高一基本初等函数测试题.doc

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第二章：

基本初等函数

第I卷（选择题）

一、选择题5分一个

1.已知f（x）=ax5+bx3+cx+1（a≠0），若f=m，则f（﹣2014）=（）

A．﹣m B．m C．0 D．2﹣m

2.已知函数f（x）=loga（6﹣ax）在[0，2]上为减函数，则a的取值范围是（）

A．（0，1） B．（1，3） C．（1，3] D．[3，+∞）

3.已知有三个数a=（）﹣2，b=40.3，c=80.25，则它们之间的大小关系是（）

A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．b＜c＜a

4.已知a＞0，a≠1，f（x）=x2﹣ax．当x∈（﹣1，1）时，均有f（x）＜，则实数a的取值范围是（）

A．（0，]∪[2，+∞） B．[，1）∪（1，2] C．（0，]∪[4，+∞） D．[，1）∪（1，4]

5.若函数y=x2﹣3x﹣4的定义域为[0，m]，值域为[﹣，﹣4]，则m的取值范围是（）

A．（0，4] B． C． D．

6.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）

A．y=（x∈R且x≠0） B．y=（）x（x∈R）

C．y=x（x∈R） D．y=x3（x∈R）

7.函数f（x）=2x﹣1+log2x的零点所在的一个区间是（）

A．（，） B．（，） C．（，1） D．（1，2）

8.若函数y=x2﹣3x﹣4的定义域为[0，m]，值域为，则m的取值范围是（）

A．（0，4] B． C． D．

9.集合M={x|﹣2≤x≤2}，N={y|0≤y≤2}，给出下列四个图形，其中能表示以M为定义域，N为值域的函数关系的是（）

A． B． C． D．

10.已知函数f（x）对任意的x1，x2∈（﹣1，0）都有，且函数y=f（x﹣1）是偶函数．则下列结论正确的是（）

A． B．

C． D．

11.下列给出函数f（x）与g（x）的各组中，是同一个关于x的函数的是（）

A．f（x）=x﹣1，g（x）= B．f（x）=2x﹣1，g（x）=2x+1

C．f（x）=x2，g（x）= D．f（x）=1，g（x）=x0

12.下列函数既是奇函数，又在区间[﹣1，1]上单调递减的是（）

A．f（x）=sinx B．f（x）=﹣|x+1|

C． D．

13.已知f（x）是偶函数，它在[0，+∞）上是减函数，若f（lgx）＞f

（1），则实数x的取值范围是（）

A．（，1） B．（0，）∪（1，+∞） C．（，10） D．（0，1）∪（10，+∞）

14.已知函数，其中a∈R．若对任意的非零实数x1，存在唯一的非零实数x2（x1≠x2），使得f（x1）=f（x2）成立，则k的取值范围为（）

A．k≤0 B．k≥8 C．0≤k≤8 D．k≤0或k≥8

15.已知函数f（x）=，若f（a）=，则实数a的值为（）

A．﹣1 B． C．﹣1或 D．1或﹣

第II卷（非选择题）

二、填空题

16.若函数f（x）=ln（x2+ax+1）是偶函数，则实数a的值为．

17.关于下列命题：

①若函数y=2x的定义域是{x|x≤0}，则它的值域是{y|y≤1}；

②若函数y=的定义域是{x|x＞2}，则它的值域是{y|y≤}；

③若函数y=x2的值域是{y|0≤y≤4}，则它的定义域一定是{x|﹣2≤x≤2}；

④若函数y=log2x的值域是{y|y≤3}，则它的定义域是{x|0＜x≤8}．

其中不正确的命题的序号是．（注：

把你认为不正确的命题的序号都填上）

18.对于任意实数a，b，定义min设函数f（x）=﹣x+3，g（x）=log2x，则函数h（x）=min{f（x），g（x）}的最大值是__________．

19.设函数f（x）=，若f（f（a））≤2，则实数a的取值范围是__________．

20.若2a=5b=10，则=．

三、解答题

21.已知函数f（x）=1+（﹣2＜x≤2）

（1）用分段函数的形式表示该函数；

（2）画出该函数的图象；

（3）写出该函数的值域、单调区间．

22.已知函数f（x）=ax2+bx+1（a，b∈R）．

（Ⅰ）若f（﹣1）=0且对任意实数x均有f（x）≥0成立，求实数a，b的值；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，当x∈[﹣2，2]时，g（x）=f（x）﹣kx是单调函数，求实数k的取值范围．

23.已知函数f（x）=x+．

（1）判断f（x）在（2，+∞）上的单调性并用定义证明；

（2）求f（x）在[1，4]的最大值和最小值，及其对应的x的取值．

24.（14分）设函数的定义域为A，g（x）=lg（x﹣a﹣1）（2a﹣x）的定义域为B．

（1）当a=2时，求A∪B；

（2）若A∩B=B，求实数a的取值范围．

试卷答案

1.D

考点：

函数奇偶性的性质．

专题：

函数的性质及应用．

分析：

根据f=m，可以得到20145a+20143b+2014c的值，然后把x=﹣2014代入所求代数式，整体代换20145a+20143b+2014c的值，即可求得f（﹣2014）的值．

解答：

解：

∵f（x）=ax5+bx3+cx+1，

∵1f=20135a+20133b+2013c+7=24+1=m，

∴20145a+20143b+2014c=m﹣1，

∴f（﹣2014）=a×（﹣2013）5+b×（﹣2013）3+c×（﹣2013）+1=﹣+1=2﹣m，

∴f（﹣2014）=2﹣m．

故选：

D．

点评：

本题考查了求函数的值，解题的关键是利用“整体代入法”求函数的值，在整体代换的过程中运用了函数的奇偶性．属于基础题．

2.B

考点：

复合函数的单调性．

专题：

函数的性质及应用．

分析：

由已知中f（x）=loga（6﹣ax）在[0，2]上为减函数，结合底数的范围，可得内函数为减函数，则外函数必为增函数，再由真数必为正，可得a的取值范围．

解答：

解：

若函数f（x）=loga（6﹣ax）在[0，2]上为减函数，

则

解得a∈（1，3）

故选B

点评：

本题考查的知识点是复合函数的单调性，其中根据已知分析出内函数为减函数，则外函数必为增函数，是解答的关键

3.B

【考点】指数函数的单调性与特殊点．

【专题】转化思想；数学模型法；函数的性质及应用．

【分析】先判断出a∈（0，1），b，c∈（1，+∞），再用指数的运算性质，将指数式化为同底式，进而可以比较大小．

【解答】解：

a=（）﹣2=∈（0，1），

b=40.3=20.6＞1，c=80.25=20.75＞1，

且20.75＞20.6，

故a＜b＜c，

故选：

B

【点评】本题考查的知识点是指数函数的单调性，指数式比较大小，难度中档．

4.B

【考点】指、对数不等式的解法．

【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用．

【分析】由题意可知，ax＞x2﹣在（﹣1，1）上恒成立，令g（x）=ax，m（x）=x2﹣，结合图象，列出不等式组，解不等式组，求出a的取值范围．

【解答】解：

若当x∈（﹣1，1）时，均有f（x）＜，

即ax＞x2﹣在（﹣1，1）上恒成立，

令g（x）=ax，m（x）=x2﹣，

由图象知：

若0＜a＜1时，g

（1）≥m

（1），即a≥1﹣=，此时≤a＜1；

当a＞1时，g（﹣1）≥m

（1），即a﹣1≥1﹣=，此时a≤2，此时1＜a≤2．

综上≤a＜1或1＜a≤2．

故选：

B．

【点评】本题考查不等式组的解法，将不等式关系转化为函数的图象关系是解决本题的关键．，体现了数形结合和转化的数学思想．

5.C

【考点】二次函数的性质．

【专题】函数的性质及应用．

【分析】根据函数的函数值f（）=﹣，f（0）=﹣4，结合函数的图象即可求解

【解答】解：

∵f（x）=x2﹣3x﹣4=（x﹣）2﹣，

∴f（）=﹣，又f（0）=﹣4，

故由二次函数图象可知：

m的值最小为；

最大为3．

m的取值范围是：

[，3]，

故选：

C

【点评】本题考查了二次函数的性质，特别是利用抛物线的对称特点进行解题，属于基础题．

6.D

【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．

【专题】计算题；函数的性质及应用．

【分析】根据函数的奇偶性和单调性的判断方法，即可得到在其定义域内既是奇函数又是减函数的函数．

【解答】解：

对于A．函数的定义域为{x|x≠0且x∈R}，关于原点对称，f（﹣x）=f（x），则为偶函数，故A不满足；

对于B．定义域R关于原点对称，f（﹣x）≠﹣f（x）且≠f（x），则为非奇非偶函数，故B不满足；

对于C．y=x为奇函数，在R上是增函数，故C不满足；

对于D．定义域R关于原点对称，f（﹣x）=﹣（﹣x）3=﹣f（x），则为奇函数，y′=﹣3x2≤0，则为减函数，故D满足．

故选D．

【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性的判断，考查定义法和导数、及性质的运用，考查运算能力，属于基础题．

7.C

考点：

函数零点的判定定理．

专题：

函数的性质及应用．

分析：

根据函数f（x）=2x﹣1+log2x，在（0，+∞）单调递增，f

（1）=1，f（）=﹣1，可判断分析．

解答：

解：

∵函数f（x）=2x﹣1+log2x，在（0，+∞）单调递增．

∴f

（1）=1，f（）=﹣1，

∴根据函数的零点的判断方法得出：

零点所在的一个区间是（），

故选：

C．

点评：

本题考查了函数的性质，函数的零点的判断方法，属于容易题．

8.C

【考点】函数的定义域及其求法；函数的值域．

【专题】计算题；综合题．

【分析】先配方利用定义域值域，分析确定m的范围．

【解答】解：

y=x2﹣3x﹣4=x2﹣3x+﹣=（x﹣）2﹣

定义域为〔0，m〕

那么在x=0时函数值最大

即y最大=（0﹣）2﹣=﹣=﹣4

又值域为〔﹣，﹣4〕

即当x=m时，函数最小且y最小=﹣

即﹣≤（m﹣）2﹣≤﹣4

0≤（m﹣）2≤

即m≥

（1）

即（m﹣）2≤

m﹣≥﹣3且m﹣≤

0≤m≤3

（2）

所以：

≤m≤3

故选C．

【点评】本题考查函数的定义域值域的求法，是中档题．

9.B

【考点】函数的概念及其构成要素．

【专题】数形结合．

【分析】本题考查的是函数的概念和图象问题．在解答时首先要对函数的概念从两个方面进行理解：

一是对于定义域内的任意一个自变量在值域当中都有唯一确定的元素与之对应，二是满足一对一、多对一的标准，绝不能出现一对多的现象．

【解答】解：

由题意可知：

M={x|﹣2≤x≤2}，N={y|0≤y≤2}，

对在集合M中（0，2]内的元素没有像，所以不对；

对不符合一对一或多对一的原则，故不对；

对在值域当中有的元素没有原像，所以不对；

而符合函数的定义．

故选：

B．

【点评】本题考查的是函数的概念和函数图象的综合类问题．在解答时充分体现了函数概念的知识、函数图象的知识以及问题转化的思想．值得同学们体会和反思．

10.D

考点：

函数奇偶性的性质．

专题：

函数的性质及应用．

分析：

根据已知条件即得f（x）在（﹣1，0）上单调递减，f（﹣x﹣1）=f（x﹣1），所以f（）=f（﹣），而都在f（x）的单调递减区间上，所以可比较对应三个函数值的大小．

解答：

解：

由已知条件可知，f（x）在（﹣1，0）上单调递减；

∵y=f（x﹣1）是偶函数；

∴f（﹣x﹣1）=f（x﹣1）；

∴；

∵f（x）在（﹣1，0）上单调递减，且；

∴；

即f（）＜f（﹣）＜f（﹣1）．

故选D．

点评：

考查单调递减函数的定义，以及偶函数的概念，根据函数单调性比较函数值的大小

11.C

【考点】判断两个函数是否为同一函数．

【专题】函数的性质及应用．

【分析】分别判断两个函数的定义域和对应法则是否完全相同即可．

【解答】解：

A．函数g（x）的定义域为{x|x≠0}，两个函数的定义域不相同，不是同一函数．

B．函数f（x）和g（x）的定义域为R，两个函数的定义域相同，但对应法则不相同，不是同一函数．

C．函数g（x）=x2，两个函数的定义域相同，对应法则相同，是同一函数．

D．函数g（x）的定义域为{x|x≠0}，两个函数的定义域不相同，不是同一函数．

故选C．

【点评】本题主要考查判断两个函数是否为同一函数，判断的依据是判断两个函数的定义域和对应法则是否完全相同．

12.D

【考点】奇偶性与单调性的综合．

【专题】常规题型．

【分析】本题是选择题，可采用逐一检验的方法，只要不满足其中一条就能说明不正确．

【解答】解：

f（x）=sinx是奇函数，但其在区间[﹣1，1]上单调递增，故A错；

∵f（x）=﹣|x+1|，∴f（﹣x）=﹣|﹣x+1|≠﹣f（x），∴f（x）=﹣|x+1|不是奇函数，∴故B错；

∵a＞1时，y=ax在[﹣1，1]上单调递增，y=a﹣x[﹣1，1]上单调递减，∴f（x）=（ax﹣a﹣x）在[﹣1，1]上单调递增，故C错；

故选D

【点评】本题综合考查了函数的奇偶性与单调性，是函数这一部分的常见好题．

13.C

【考点】函数单调性的性质；偶函数．

【专题】函数的性质及应用．

【分析】利用偶函数的性质，f

（1）=f（﹣1），在[0，+∞）上是减函数，在（﹣∞，0）上单调递增，列出不等式，解出x的取值范围．

【解答】解：

∵f（x）是偶函数，它在[0，+∞）上是减函数，

∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，

由f（lgx）＞f

（1），f

（1）=f（﹣1）

得：

﹣1＜lgx＜1，

∴＜x＜10，

故答案选C．

【点评】本题考查偶函数的性质及函数单调性的应用．

14.D

【考点】分段函数的应用．

【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用．

【分析】由于函数f（x）是分段函数，且对任意的非零实数x1，存在唯一的非零实数x2（x2≠x1），使得f（x2）=f（x1）成立，得到x=0时，f（x）=k（1﹣a2），进而得到，关于a的方程（3﹣a）2=k（1﹣a2）有实数解，即得△≥0，解出k即可．

【解答】解：

由于函数f（x）=，其中a∈R，

则x=0时，f（x）=k（1﹣a2），

又由对任意的非零实数x1，存在唯一的非零实数x2（x2≠x1），使得f（x2）=f（x1）成立．

∴函数必须为连续函数，即在x=0附近的左右两侧函数值相等，

∴（3﹣a）2=k（1﹣a2）即（k+1）a2﹣6a+9﹣k=0有实数解，

所以△=62﹣4（k+1）（9﹣k）≥0，解得k≤0或k≥8．

故答案为（﹣∞，0]∪[8，+∞）．

故选D．

【点评】本题考查了分段函数的运用，主要考查二次函数的性质，以及二次不等式的解法，考查运算能力，属于中档题．

15.C

考点：

函数的值；对数的运算性质．

专题：

计算题．

分析：

本题考查的分段函数的求值问题，由函数解析式，我们可以先计算当x＞0时的a值，然后再计算当x≤0时的a值，最后综合即可．

解答：

解：

当x＞0时，log2x=，∴x=；

当x≤0时，2x=，∴x=﹣1．

则实数a的值为：

﹣1或，

故选C．

点评：

分段函数求值问题分段处理，这是研究分段函数图象和性质最核心的理念，属于基础题．

16.0

【考点】对数函数图象与性质的综合应用；函数奇偶性的性质．

【专题】计算题．

【分析】由题意函数是偶函数，由偶函数的定义可以得到ln（x2+ax+1）=ln（x2﹣ax+1），进而得到ax=﹣ax在函数的定义域中总成立，即可判断出a的取值得到答案

【解答】解：

函数f（x）=ln（x2+ax+1）是偶函数

∴f（x）=f（﹣x），即ln（x2+ax+1）=ln（x2﹣ax+1）

∴ax=﹣ax在函数的定义域中总成立

∴a=0

故答案为0

【点评】本题考查对数的性质及函数偶函数的性质，解题的关键是理解ax=﹣ax在函数的定义域中总成立，由此判断出参数的取值

17.①②③

【考点】函数的定义域及其求法；函数的值域；指数函数的定义、解析式、定义域和值域；对数函数的值域与最值．

【专题】计算题．

【分析】根据①、②、③、④各个函数的定义域，求出各个函数的值域，判断正误即可．

【解答】解：

①中函数y=2x的定义域x≤0，值域y=2x∈（0，1]；原解错误；

②函数y=的定义域是{x|x＞2}，值域y=∈（0，）；原解错误；

③中函数y=x2的值域是{y|0≤y≤4}，，y=x2的值域是{y|0≤y≤4}，

但它的定义域不一定是{x|﹣2≤x≤2}；原解错误

④中函数y=log2x的值域是{y|y≤3}，y=log2x≤3，

∴0＜x≤8，故①②③错，④正确．

故答案为：

①②③

【点评】本题考查函数的定义域及其求法，函数的值域，指数函数的定义域和值域，对数函数的值域与最值，考查计算能力，高考常会考的题型．

18.1

考点：

对数函数图象与性质的综合应用．

专题：

数形结合．

分析：

分别作出函数f（x）=﹣3+x和g（x）=log2x的图象，结合函数f（x）=﹣3+x和g（x）=log2x的图象可知，在这两个函数的交点处函数h（x）=min{f（x），g（x）}的最大值．

解答：

解：

∵x＞0，∴f（x）=﹣x+3＜3，g（x）=log2x∈R，分别作出函数f（x）=﹣3+x和g（x）=log2x的图象，

结合函数f（x）=﹣3+x和g（x）=log2x的图象可知，

h（x）=min{f（x），g（x）}的图象，

在这两个函数的交点处函数h（x）=min{f（x），g（x）}的最大值．

解方程组得，

∴函数h（x）=min{f（x），g（x）}的最大值是1．

故答案是1．

点评：

数形结合是求解这类问题的有效方法．

19.

考点：

导数的运算．

专题：

导数的概念及应用．

分析：

画出函数f（x）的图象，由f（f（a））≤2，可得f（a）≥﹣2，数形结合求得实数a的取值范围．

解答：

解：

∵函数f（x）=，它的图象如图所示：

由f（f（a））≤2，可得f（a）≥﹣2．

由f（x）=﹣2，可得﹣x2=﹣2，x≥0，解得x=，

故当f（f（a））≤2时，则实数a的取值范围是a≤；

故答案为：

点评：

本题主要考查分段函数的应用，不等式的解法，关键得到f（a）≥﹣2．结合图形得到a的范围，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．

20.1

【考点】对数的运算性质．

【专题】计算题．

【分析】首先分析题目已知2a=5b=10，求的值，故考虑到把a和b用对数的形式表达出来代入，再根据对数的性质以及同底对数和的求法解得，即可得到答案．

【解答】解：

因为2a=5b=10，

故a=log210，b=log510

=1

故答案为1．

【点评】此题主要考查对数的运算性质的问题，对数函数属于三级考点的内容，一般在高考中以选择填空的形式出现，属于基础性试题同学们需要掌握．

21.

【考点】函数的图象；分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的单调性及单调区间．

【专题】作图题；数形结合．

【分析】

（1）根据x的符号分﹣2＜x≤0和0＜x≤2两种情况，去掉绝对值求出函数的解析式；

（2）根据

（1）的函数解析式，画出函数的图象；

（3）根据函数的图象求出函数的值域和函数单调区间．

【解答】解

（1）由题意知，f（x）=1+（﹣2＜x≤2），

当﹣2＜x≤0时，f（x）=1﹣x，当0＜x≤2时，f（x）=1，

则f（x）=

（2）函数图象如图：

（3）由

（2）的图象得，函数的值域为[1，3），

函数的单调减区间为（﹣2，0]．

【点评】本题考查了由函数解析式画出函数图象，根据图象求出函数的值域和单调区间，考查了作图和读图能力．

22.

【考点】函数恒成立问题；函数单调性的性质．

【专题】计算题；综合题．

【分析】（Ⅰ）由f（﹣1）=0，可得a﹣b+1=0即b=a+1，又对任意实数x均有f（x）≥0成立，可得恒成立，即（a﹣1）2≤0恒成立，从而可求出a，b的值；

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f（x）=x2+2x+1，可得g（x）=x2+（2﹣k）x+1，由g（x）在x∈[﹣2，2]时是单调函数，可得，从而得出，解之即可得出k的取值范围．

【解答】解：

（Ⅰ）∵f（﹣1）=0，

∴a﹣b+1=0即b=a+1，

又对任意实数x均有f（x）≥0成立

∴恒成立，即（a﹣1）2≤0恒成立

∴a=1，b=2；

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f（x）=x2+2x+1

∴g（x）=x2+（2﹣k）x+1

∵g（x）在x∈[﹣2，2]时是单调函数，

∴

∴，

即实数k的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪[6，+∞）．

【点评】本题考查了函数的恒成立问题及函数单调性的应用，难度一般，关键是掌握函数单调性的应用．

23.

【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．

【专题】计算题；证明题．

【分析】

（1）在给定区间内任取两数x1，x2，只需判断f（x1）﹣f（x2）与0的大小就行；

（2）由函数的单调性，即可求出最小值与最大值．

【解答】解：

（1）任取x1，x2∈（2，+∞），且x1＜x2，

f（x1）﹣f（x2）==，

∵x1＜x2，∴且x1﹣x2＜0，且x1，x2∈（2，+∞），∴x1x2﹣4＞0

∴f（x1）﹣f（x2）＜0，∴f（x）在（2，+∞）上的单调递增；

（2）任取x1，x2∈（1，2）且x1＜x2，f（x1）﹣f（x2）==，

∵x1＜x2，∴且x1﹣x2＜0，且x1，x2∈（1，2），∴x1x2﹣4＜0，

∴f（x1）﹣f（x2）＞0，∴f（x）在（1，2）上的单调递减，由

（1）知f（x）在（2，4）上单调递增，

又f

（1）=5，f

（2）=4，f（4）=5，∴当x=1或x=4时函数f（x）有最大值5，当x=2时函数f（x）有最小值4．

【点评】本题考查了运用定义法证明函数的单调性，连续函数在闭区间上的最值，注意的是最值可能是函数的极值也可能是区间端点的值．属于基础题．

24.

【考点】对数函数的定义域；集合关系中的参数取值问题．

【专题】计算题．

【分析】

（1）由2﹣=≥0，解得﹣1＜x≤3，可得A，由a=2且（x﹣a﹣1）（2a﹣x）＞0可得3＜x＜4，即得B，再由两个集合的并集的定义求出A∪B．

（2）由题意可得B⊆A，分a＞1、a=1、a＜1三种情况，分别求出实数a的取值范围，再求并集，即得所求．

【解答】解：

（1）由2﹣=≥0，解得﹣1＜x≤3，∴A=（﹣1，3]．

由a=2且（x﹣a﹣1）（2a﹣x）＞0可得3＜x＜4，故B=（3，4），

∴A∪B=（﹣1，4）．

（2）∵A∩B=B，∴B⊆A．

当a＞1时，A=（a+1，2a），有﹣1≤a+1＜2a≤3，即；

当a=1时，B=ϕ不合题意（函数定义域是非空集合）；

当a＜1时，A=（a+1，2a），有﹣1≤2a＜a+1≤3，即；

综上：

．

【点评】本题主要考查对数函数的定义域，集合中参数的取值问题，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．

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