高三文科数学备考专题-极坐标与参数方程.doc

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极坐标系与极坐标

一、极坐标系的概念：

在平面内取一个定点，叫做极点；自极点引一条射线叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向），这样就建立了一个极坐标系。

点的极坐标：

设是平面内一点，极点与点的距离叫做点的极径，记为；以极轴为始边，射线为终边的叫做点的极角，记为。

有序数对叫做点的极坐标，记为.

极坐标与表示同一个点。

极点的坐标为.

注意：

如果规定，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标表示；同时，极坐标表示的点也是唯一确定的。

二、极坐标与直角坐标的互化：

三、常见的极坐标方程

在极坐标系中，以极点为圆心，为半径的圆的极坐标方程是；

在极坐标系中，以为圆心，为半径的圆的极坐标方程是；

在极坐标系中，以为圆心，为半径的圆的极坐标方程是；

7.在极坐标系中，表示以极点为起点的一条射线；表示过极点的一条直线.

在极坐标系中，过点，且垂直于极轴的直线l的极坐标方程是

四、基础小题：

1．在极坐标系中，直线l的方程ρsinθ＝3，则点到直线l的距离为________．

解析：

∵直线l的的极坐标方程可化为y＝3，

点化为直角坐标为（，1），

∴点到l的距离为2.

2．若曲线的极坐标方程为ρ＝2sinθ＋4cosθ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角

坐标系，则该曲线的直角坐标方程为____________．

解析：

∵ρ＝2sinθ＋4cosθ，

∴ρ2＝2ρsinθ＋4ρcosθ，

∴由互化公式知x2＋y2＝2y＋4x，即x2＋y2－2y－4x＝0.

3．在极坐标系中，以为圆心，为半径的圆的方程为________________．

解析：

利用直角三角形的边、角关系可得圆的方程为ρ＝asinθ.

4．在极坐标系中，曲线ρ＝2sinθ与ρcosθ＝－1（0≤θ<2π）的交点的极坐标为________．

解析：

由ρ＝2sinθ，得ρ2＝2ρsinθ，

其普通方程为x2＋y2＝2y，

ρcosθ＝－1的普通方程为x＝－1，

联立解得

故交点（－1,1）的极坐标为.

5．在极坐标系中，圆ρ＝4cosθ的圆心C到直线ρsin＝2的距离为________．

解析：

注意到圆ρ＝4cosθ的直角坐标方程是x2＋y2＝4x，圆心C的坐标是（2,0）．直线ρsin＝2的直角坐标方程是x＋y－4＝0，因此圆心（2,0）到该直线的距离等于＝.

6.

（1）过点且平行于极轴的直线的极坐标方程为________________．

（2）圆心为C，半径为3的圆的极坐标方程为________．

解析：

（1）点的直角坐标为（1，），所以过点（1，）且平行于x轴的直线方程为y＝，即极坐标方程为ρsinθ＝.

（2）设极点为O，M（ρ，θ）为圆上任意一点，过OC的直线与圆交于另一点O′，在直角三角形OMO′中，

ρ＝6cos，即ρ＝6cos.

极坐标（ρ，θ）化为直角坐标时，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ；直角坐标（x，y）化为极坐标时，ρ＝惟一确定，但由tanθ＝（x≠0）确定角θ时不惟一，一般根据点（x，y）所在的象限取最小正角．

参数方程

一、参数方程的概念：

在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数并且对于的每一个允许值，由这个方程所确定的点都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数的变数叫做参变数，简称参数。

相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。

二、圆的参数方程可表示为.

椭圆的参数方程可表示为.

抛物线的参数方程可表示为.

　经过点，倾斜角为的直线的参数方程可表示为（为参数）.

在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。

在参数方程与普通方程的互化中，必须使的取值范围保持一致.

例1、已知两曲线参数方程分别为和，它们的交点坐标为.[来源:

Zxxk.Com]

例2、（2015年全国新课标卷1文23）

在直角坐标系中，直线，圆，以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.

（I）求的极坐标方程.

（II）若直线的极坐标方程为，设的交点为，求的面积.

解析：

（I）因为，所以的极坐标方程为，

的极坐标方程为.……5分

（II）将代入，得，解得

.故，即

由于的半径为1，所以的面积为.……10分

例3.（2015年全国新课标卷Ⅱ文23）在直角坐标系中,曲线（t为参数,且）,其中,在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线

（I）求与交点的直角坐标；

（II）若与相交于点A,与相交于点B,求最大值.

解析：

（I）曲线的直角坐标方程是

（II）曲线

例4、在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为

（Ⅰ）求C的参数方程；

（Ⅱ）设点D在C上，C在D处的切线与直线垂直，根据Ⅰ中你得到的参数方程，确定D的坐标。

解析：

（Ⅰ）的普通方程为

可得的参数方程为（为参数，）

（Ⅱ）设由（Ⅰ）知是以为圆心，1为半径的上半圆，因为在点处的切线与垂直，所以直线GD与的斜率相同。

故的直角坐标为，即

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