆O的切线与BA的延长线交于点M.
（1）若MD=6,MB=12,求AB的长;
（2）若AM=AD,求∠DCB的大小.
23．在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程是（t为参数）,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程是ρsin（θ+）=1.
（1）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程;
（2）求两曲线交点间的距离.
24．已知函数f（x）=|x+2|.
（1）解关于x的不等式f（x）-|3x-4|≤1;
（2）若f（x）+|x-a|>1恒成立,求实数a的取值范围.
参考答案
1.C
【解析】本题主要考查对数不等式的解法、指数函数的值域、集合的运算.先化简集合A、B,再求A∩B.由已知得A={x|≤x≤2016},B={y|y>2},所以A∩B=（2,2016].
2.D
【解析】本题考查全称命题的否定,根据全称命题的否定是特称命题进行判断.
由全称命题的否定是特称命题可得“∀x∈R,2x-<1”的否定为“∃x0∈R,-≥1”.
3.A
【解析】本题主要考查复数的乘、除法运算,复数的模,定积分的计算.先用定积分计算求得|z|,将复数z化为a+bi（a,b∈R）的形式,再由复数模的计算公式求得a.
因为|z|=dx,所以|z|=-（cosx+x）=1,因为z=+i,所以=1,解得a=±1.
4.C
【解析】本题主要考查三视图的知识.根据已知的侧视图中的数据,可求得正三棱柱的棱长,进而求三棱柱的表面积.
因为侧（左）视图中等边三角形的高为2,所以等边三角形的边长为4,所以三棱柱的所有棱长均为4,故三棱柱的表面积为（4+4+4）×4+2××4×2=48+8.
5.C
【解析】本题考查诱导公式,三角函数的周期性、奇偶性及单调性,考查考生的数形结合思想与运算求解能力.先化简f（x）,进行平移变换求g（x）,再逐项进行判断.
因为f（x）=sin（x+）=sin（x+）,所以g（x）=sin[（x-）+]=sin（x-）=-cosx,故函数g（x）的最小正周期T==10π,故A错误;函数g（x）为偶函数,故D错误;g（x）图象的对称轴为x=5kπ（k∈Z）,故函数g（x）的图象不关于直线x=对称,B错误;函数g（x）的单调递增区间为[10kπ,10kπ+5π]（k∈Z）,故函数g（x）在区间[π,2π]上为增函数,故选C.
6.A
【解析】本题考查函数图象的识别等.利用导数研究函数的单调性即可确定函数的大致图象;也可以根据函数值的符号排除干扰项,得到正确选项.
解法一 当x>0时,f（x）=x-exlnx,所以f'（x）=1-ex×-exlnx=1-ex（+lnx）.记g（x）=+lnx,则g'（x）=-+.显然当x∈（0,1）时,g'（x）<0,函数g（x）单调递减;当x∈（1,+∞）时,g'（x）>0,函数g（x）单调递增,所以g（x）≥g
（1）=1,所以f'（x）=1-ex（+lnx）≤1-ex,又ex>e0=1,所以f'（x）≤1-ex<0,所以函数f（x）在（0,+∞）上单调递减.故排除B、D两项;而f（-3）=-3-e-3ln3<0,故排除C,选A.
解法二 f
（1）=1-eln1=1,而f（3）=3-e3ln3<0,故排除B、D选项,又f（-3）=-3-e-3ln3<0,故排除C,选A.
7.B
【解析】本题主要考查程序框图中的当型循环结构.根据条件依次写出循环所得的s、n的值,找出规律,确定判断框内的条件.
通过分析,本程序框图是当型循环结构.第1次循环,s=1+1=2,n=1+1=2,第2次循环,s=2+2=4,n=2+1=3,……,第2016次循环,n=2017.所以结合选项可知判断框内的条件应为n≤2016,选B.
8.D
【解析】本题主要考查平面向量的数量积、夹角.把向量、作为一组基底,用这组基底表示向量、,由·求得·,最后由向量的夹角公式求cos∠BAD,从而求得∠BAD.
依题意,+++（-）=+,--,所以·=（+）·（-）=-||2+||2-· =-×22+-·,所以·=-4,所以cos∠BAD==-,因为0<∠BAD<π,所以∠BAD=.
9.C
【解析】本题主要考查不等式组所表示的平面区域、指数运算等知识.先作出不等式组表示的平面区域,求u=2x-y的最大值,再求z=4x·（）y=22x-y的最大值.
因为z=4x·（）y=22x-y,不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,联立,解得,即C（2,-6）,令u=2x-y,当直线2x-y=0平移到经过点C时,u取得最大值,即umax=2×2-（-6）=10,所以z=4x·（）y的最大值为210=1024,选C.
10.B
【解析】本题主要考查双曲线的性质、三角形的面积公式.先根据S△AOB求得a、c的关系式,再求,最后由二倍角的正切公式求得结论.
因为S△AOB,所以（c-a）b=ab,即c=a,因为c2=a2+b2,所以（a）2=a2+b2,所以,即.设双曲线的渐近线y=x与x轴正方向的夹角为θ,所以tanθ=,所以tan2θ=,即双曲线的两条渐近线的夹角的正切值为.选B.
11.C
【解析】本题主要考查排列组合的知识.求解的关键是要找准分类的标准,做到不重不漏.
不妨设高一的两个节目为A1,A2,高二的两个节目为B1,B2,高三的节目为C.
通解 以高三的节目安排为分类标准:
（i）当C排在正中间（第三位）时,A1,A2只能一个在C前,一个在C后,B1,B2也只能一个在C前,一个在C后,则共有2×2×2×2=16种.（或考虑A1,A2,B1,B2的全排列=24种,再将A1,A2同在C前或C后,B1,B2同在C前或C后的情况排除,共有2×2×2=8种,所以共有24-8=16种.）
（ii）当C排在首位或末尾时,根据对称性,其种数相同,所以不妨考虑C排在首位的情况,此时只能是第二、四位为同年级的节目,第三、五位为同年级的节目,有2×=8种,所以共有8×2=16种.
（iii）当C排在第二位或第四位时,根据对称性,其种数一样,所以不妨考虑C排在第二位的情况,此时第一位选好某个年级的一个节目,则此年级的另外一个节目只能在第四位,第三、五位排另外一个年级的节目,有2×2×=8种,所以共有8×2=16种.
综上,总共有16+16+16=48种.
优解 将五个节目进行全排列,共有种情况,其中A1,A2相邻或B1,B2相邻的情况共有2种,A1,A2相邻并且B1,B2也相邻的情况共有种,故同一年级的节目不相邻的安排种数为-2+=48.
12.B
【解析】本题主要考查分段函数、函数的零点、导数的几何意义等知识,考查考生的数形结合思想.作出函数y=f（x）的图象,数形结合进行求解.
函数h（x）=f（x）-mx-2有两个零点等价于方程f（x）-mx-2=0有两个不同的解,等价于函数y=f（x）与函数y=mx+2的图象有两个不同的交点,作出函数y=f（x）的图象,如图,根据题意,当直线y=mx+2与曲线y=-1=相切时,联立方程,消去y可得,mx+2=,整理得mx2+（2-m）x-4=0,由Δ=（2-m）2+16m=0,解得m=-6±4,要使y=f（x）与y=mx+2的图象有两个不同的交点,结合图象分析可知,实数m的取值范围是（-6+4,0）∪（0,+∞）.
13.1120
【解析】这是一道幂函数与二项式定理的交汇题,先把点（4,16）代入y=xa求得a,再根据二项式定理求解.
因为幂函数y=xa过点（4,16）,所以16=4a,即a=2,所以（x-）8=（x-）8,Tr+1=（-1）r·2r··x8-r·=（-1）r·2r··,令8-=2,解得r=4,所以T4+1=（-1）4×24××x2=1120x2,即（x-）8的展开式中x2的系数为1120.
14.
【解析】本题考查直线与圆的位置关系.直线及间的距离d==6，所以圆心到一条直线的距离为因为两直线截圆C所得的弦长均为8，所以弦长的一半为4；所以圆C的半径R=，即圆C的面积S=πR2=.
15.12π
【解析】本题主要考查正三棱锥的性质、球的表面积的计算.先证明PA,PB,PC两两垂直,求PA的长,再求球的半径,根据球的表面积计算公式求解.
因为三棱锥P-ABC为正三棱锥,取AC的中点N,连接PN,BN,易证AC⊥平面PBN,所以PB⊥AC,又AM⊥PB,AM∩AC=A,所以PB⊥平面PAC,所以PB⊥PA,PB⊥PC,易证PA,PB,PC两两垂直,又AB=2,所以PA=PB=PC=2,设三棱锥P-ABC外接球的半径为R,则（2R）2=3×22=12,所以球的表面积S=4πR2=12π.
16.
【解析】本题主要考查二倍角公式、平面向量的模、余弦定理、基本不等式等知识,考查考生分析问题、解决问题的能力,属于中档题.
因为cos2B+sin2B=1,所以sin2B=sin2B,即sinBcosB=sin2B,因为sinB≠0,所以tanB=1,因为0
17.
（1）当n=1时,由2a1=1得,a1=,
当n≥2时,由2a1+4a2+…+2nan=得,
2a1+4a2+…+2n-1an-1=,
于是2nan=-=n,
整理得=（）n,又a1=符合上式,
所以数列{}是等比数列.
（2）由
（1）得,an=n·（）n,Tn=1×（）1+2×（）2+3×（）3+…+n×（）n,①
Tn=1×（）2+2×（）3+3×（）4+…+n×（）n+1,②
所以Tn=（）1+（）2+（）3+（）4+…+（）n-n×（）n+1,
即Tn=1+（）1+（）2+（）3+…+（）n-1-n×（）n=-n×（）n=2-2×（）n-n×（）n=2-.
【解析】本题考查等比数列的通项公式、前n项和,错位相减法求和等知识,考查考生的综合应用能力及运算求解能力.
（1）由已知求得=（）n（n≥2）,再验证a1符合上式,即证得{}是等比数列;
（2）由
（1）知需要利用错位相减法求出Tn.
【备注】数列是高考的热点,但是无论怎样命题,肯定少不了考查数列（包括等差数列与等比数列）的基本概念、基本公式,如通项公式、前n项和公式（公式法、错位相减法、裂项相消法等）的理解记忆,万变不离其宗,在复习中只要把数列部分的基础知识落实好,就能在高考中游刃有余,解题时得心应手.
18.
（1）连接BG,
因为BC∥AD,AD⊥底面AEFB,
所以BC⊥底面AEFB,又AG⊂底面AEFB,
所以BC⊥AG,
因为ABEG,AB=AE,
所以四边形ABGE为菱形,所以AG⊥BE,
又BC∩BE=B,BE⊂平面BCE,BC⊂平面BCE,
所以AG⊥平面BCE.
（2）解法一 由
（1）知四边形ABGE为菱形,AG⊥BE,AE=EG=BG=AB=4,
设AG∩BE=O,所以OE=OB=2,OA=OG=2,
以O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,
则O（0,0,0）,A（-2,0,0）,E（0,-2,0）,F（4,2,0）,C（0,2,4）,D（-2,0,4）,
所以=（2,2,4）,=（2,-2,0）,
设平面ACE的法向量为n=（x,y,z）,
则,所以,
令y=1,则x=,z=-,即平面ACE的一个法向量为n=（,1,-）,
易知平面AEF的一个法向量为=（0,0,4）,
设二面角C-AE-F的大小为θ,由图易知θ∈（0,）,
所以cosθ=.
解法二 由
（1）知四边形ABGE为菱形,AG⊥BE,AE=EG=BG=AB=4,
设AG∩BE=O,所以OE=OB=2,OA=OG=2,
取CE的中点M,连接OM,所以OM∥BC,所以OM⊥平面AEFB,
作MN⊥AE于N,连接ON,所以ON⊥AE,
所以∠ONM为二面角C-AE-F的平面角.
在Rt△AOE中,由AE·ON=OE·OA得×4×ON=×2×2,即ON=,
又OM=BC=2,
所以MN=,所以cos∠ONM=,
所以二面角C-AE-F的余弦值为.
【解析】本题主要考查空间线面垂直的判定与性质、二面角等.
（1）先证BC⊥AG,再证四边形ABGE为菱形,最后证明AG⊥平面BCE;
（2）以AG,BE的交点为坐标原点建立空间直角坐标系,用向量法求解,或通过“作、证、求”用传统法求解.
【备注】二面角的求解是高考的必考点,解决此类问题一般有两种思路:
一是利用向量法,关键是建立坐标系后正确求出点的坐标;二是利用传统法,首先将二面角找出来,然后将其放在三角形中求解.利用向量法求二面角时应注意:
①某些平面的法向量可能在题中隐含着,不用单独求;②注意判断二面角的平面角是锐角还是钝角.
19.
（1）X的取值为0,1,2,3,则
P（X=0）=·,P（X=1）=·+·,
P（X=2）=·+·,P（X=3）=·,
X的分布列为
E（X）=1.2.
（2）2×2列联表如图所示
χ2=≤2.706,
说明民众对“车辆限行”的态度与年龄没有关联.
【解析】本题主要考查离散型随机变量的分布列、期望的计算以及独立性检验的应用,考查考生的计算能力.
20.
（1）由题意知椭圆的左焦点F1（-c,0）,则,得,
所以b2=a2-c2=3,
故所求椭圆的标准方程为+=1.
（2）设M（x1,y1）,N（x2,y2）,不妨令y1>0,y2<0,
设△F1MN的内切圆的半径为R,则△F1MN的周长为4a=8,（|MN|+|F1M|+|F1N|）R=4R,
因此若最大,则R最大,△F1MN内切圆的面积最大.
又|F1F2|·|y1-y2|=y1-y2,
由题设知直线l的斜率不为0,可设直线l的方程为x=my+1,
联立消去x并整理得（3m2+4）y2+6my-9=0,
由根与系数的关系得y1+y2=-,y1y2=-,
所以y1-y2=,
即,令t=,则t≥1,
由此得,
令f（t）=3t+（t≥1）,则f（t）在[1,+∞）上单调递增,
所以f（t）≥f
（1）=4,则≤=3（当且仅当t=1,即m=0时取等号）,
这时所求内切圆的半径的最大值为Rmax=,故面积的最大值为.
故直线l的方程为x=1,△F1MN内切圆的面积的最大值为.
【解析】本题主要考查椭圆的性质、标准方程,三角形内切圆的性质,直线与椭圆的位置关系.
（1）根据条件得到关于a,c的等式,求出a,c,从而得到椭圆的标准方程;
（2）设M（x1,y1）,N（x2,y2）,令y1>0,y2<0,由题意可知当最大时,△F1MN内切圆的半径R最大,设出直线l的方程,与椭圆方程联立,求△F1MN面积的最大值,即可得到△F1MN内切圆的面积的最大值.
【备注】高考对圆锥曲线一般从两个方面考查:
一是由圆锥曲线的定义或几何性质求得圆锥曲线的标准方程;二是研究直线与圆锥曲线的交点问题,弦的中点问题,直线的方程,几何图形的面积,动点、动直线变化过程中的不变量（即定值）问题,或者是动直线（或曲线）的定点（定值）问题以及探究性问题.
21.
（1）F（x）=ax2-xlnx,所以F'（x）=ax-lnx-1,
所以f（x）=F'（x）+1=ax-lnx,g（x）=-,
所以g'（x）=,所以a=g'
（1）=1.
此时f'（x）=1-,
所以切线的斜率k=f'（e）=,f（e）=e-1,
所以切线方程为y-（e-1）=（x-e）,即y=x.
（2）假设存在实数a,使得f（x）=ax-lnx（x∈（0,e]）的最小值为3,
易知f'（x）=a-.
①当a≤0时,因为x∈（0,e],所以f'（x）<0,所以f（x）在（0,e]上单调递减,
f（x）min=f（e）=ae-1=3,得a=（舍去）,所以a≤0不符合题意.
②当0<时,f（x）在（0,）上单调递减,在（,e]上单调递增,
f（x）min=f（）=1+lna=3,所以a=e2,符合题意.
③当≥e,即0所以f（x）在（0,e]上单调递减,f（x）min=f（e）=ae-1=3,所以a=（舍去）,
所以0综上所述,存在实数a=e2,使得当x∈（0,e]时,f（x）的最小值为3.
【解析】本题主要考查导数的几何意义,用导数研究函数的单调性、极值、最值.
（1）分别求出F'（x）,g'（x）,f'（x）,f'（e）,求出切线方程;
（2）假设存在实数a,使得f（x）=ax-lnx（x∈（0,e]）的最小值为3,对实数a分类讨论,用导数研究函数f（x）的单调性与最值即可求解.
【备注】近几年高考对导数部分的考查常考常新,体现在命题的内容新、结构新等,但是以求函数的导函数为切入点,综合探讨函数的单调区间、函数的最值（极值）问题依然是主旋律,在知识的交汇处命题,将不等式、导数、函数的知识融合在一起进行考查依然是主要方式,预测2016年高考导数试题也不会有太大的改变.
22.
（1）因为MD为☉O的切线,由切割线定理知,
MD2=MA·MB.
又MD=6,MB=12,MB=MA+AB,
所以MA=3,AB=12-3=9.
（2）因为AM=AD,所以∠AMD=∠ADM,
连接DB,又MD为圆O的切线,由弦切角定理知,∠ADM=∠ABD,
又AB是圆O的直径,所以∠ADB为直角,
即∠BAD=90°-∠ABD.
又∠BAD=∠AMD+∠ADM=2∠ABD,
于是90°-∠ABD=2∠ABD,所以∠ABD=30°,所以∠BAD=60°.
又四边形ABCD是圆内接四边形,所以∠BAD+∠DCB=180°,
所以∠DCB=120°.
【解析】本题考查圆内接四边形的性质、切割线定理的应用等基础知识.
（1）利用MD为☉O的切线,由切割线定理及已知条件,求出AB即可;
（2）推出∠AMD=∠ADM,连接DB,由弦切角定理知,∠ADM=∠ABD,通过AB是☉O的直径,四边形ABCD是圆内接四边形,求出∠DCB即可.
23.
（1）由曲线C1的参数方程 ,平方相减可得y2-x2=4,
故曲线C1的普通方程为y2-x2=4.
因为曲
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