立体几何知识点经典习题.doc

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立体几何知识点和典型例题

1、柱、锥、台、球的结构特征

（1）棱柱：

定义：

有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。

分类：

以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

表示：

用各顶点字母，如五棱柱或用对角线的端点字母，如五棱柱

几何特征：

两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。

（2）棱锥

定义：

有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体

分类：

以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等

表示：

用各顶点字母，如五棱锥

几何特征：

侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。

（3）棱台：

定义：

用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分

分类：

以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等

表示：

用各顶点字母，如五棱台

几何特征：

①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点

（4）圆柱：

定义：

以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体

几何特征：

①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。

（5）圆锥：

定义：

以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体

几何特征：

①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。

（6）圆台：

定义：

用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分

几何特征：

①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。

（7）球体：

定义：

以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体

几何特征：

①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。

2、空间几何体的三视图

定义三视图：

正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、

俯视图（从上向下）

注：

正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度；

　　俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度；

侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。

3、空间几何体的直观图——斜二测画法

斜二测画法特点：

①原来与x轴平行的线段仍然与x平行且长度不变；

②原来与y轴平行的线段仍然与y平行，长度为原来的一半。

4、柱体、锥体、台体的表面积与体积

（1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。

（2）特殊几何体表面积公式（c为底面周长，h为高，为斜高，l为母线）

（3）柱体、锥体、台体的体积公式

（4）球体的表面积和体积公式：

V=；S=

4、空间点、直线、平面的位置关系

（1）平面

①平面的概念：

A.描述性说明；B.平面是无限伸展的；

②平面的表示：

通常用希腊字母α、β、γ表示，如平面α（通常写在一个锐角内）；

也可以用两个相对顶点的字母来表示，如平面BC。

③点与平面的关系：

点A在平面内，记作；点不在平面内，记作

点与直线的关系：

点A的直线l上，记作：

A∈l；点A在直线l外，记作Al；

直线与平面的关系：

直线l在平面α内，记作lα；直线l不在平面α内，记作lα。

（2）公理1：

如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面内。

（即直线在平面内，或者平面经过直线）

应用：

检验桌面是否平；判断直线是否在平面内

用符号语言表示公理1：

（3）公理2：

经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。

推论：

一直线和直线外一点确定一平面；两相交直线确定一平面；两平行直线确定一平面。

公理2及其推论作用：

①它是空间内确定平面的依据②它是证明平面重合的依据

（4）公理3：

如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线

符号：

平面α和β相交，交线是a，记作α∩β＝a。

符号语言：

公理3的作用：

①它是判定两个平面相交的方法。

②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：

交线必过公共点。

③它可以判断点在直线上，即证若干个点共线的重要依据。

（5）公理4：

平行于同一条直线的两条直线互相平行

（6）空间直线与直线之间的位置关系

①异面直线定义：

不同在任何一个平面内的两条直线

②异面直线性质：

既不平行，又不相交。

③异面直线判定：

过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线

④异面直线所成角：

直线a、b是异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a’∥a，b’∥b，则把直线a’和b’所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。

两条异面直线所成角的范围是（0°，90°]，若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直。

说明：

（1）判定空间直线是异面直线方法：

①根据异面直线的定义；②异面直线的判定定理

（2）在异面直线所成角定义中，空间一点O是任取的，而和点O的位置无关。

②求异面直线所成角步骤：

A、利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上。

B、证明作出的角即为所求角C、利用三角形来求角

（7）等角定理：

如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两角相等或互补。

（8）空间直线与平面之间的位置关系

直线在平面内——有无数个公共点．

三种位置关系的符号表示：

aαa∩α＝Aa∥α

（9）平面与平面之间的位置关系：

平行——没有公共点；α∥β

相交——有一条公共直线。

α∩β＝b

5、空间中的平行问题

（1）直线与平面平行的判定及其性质

线面平行的判定定理：

平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行。

线线平行线面平行

线面平行的性质定理：

如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，

那么这条直线和交线平行。

线面平行线线平行

（2）平面与平面平行的判定及其性质

两个平面平行的判定定理

（1）如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行

（线面平行→面面平行），

（2）如果在两个平面内，各有两组相交直线对应平行，那么这两个平面平行。

（线线平行→面面平行），

（3）垂直于同一条直线的两个平面平行，

两个平面平行的性质定理

（1）如果两个平面平行，那么某一个平面内的直线与另一个平面平行。

（面面平行→线面平行）

（2）如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

（面面平行→线线平行）

7、空间中的垂直问题

（1）线线、面面、线面垂直的定义

①两条异面直线的垂直：

如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直。

②线面垂直：

如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，就说这条直线和这个平面垂直。

③平面和平面垂直：

如果两个平面相交，所成的二面角（从一条直线出发的两个半平面所组成的图形）是直二面角（平面角是直角），就说这两个平面垂直。

（2）垂直关系的判定和性质定理

①线面垂直判定定理和性质定理

判定定理：

如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。

性质定理：

如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。

②面面垂直的判定定理和性质定理

判定定理：

如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

性质定理：

如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。

9、空间角问题

（1）直线与直线所成的角

①两平行直线所成的角：

规定为。

②两条相交直线所成的角：

两条直线相交其中不大于直角的角，叫这两条直线所成的角。

③两条异面直线所成的角：

过空间任意一点O，分别作与两条异面直线a，b平行的直线，形成两条相交直线，这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所成的角。

（2）直线和平面所成的角

①平面的平行线与平面所成的角：

规定为。

②平面的垂线与平面所成的角：

规定为。

③平面的斜线与平面所成的角：

平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。

求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角：

“一作，二证，三计算”。

在“作角”时依定义关键作射影，由射影定义知关键在于斜线上一点到面的垂线，

在解题时，注意挖掘题设中两个主要信息：

（1）斜线上一点到面的垂线；

（2）过斜线上的一点或过斜线的平面与已知面垂直，由面面垂直性质易得垂线。

（3）二面角和二面角的平面角

①二面角的定义：

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。

②二面角的平面角：

以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角。

③直二面角：

平面角是直角的二面角叫直二面角。

两相交平面如果所组成的二面角是直二面角，那么这两个平面垂直；反过来，如果两个平面垂直，那么所成的二面角为直二面角

④求二面角的方法

定义法：

在棱上选择有关点，过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到平面角

垂面法：

已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个面的交线所成的角为二面角的平面角

7、空间直角坐标系

（1）定义：

如图，是单位正方体.以A为原点，

分别以OD,O,OB的方向为正方向，建立三条数轴。

这时建立了一个空间直角坐标系Oxyz.

1）O叫做坐标原点2）x轴，y轴，z轴叫做坐标轴.3）过每两个坐标轴的平面叫做坐标面。

（2）右手表示法：

令右手大拇指、食指和中指相互垂直时，可能形成的位置。

大拇指指向为x轴正方向，食指指向为y轴正向，中指指向则为z轴正向，这样也可以决定三轴间的相位置。

（3）任意点坐标表示：

空间一点M的坐标可以用有序实数组来表示，有序实数组叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作（x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标）

（4）空间两点距离坐标公式：

【常用结论】

一、判定两线平行的方法

1、平行于同一直线的两条直线互相平行

2、垂直于同一平面的两条直线互相平行

3、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行

4、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行

5、在同一平面内的两条直线，可依据平面几何的定理证明

二、判定线面平行的方法

1、据定义：

如果一条直线和一个平面没有公共点

2、如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平面平行

3、两面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面

4、平面外的两条平行直线中的一条平行于平面，则另一条也平行于该平面

5、平面外的一条直线和两个平行平面中的一个平面平行，则也平行于另一个平面

三、判定面面平行的方法

1、定义：

没有公共点

2、如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则两面平行

3垂直于同一直线的两个平面平行

4、平行于同一平面的两个平面平行

四、面面平行的性质

1、两平行平面没有公共点

2、两平面平行，则一个平面上的任一直线平行于另一平面

3、两平行平面被第三个平面所截，则两交线平行

4、垂直于两平行平面中一个平面的直线，必垂直于另一个平面

五、判定线面垂直的方法

1、定义：

如果一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，则线面垂直

2、如果一条直线和一个平面内的两条相交线垂直，则线面垂直

3、如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面

4、一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面

5、如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直它们交线的直线垂直于另一个平面

6、如果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么它们的交线垂直于另一个平面

六、判定两线垂直的方法

1、定义：

成角

2、直线和平面垂直，则该线与平面内任一直线垂直

3、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直

4、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直

5、一条直线如果和两条平行直线中的一条垂直，它也和另一条垂直

七、判定面面垂直的方法

1、定义：

两面成直二面角,则两面垂直

2、一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这个平面垂直于另一平面

八、面面垂直的性质

1、二面角的平面角为

2、在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面

3、相交平面同垂直于第三个平面，则交线垂直于第三个平面

九、各种角的范围

1、异面直线所成的角的取值范围是：

2、直线与平面所成的角的取值范围是：

3、斜线与平面所成的角的取值范围是：

4、二面角的大小用它的平面角来度量；取值范围是：

十、三角形的心

1、内心：

内切圆的圆心，角平分线的交点

2、外心：

外接圆的圆心，垂直平分线的交点

3、重心：

中线的交点

4、垂心：

高的交点

[常用方法及公示]:

1．证明直线与直线的平行的思考途径：

（1）转化为判定共面二直线无交点；

（2）转化为二直线同与第三条直线平行；（3）转化为线面平行；（4）转化为线面垂直；（5）转化为面面平行.

2．证明直线与平面的平行的思考途径：

（1）转化为直线与平面无公共点；

（2）转化为线线平行；（3）转化为面面平行.

3．证明平面与平面平行的思考途径：

（1）转化为判定二平面无公共点；

（2）转化为线面平行；（3）转化为线面垂直.

4．证明直线与直线的垂直的思考途径：

（1）转化为相交垂直；

（2）转化为线面垂直；（3）转化为线与另一线的射影垂直；（4）转化为线与形成射影的斜线垂直.

5．证明直线与平面垂直的思考途径：

（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；

（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；（5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直.

6．证明平面与平面的垂直的思考途径：

（1）转化为判断二面角是直二面角；

（2）转化为线面垂直.

7.夹角公式：

设a＝，b＝，则cos〈a，b〉=.

8．异面直线所成角：

=

（其中（）为异面直线所成角，分别表示异面直线的方向向量）

9.直线与平面所成角：

（为平面的法向量）.

10.二面角的平面角

或（，为平面，的法向量）.

11.三余弦定理：

设AC是α内的任一条直线，且BC⊥AC，垂足为C，又设AO与AB所成的角为，AB与AC所成的角为，AO与AC所成的角为．则.

12.空间两点间的距离公式若A，B，则=.

13.异面直线间的距离：

（是两异面直线，其公垂向量为，分别是上任一点，为间的距离）.

14.点到平面的距离：

（为平面的法向量，是经过面的一条斜线，）.

15.长度为的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为，夹角分别为,则有.

（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）.

16.面积射影定理.（平面多边形及其射影的面积分别是、，它们所在平面所成锐二面角的）.

17.球的组合体

（1）球与长方体的组合体:

长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.

（2）球与正方体的组合体:

正方体的内切球的直径是正方体的棱长,正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长,正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.（3）球与正四面体的组合体:

棱长为的正四面体的内切球的半径为,外接球的半径为.

18. 求点到面的距离的常规方法是什么？

（直接法、体积法）

19. 求多面体体积的常规方法是什么？

（割补法、等积变换法）

考点一,几何体的概念与性质

【基础训练】

1.判定下面的说法是否正确:

（1）有两个面互相平行,其余各个面都是平行四边形的几何体叫棱柱.

（2）有两个面平行,其余各面为梯形的几何体叫棱台.

2.如图分别是的中点探索过的平面截正方体所得截面的形状.

6.下列说法不正确的是（）

A．空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形。

B.同一平面的两条垂线一定共面。

C.过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一平面内。

D.过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直。

【高考链接】

1.设和为不重合的两个平面，给出下列命题：

（1）若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则平行于；

（2）若外一条直线与内的一条直线平行，则和平行；

（3）设和相交于直线，若内有一条直线垂直于，则和垂直；

（4）直线与垂直的充分必要条件是与内的两条直线垂直。

上面命题中，真命题的序号（写出所有真命题的序号）.

2.在空间，下列命题正确的是

（A）平行直线的平行投影重合

（B）平行于同一直线的两个平面平行

（C）垂直于同一平面的两个平面平行

（D）垂直于同一平面的两条直线平行

考点二三视图与直观图及面积与体积

【基础训练】

1.如图（3）,为正方体的面与面的中心,则四边形在该正方体的面上的投影可能是.

2.如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原图形的面积是（）

A.BCD

3.在中，若使其绕直线旋转一周，则它形成的几何体的体积是（）

A.B.C.D.

4.已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是，则这个长方体的对角线长是.若长方体共顶点的三个侧面面积分别为3,5,15，则它的体积为.

5.正方体的内切球和外接球的半径之比为（）

A.B.C.D.

6.一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2，则球的表面积是（）

A.B.C.D.

7.若三个球的表面积之比是1:

2:

3，则它们的体积之比是.

8.长方体的一个顶点上三条棱长分别为3、4、5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（）

A.B.C.D.以上都不对

9..半径为R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为.

【高考链接】

1.一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积为（）

（A）48+12（B）48+24（C）36+12（D）36+24

2.设某几何体的三视图如下则该几何

体的体积为

3..如图1，△ABC为三角形，// // , ⊥平面ABC 且3===AB,则多面体△ABC-的正视图（也称主视图）是

考点三线面间位置关系

【基础训练】

1.已知在四边形ABCD中，E,F分别是AC,BD的中点,若AB=2，CD=4，

则EF与CD所成的角的度数是（）

A.B.C.D.

2.已知直线（）

B.C.D.

【高考链接】

1设是两条直线，是两个平面，则的一个充分条件是（）

A． B．

C． D．

2.对两条不相交的空间直线和，必定存在平面，使得（）

（A）（B）（C）（D）

3.已知直线m,n和平面满足,则（）

或或

4.已知是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是（）

A． B．

C． D．

5.设是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是（）

A．若，则B．若，则

C．若，则D．若，则

6.设，是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是

（A）若，，则（B）若，，则

（C）若，，则（D）若，，则

7.用、、表示三条不同的直线，表示平面，给出下列命题：

①若∥，∥，则∥；②若⊥，⊥，则⊥；

③若∥，∥，则∥；④若⊥，⊥，则∥.

A.①② B.②③ C.①④ D.③④

考点四求空间图形中的角

【基础训练】

1.直角的斜边,AC,BC与平面的角分别为,CD是斜边AB上的高,则CD与平面所成的角为.

2.如图,正三棱柱V-ABC（顶点在地面上的射影是底面正三角形的中心）中,D,E,F分别是VC,VA,AC的中点,P为VB上任意一点,则直线DE与PF所成的角的大小是（）

A.B.

C.D.随点的变化而变化

5.直线与平面所成的角为，则m与所成角的取值范围是

.

【高考链接】

题型一异面直线所成的角

1.已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面上的射影为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（）

（A）（B）（C）（D）

2.已知正四棱柱中，=，为重点，则异面直线与所形成角的余弦值为（）

（A）（B）（C）（D）

3.如图，已知正三棱柱

的各条棱长都相等，是

侧棱的中点，则异面直线

所成的角的大小是。

4.如图，若正四棱柱

的底面连长为2，高

为4，则异面直线与AD所成角的

正切值是______________

5.直三棱柱中，若，，则异面直线与所成的角等于（）

（A）30°（B）45°（C）60°（D）90°

题型二线面角

1.已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面内的射影为的中心，则与底面所成角的正弦值等于（）

A． B． C． D．

2.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为（）

A.B.C.D.

3.在三棱柱中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点是侧面的中心，则与平面所成角的大小是（）

A．B．C．D．

4.如图，已知六棱锥的底面是正六边形，

则下列结论正确的是（）

A.;B