(-∞,a)
R
(-∞,+∞)
考点4函数的定义域
(1)如果f(x)是整式,那么函数的定义域是实数集R.
(2)如果f(x)是分式,那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合.
(3)如果f(x)是二次根式,那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合.
(4)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的,那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合(即求各部分定义域的交集).
(5)对于由实际问题的背景确定的函数,其定义域还要受实际问题的制约.
考点5求值域的方法
(1)配方法,
(2)换元法,
(3)分离常数法考点6求函数解析式的题型有:
(1)已知函数类型,求函数的解析式。
例如:
一次函数、二次函数、反比例函数。
——待定系数法;
(2)已知求或已知求——复合函数换元法
(3)满足某个等式,这个等式除外还有其他未知量,例如:
或者。
此时需构造另个等式——解方程组法
四、例题精析
【例题1】
【题干】判断下列各题中,函数与是不是同一函数?
说明理由。
①,;
②,;
③,;
④,;
【规范解答】
①的定义域是,而的定义域是R,与的定义域不同,与是两个不同的函数。
②与的定义域都是R,又,即与的对应法则边相同,所以与是相同函数。
③由于,,它们对应法则不同,所以与是不同函数。
④是不同函数,的定义域是R,而的定义域是
【总结与反思】注意:
定义域、值域、对应法则是函数的三大要素,定义域与对应法则确定则值域也随而定,故两个函数是相同函数的充要条件是它们的定义域与对应法则(在本质上)相同。
【例题2】
【题干】已知函数f(x)=+,
(1)求函数的定义域;
(2)求f(-3),f()的值;
(3)当a>0时,求f(a),f(a-1)的值.
【规范解答】
(1)要使函数有意义,自变量x的取值需满足解得-3≤x<-2或x>-2,
即函数的定义域是[-3,-2)∪(-2,+∞).
(2)f(-3)=+=-1;f()==.
(3)∵a>0,∴a∈[-3,-2)∪(-2,+∞),
即f(a),f(a-1)有意义.
则f(a)=+;f(a-1)==.
【总结与反思】
(1)函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围,故转化为求使和有意义的自变量的取值范围;有意义,则x+3≥0,有意义,则x+2≠0,转化解由x+3≥0和x+2≠0组成的不等式组.
(2)f(-3)表示自变量x=-3时对应的函数值,f()表示自变量x=时对应的函数值.
(3)f(a)表示自变量x=a时对应的函数值,f(a-1)表示自变量x=a-1时对应的函数值.
分别将a,a-1代入函数的对应法则中得f(a),f(a-1)的值.
【例题3】
【题干】设M={x|-2≤x≤2},N={y|0≤y≤2},函数f(x)的定义域为M,值域为N,则f(x)的图象可以是()
【规范解答】A项定义域为[-2,0],D项值域不是[0,2],C项对任一x都有两个y与之对应,都不符.故选B.
【总结与反思】仔细观察,图象与定义域值域一一对应
【例题4】
【题干】已知f(x+1)的定义域为[-1,1],求f(2x-1)的定义域。
【规范解答】∵f(x+1)的定义域为[-1,1];∴;∴f(x)的定义域为[0,2];
∴f(2x-1)中,,∴,∴f(2x-1)的定义域为
【总结与反思】本题旨在考查复合函数的定义域
(1)定义域是指x的取值范围
(2)“()”内的范围相同
【例题5】
【题干】求的值域
【规范解答】带有根号的函数利用换元法求值域
令,
【总结与反思】带根号的函数都利用换元法转化成二次函数即可
课程小结
1.判断所给对应是否是函数的基本步骤
(1)集合A、B是否是非空数集,
(2)集合A中数x的任意性,集合B中数y的唯一性.即:
A中元素必须用尽,B中元素可以有剩余。
(3)对应可以是“一对一”、“多对一”,但不能是“一对多”。
2.函数的定义域
(1)整式,那么函数的定义域是实数集R.
(2)分式,那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合.
(3)二次根式,那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合.
(4)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的,那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合
(5)对于由实际问题的背景确定的函数,其定义域还要受实际问题的制约.
3.求值域的方法
(1)配方法,
(2)换元法,
(3)分离常数法。
4.求函数解析式的题型有:
(1)已知函数类型,求函数的解析式。
例如:
一次函数、二次函数、反比例函数。
——待定系数法;
(2)已知求或已知求——复合函数换元法
(3)满足某个等式,这个等式除外还有其他未知量,例如:
或者。
此时需构造另个等式——解方程组法
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