第17讲算法案例.doc
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普通高中课程标准实验教科书—数学[人教版]老苗汤
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高三新数学第一轮复习教案（讲座17）—算法案例
一．课标要求：
通过阅读中国古代数学中的算法案例，体会中国古代数学对世界数学发展的贡献。
二．命题走向
算法是高中数学新课程中的新增内容，本讲的重点是几种重要的算法案例思想，复习时重算法的思想轻算法和程序的构造。
预测2007年高考队本讲的考察是：
以选择题或填空题的形式出现，分值在5分左右，考察的热点是算法实例和传统数学知识的结合题目。
三．要点精讲
1．求最大公约数
（1）短除法
求两个正整数的最大公约数的步骤：
先用两个数公有的质因数连续去除，一直除到所得的商是两个互质数为止，然后把所有的除数连乘起来。
（2）穷举法（也叫枚举法）
穷举法求两个正整数的最大公约数的解题步骤：
从两个数中较小数开始由大到小列举，直到找到公约数立即中断列举，得到的公约数便是最大公约数。
（3）辗转相除法
辗转相除法求两个数的最大公约数，其算法可以描述如下：
①输入两个正整数m和n；
②求余数r：
计算m除以n，将所得余数存放到变量r中；
③更新被除数和余数：
m=n，n=r；
④判断余数r是否为0。
若余数为0，则输出结果；否则转向第②步继续循环执行。
如此循环，直到得到结果为止。
（4）更相减损术
我国早期也有解决求最大公约数问题的算法，就是更相减损术。
在《九章算术》中记载了更相减损术求最大公约数的步骤：
可半者半之，不可半者，副置分母•子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。
步骤：
Ⅰ．任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数。
若是，用2约简；若不是，执行第二步。
Ⅱ．以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。
继续这操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数。
2．秦九韶算法
秦九韶算法的一般规则：
秦九韶算法适用一般的多项式f（x）=anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0的求值问题。
用秦九韶算法求一般多项式f（x）=anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0当x=x0时的函数值，可把n次多项式的求值问题转化成求n个一次多项式的值的问题，即求
v0=an
v1=anx+an－1
v2=v1x+an－2
v3=v2x+an－3
……..
vn=vn－1x+a0
观察秦九韶算法的数学模型，计算vk时要用到vk－1的值，若令v0=an。
我们可以得到下面的递推公式：
v0=an
vk=vk－1+an－k（k=1,2,…n）
这是一个在秦九韶算法中反复执行的步骤，可以用循环结构来实现。
3.排序
排序的算法很多，课本主要介绍里两种排序方法：
直接插入排序和冒泡排序
（1）直接插入排序
在日常生活中，经常碰到这样一类排序问题：
把新的数据插入到已经排好顺序的数据列中。
例如：
一组从小到大排好顺序的数据列{1，3，5，7，9，11，13}，通常称之为有序列，我们用序号1，2，3，……表示数据的位置，欲把一个新的数据8插入到上述序列中。
完成这个工作要考虑两个问题：
（1）确定数据“8”在原有序列中应该占有的位置序号。
数据“8”所处的位置应满足小于或等于原有序列右边所有的数据，大于其左边位置上所有的数据。
（2）将这个位置空出来，将数据“8”插进去。
对于一列无序的数据列，例如：
{49，38，65，97，76，13，27，49}，如何使用这种方法进行排序呢？
基本思想很简单，即反复使用上述方法排序，由序列的长度不断增加，一直到完成整个无序列就有序了。
首先，{49}是有序列，我们将38插入到有序列{49}中，得到两个数据的有序列：
{38，49}，
然后，将第三个数据65插入到上述序列中，得到有序列：
{38，49，65}
…………
按照这种方法，直到将最后一个数据65插入到上述有序列中，得到
{13，27，38，49，49，65，76，97}
这样，就完成了整个数据列的排序工作。
注意到无序列“插入排序算法”成为了解决这类问题的平台。
（2）冒泡法排序
所谓冒泡法排序，形象地说，就是将一组数据按照从小到大的顺序排列时，小的数据视为质量轻的，大的数据视为质量沉的。
一个小的数据就好比水中的气泡，往上移动，一个较大的数据就好比石头，往下移动。
显然最终会沉到水底，最轻的会浮到顶，反复进行，直到数据列排成为有序列。
以上过程反映了这种排序方法的基本思路。
我们先对一组数据进行分析。
设待排序的数据为：
{49，38，65，97，76，13，27，49}
排序的具体操作步骤如下：
1．将第1个数与右边相邻的数38进行比较，因为38<49，49应下沉，即向右移动，所以交换他们的位置，得到新的数据列：
{38，49，65，97，76，13，27，49}
2．将新数据列中的第2个数49与右边相邻的数65进行比较，因为65>49，所以顺序不变，得到新的数据列：
{38，49，65，97，76，13，27，49}
3．将新数据列中的第3个数65与右边相邻的数97进行比较，因为97>65，所以顺序不变，得到新的数据列：
{38，49，65，97，76，13，27，49}
4．将新数据列中的第4个数97与右边相邻的数76进行比较，因为76<97，97应下沉，所以顺序不变，得到新的数据列：
{38，49，65，76，97，13，27，49}
5．将新数据列中的第5个数97与右边相邻的数13进行比较，因为13<97，97应下沉，所以顺序改变，得到新的数据列：
{38，49，65，76，13，97，27，49}
6．将新数据列中的第6个数97与右边相邻的数27进行比较，因为27<97，97应下沉，所以顺序改变，得到新的数据列：
{38，49，65，76，13，97，27，49}
7．将新数据列中的第7个数97与右边相邻的数49进行比较，因为49<97，97应下沉，所以顺序改变，得到新的数据列：
{38，49，65，76，13，97，49，27}
我们把上述过程称为一趟排序。
其基本特征是最大的数据沉到底，即排在最左边位置上的数据是数组中最大的数据。
反复执行上面的步骤，就能完成排序工作，排序过程不会超过7趟。
这种排序的方法称为冒泡排序。
上面的分析具有一般性，如果数据列有n个数据组成，至多经过n－1趟排序，就能完成整个排序过程。
4．进位制
（1）概念
进位制是一种记数方式，用有限的数字在不同的位置表示不同的数值。
可使用数字符号的个数称为基数，基数为n，即可称n进位制，简称n进制。
现在最常用的是十进制，通常使用10个阿拉伯数字0—9进行记数。
对于任何一个数，我们可以用不同的进位制来表示。
比如：
十进数57，可以用二进制表示为111001，也可以用八进制表示为71、用十六进制表示为39，它们所代表的数值都是一样的。
一般地，若k是一个大于一的整数，那么以k为基数的k进制可以表示为：
，
而表示各种进位制数一般在数字右下脚加注来表示,如111001
（2）表示二进制数,34（5）表示5进制数。
（2）进位制间的转换
关于进位制的转换，教科书上以十进制和二进制之间的转换为例讲解，并推广到十进制和其它进制之间的转换。
这样做的原因是，计算机是以二进制的形式进行存储和计算数据的，而一般我们传输给计算机的数据是十进制数据，因此计算机必须先将十进制数转换为二进制数，再处理，显然运算后首次得到的结果为二进制数，同时计算机又把运算结果由二进制数转换成十进制数输出。
非十进制数转换为十进制数比较简单，只要计算下面的式子值即可：
第一步：
从左到右依次取出k进制数各位上的数字，乘以相应的k的幂，k的幂从n开始取值，每次递减1，递减到0，即；
第二步：
把所得到的乘积加起来，所得的结果就是相应的十进制数。
十进制数转换成非十进制数
把十进制数转换为二进制数，教科书上提供了“除2取余法”，我们可以类比得到十进制数转换成k进制数的算法“除k取余法”。
非十进制之间的转换
一个自然的想法是利用十进制作为桥梁。
教科书上提供了一个二进制数据与16进制数据之间的互化的方法，也就是先有二进制数转化为十进制数，再由十进制数转化成为16进制数。
四．典例解析
题型1：
求最大公约数
例1．
（1）用辗转相除法求123和48的最大公约数？
（2）用更相减损来求80和36的最大公约数？
解析：
（1）辗转相除法求最大公约数的过程如下：
（建立带余除式）
123＝2×48＋27
48＝1×27＋21
27＝1×21＋6
21＝3×6＋3
6＝2×3+0
最后6能被3整除，得123和48的最大公约数为3。
（2）分析：
我们将80作为大数，36作为小数，执行更相减损术来求两数的最大公约数。
执行结束的准则是减数和差相等。
更相减损术：
因为80和36都是偶数，要去公因数2。
80÷2=40，36÷2=18；
40和18都是偶数，要去公因数2。
40÷2=20，18÷2=9
下面来求20与9的最大公约数，
20－9=11
11－9=2
9－2=7
7－2=5
5－2=3
3－2=1
2－1=1
可得80和36的最大公约数为22×1=4。
点评：
对比两种方法控制好算法的结束，辗转相除法是到达余数为0，更相减损术是到达减数和差相等。
例2．设计一个算法，求出840与1764的最大公因数。
解析：
我们已经学习过了对自然数的素因数分解的方法，下面的算法就是在此基础上设计的。
解题思路如下：
首先对两个数进行素因数分解：
840=23×3×5×7，1764=22×32×72，
其次，确定两个数的公共素因数：
2，3，7。
接着确定公共素因数的指数：
对于公共素因数2，840中为23，1764中为22，应取较少的一个22，同理可得下面的因数为3和7。
算法步骤：
第一步：
将840进行素数分解23×3×5×7；
第二步：
将1764进行素数分解22×32×72；
第三步：
确定它们的公共素因数：
2，3，7；
第四步：
确定公共素因数2，3，7的指数分别是：
2，1，1；
第五步：
最大公因数为22×31×71=84。
点评：
质数是除１以外只能被１和本身整除的正整数，它应该是无限多个，但是目前没有一个规律来确定所有的质数。
题型2：
秦九韶算法
例3．（2005北京，14）已知n次多项式，如果在一种算法中，计算（k＝2，3，4，…，n）的值需要k－1次乘法，计算的值共需要9次运算（6次乘法，3次加法），那么计算的值共需要次运算。
下面给出一种减少运算次数的算法：
（k＝0，1，2，…，n－1）．利用该算法，计算的值共需要6次运算，计算的值共需要次运算。
答案：
65；20。
点评：
秦九韶算法适用一般的多项式f（x）=anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0的求值问题。
直接法乘法运算的次数最多可到达，加法最多n次。
秦九韶算法通过转化把乘法运算的次数减少到最多n次，加法最多n次。
例4．已知多项式函数f（x）=2x5－5x4－4x3+3x2－6x+7，求当x=5时的函数的值。
解析：
把多项式变形为：
f（x）=2x5－5x4－4x3+3x2－6x+7
=（（（（2x－5）x－4）x+3）x－6）x+7
计算的过程可以列表表示为：
多项式x系数
2
－5
－4
3
－6
7
运算
运算所得的值
10
25
105
540
2670
+
变形后x的"系数"
2
5
21
108
534
2677
*5
最后的系数2677即为所求的值。
算法过程：
v0=2
v1=2×5－5=5
v2=5×5－4=21
v3=21×5+3=108
v4=108×5－6=534
v5=534×5+7=2677
点评：
如果多项式函数中有缺项的话，要以系数为0的项补齐后再计算。
题型三：
排序
例4．试用两种排序方法将以下8个数：
7,1,3,12,8,4,9,10。
按照从大到小的顺序进行排序。
解析：
可以按照直接插入排序和冒泡排序这两种方法的要求，结合图形，分析写出。
直接插入法排序：
[7]131284910
[71]31284910
[731]1284910
[12731]84910
[128731]4910
[1287431]910
[12987431]10
[1210987431]
冒泡排序
7
7
7
7
7
7
7
7
1
1
3
3
3
3
3
3
3
3
1
12
12
12
12
12
12
12
12
1
8
8
8
8
8
8
8
8
1
4
4
4
4
4
4
4
4
1
9
9
9
9
9
9
9
9
1
10
10
10
10
10
10
10
10
第一趟
7
7
12
12
12
12
3
12
8
8
9
10
12
8
7
9
10
9
8
4
9
10
8
8
4
9
10
7
7
7
9
10
4
4
4
4
10
3
3
3
3
3
1
1
1
1
1
1
第2趟第3趟第4趟第5趟第6趟
点评：
直接插入法和冒泡法排序是常见的排序方法，通过该例，我们对比可以发现，直接插入排序比冒泡排序更有效一些，执行的操作步骤更少一些。
例6．给出以下四个数：
6，－3，0，15，用直接插入法排序将它们按从小到大的顺序排列，用冒泡法将它们按从大到小的顺序排列。
分析：
不论从大到小的顺序还是按从大到小的顺序，都可按两种方法的步骤进行排序。
解析：
直接插入排序法：
[6]－3015
[－36]015
[－306]15
[－30615]
用冒泡排序法排序：
6
6
6
6
6
6
6
15
15
15
－3
－3
0
0
0
15
15
6
6
6
0
0
－3
15
15
0
0
0
0
0
15
15
15
－3
－3
－3
－3
－3
－3
－3
题型4：
进位值
例7．把十进制数89化为三进制数，并写出程序语句.
解析：
具体的计算方法如下：
89=3×29+2
29=3×9+2
9=3×3+0
3=3×1+0
1=3×0+1
所以:
89（10）=1011001（3）。
点评：
根据三进制数满三进一的原则，可以用3连续去除89及其所的得的商，然后按倒序的先后顺序取出余数组成数据即可。
例8．将8进制数314706（8）化为十进制数，并编写出一个实现算法的程序。
解析：
314706（8）=3×85+1×84+4×83+7×82+0×81+6×80=104902。
所以，化为十进制数是104902。
点评：
利用把k进制数转化为十进制数的一般方法就可以把8进制数314706（8）化为十进制数，然后根据该算法，利用GET函数，应用循环结构可以设计程序。
五．思维总结
开始
输入：
m,n
r=mMODn
m=n
n=r
r=0?
输出：
开始
Y
N
1．求最大公约数
（1）辗转相除法
程序框图与程序语句
程序：
INPUT“m，n=”;m,n
DO
r=mMODn
m=n
n=r
LOOPUNTILr=0
PRINT
END
（2）更相减损术
更相减损术程序：
INPUT“请输入两个不相等的正整数”；a，b
i=0
WHILEaMOD2=0ANDbMOD2=0
a=a/2
b=b/2
i=i+1
WEND
DO
IFbt=a
a=b
b=t
ENDIF
c=a－b
a=b
b=c
LOOPUNTILa=b
PRINTa^i
END
对于两个正整数如何选择合适的方法求他们的最大公约数
方法
适用范围及特点
短除法
适合两个较小的正整数或两个质因数较少的正整数，简便易操作。
穷举法
适合计算机操作，但一一验证过于繁琐。
辗转相除法
适用于两个较大的正整数，以除法为主，辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小差别较大时计算次数较明显。
更相减损术
适用于两个较大的正整数，更相减损术以减法为主，计算次数上相对于辗转相处法较多。
2．我们以这个5次多项式函数为例加以说明，设：
f（x）=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0
首先，让我们以5次多项式一步步地进行改写：
f（x）=（a5x4+a4x3+a3x2+a2x+a1）x+a0
=（（a5x3+a4x2+a3x+a2）x+a1）x+a0
=（（（a5x2+a4x+a3）x+a2）x+a1）x+a0
=（（（（a5x+a4）x+a3）x+a2）x+a1）x+a0
上面的分层计算。
只用了小括号，计算时，首先计算最内层的括号，然后由里向外逐层计算，直到最外层的括号，然后加上常数项即可。
开始
输入a1,a2,a3,a4,a5,x0
n=1,v=v5
n≤6?
v=v×x0+a5－n
n=n+1
输出v
结束
3．排序
（1）直接插入排序
插入排序的思想就是读一个，排一个。
将数组的第１个数据放入数组的第１个位置，以后读入的数据与已存入数组的数据进行比较，确定它按从大到小（从小到大）的排列中排在正确的位置。
将该位置以及以后的元素向后推移一个位置，将读入的新数填到空出的位置即可。
（2）冒泡排序
以从大到小为例：
依次比较相邻的两个数,把大的放前面,小的放后面。
即首先比较第1个数和第2个数,大数放前,小数放后；然后比较完成第2个数和第3个数；......；直到比较完了最后两个数。
第一趟排序结束,最小的一定沉到最后。
重复上过程,仍从第1个数开始,到最后第2个数......由于在排序过程中总是大数往前,小数往后,相当气泡上升,所以叫冒泡排序。
4．进位值
我们常见的数字都是十进制数,比如一般的数值计算，但是并不是生活中的每一种数字都是十进制的。
比如时间和角度的单位是六十进制,电子计算机的指令用的是二进制，早先的计算机的用的是十六进制的。
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