高考真题汇编坐标系与参数方程.docx
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高考真题汇编坐标系与参数方程
高考试题汇编：
坐标系与参数方程
1.
x4costx8cos
已知曲线C1:
（t为参数），C2（为参数），
y3sinty3sin
（1）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
（2）若C1上的点P对应的参数为t，Q为C2上的动点，求PQ中
12
x32t
点M到直线C3:
x32t（t为参数）距离的最小值.
3y2t
解：
（1）曲线C1的普通方程为（x4）2（y3）21，表示以点（4,3）
为圆心，半径r1的圆；
22
曲线C2的普通方程为xy1，表示中心是坐标原点，焦点在x轴2649
上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆；
2）点P的坐标为（4,4），设点Q的坐标为（8cos,3sin），
885
1）当时，求C1和C2的交点坐标；
312
2）过坐标原点O作C1的垂线，垂足为A,P为OA的中点.当变化
时，求P点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线.
1cos2sin2，
4,4，
小结：
本题主要考查
（1）求曲线交点坐标；
（2）求动点的轨迹方程；
3.
x2cos
在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（为参
y22sin
数）.M是C1上的动点，P点满足OP2OM，P点的轨迹为曲线C2.
（1）求C2的方程；
（2）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线
3与C1异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求AB.
解：
（1）设M点坐标
为（2cos,22sin
），P点坐标为x,y，
则x,y2（2cos,2
2sin），
所以C2的参数方程为
x4cos
（
为参数），
y44sin
C2的普通方程为x2
2
（y4）216，
（2）方法一：
C1的极坐标方程为24
sin0，
C2的极坐标方程为
28sin0，
将分别代入C1，C2的极坐标方程，得A23,，B（43,），
31233
AB432323.
方法二：
射线的直角坐标方程为y3x（x0）
3
将y3x分别代入C1，C2的直角坐标方程，得A3,3，B（23,6）
22
所以ABx1x22y1y2223
4.
x2cos
已知曲线C1的参数方程是（为参数），以坐标原点为极
y3sin
点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是2.
正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针排列，
点A的极坐标为2,3
（1）求点A，B，C，D的直角坐标；
2222
（2）设P为C1上任意一点，求PAPBPC2PD2的取值范围.
解：
（1）点A的直角坐标为（1,3），
点B的极坐标为（2,），点B的直角坐标为（3,1），
6
点C的极坐标为（2,），点C的直角坐标为（1,3），
3
11
点D的极坐标为（2,11），点D的直角坐标为（3,1），
6
（2）设P点坐标为（2cos,3sin），
2
3220sin232,52
即x2y28x10y160，
160；
线C1的极坐标方程为28cos10sin
2）联立得4sin28sin220sin2160，
则cos2sin212sin210，
4
所以4或2，故C1与C2交点的极坐标为2,4，（2,2）.
方法二：
曲线C1的普通方程为x2
2
y28x10y160，
曲线C2的普通方程为x2y22y
0，
x1x0联立解得x1或x0，
y1y2
故C1与C2交点的极坐标为2,
4
，（2,2）.
小结：
本题主要考查
（1）曲线参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程之间的相互转化；
（2）已知极坐标方程，求区间交点坐标；
x2cost
6.已知动点P，Q都在曲线C:
（t为参数），对应参数分别
y2sint
为t与t2（02），M为PQ的中点.
（1）求M的轨迹参数方程；
（2）将M到坐标原点的距离d表示为的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点.
解：
（1）点P的坐标为2cos,2sin，点Q的坐标为
2cos2,2sin2，点M的坐标为coscos2,sinsin2
2）将M到坐标原点的距离
22
dcoscos2（sinsin2）22cos
（0
2）
因为当
时，d0，所以M的轨迹过坐标原点.
小结：
本题考查
（1）动点轨迹的参数方程；
（2）判断曲线是否过定点；
7.
8.
1）参数方程与普通方程的互化；
2）求曲线的交点坐标；
2）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30的直线，交l于点A，
求PA的最大值与最小值.
9.
在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴
建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为2cos，0,.
2
（1）求C的参数方程；
据
（1）中你得到的参数方
程，确定
D的坐标.
解：
（1）半圆C的直角坐
标方程为x2y22x0，（y
0），
即（x1）2y21，（y
0），
x
半圆C的参数方程为
1cos
为参数，0,
），
y
sin
（2）设点D的坐标为（1
cos,sin
），（0,），
则直线CD与直线l平行，
sin故
03tan，
所以
（2）设点D在C上，C在D处的切线与直线l:
y3x2垂直，根
1cos13D的坐标为3,3.
22
小结：
本题主要考查
（1）曲线参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程之间的相互转化；
（2）确定切点坐标；
10.在平面直角坐标系xOy中，直线C1:
x2，圆C2:
（x1）2（y2）2
1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求C1，C2的极坐标方程；
（2）若直线C3的极坐标方程为
（R），设C2与C3的交点为
4
M，N，求C2MN的面积.
解：
（1）直线C1的极坐标方程为
cos2，
圆C2的极坐标方程为22cos
4sin40，
（2）将代入2cos
4
4sin40，
得23240，解得122，22，故122，即MN2.由于C2的半径为1，所以C2MN为等腰直角三角形，
1
C2MN的面积为.
22
小结：
本题主要考查
（1）极坐标方程和直角坐标方程的互化；
（2）求三角形的面积；
xtcos
11.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1:
（t为参数，t0），
ytsin
其中0.在以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标
系中，曲线C2:
2sin，C3:
23cos.
（1）求C2与C3交点的直角坐标；
（2）若C1与C2相交于A，C1与C3相交于B，求AB的最大值.
因此A的极经为A2sin，B的极经为B23cos，
ABAB2sin23cos4sin（）4，3
当5时，AB取最大值4.
小结：
本题主要考查
（1）求曲线的交点坐标；
2）求线段的最值；
（2）P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标.
解：
（1）⊙O的直角坐标方程为x2y223y0，x2（y3）23圆心为（0,3）
（2）设P点坐标为（3
12t,23t），
正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2cos
（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）设点M的直角坐标为（5,3），直线l与曲线C的交点为A，B，求MAMB的值.
解：
（1）曲线C的直角坐标方程为x2y22x0，
（2）设直线l与曲线C的交点A，B对应的参数分别为为t1，t2，联立得（53t）2（31t）22（53t）0，
222
即t253t180，则t1t218，所以MAMBt1t218.小结：
本题主要考查
（1）极坐标方程与直角坐标方程的互化；
（2）直线参数方程中参数的几何意义及其应用；
123
P到圆心C的距离d31t3t3t21212，
22
当t0时，P到圆心C的距离取最小值12.
小结：
本题主要考查
1）极坐标方程与直角坐标方程的互化；
2）求线段的最值；
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