均值不等式习题大全.docx

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均值不等式题型汇总

杨社锋

均值不等式是每年高考必考内容，它以形式灵活多变而备受出题人的青睐，下面我们来细数近几年来均值不等式在高考试题中的应用。

类型一：

证明题

1.设求证：

2.设求证：

3.设求证：

4.设求证：

5.已知实数满足：

，求得最大值。

6.已知正实数，且求证：

7.（2010辽宁）已知均为正实数，证明：

，并确定为何值时，等号成立。

类型二：

求最值：

利用均值不等式求最值是近几年高考中考查频率最高的题型之一。

使用均值不等式的核心在于配凑，配凑的精髓在于使得均值不等式取等号的条件成立。

1.设，求的最小值。

2.设，求的最小值。

3.已知为正实数，且求的最小值。

4.求函数的最小值。

变式：

求函数的最小值。

5.设，，求的最小值。

6.设，求的最小值。

7.设，求的最大值。

8.（2010浙江高考）设为实数，若，求的最大值。

9.求函数的最大值。

变式：

的最大值和最小值。

10.设求函数的最小值。

11.设设求函数的最小值。

12.（2010山东高考）若任意，恒成立，求的取值范围.

13.求函数的最大值。

类型三、应用题

1.（2009湖北）围建一个面积为的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需要维修），其它三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为，新墙的造价为，设利用旧墙的长度为（单位：

）。

（1）将表示为的函数（表示总费用）。

（2）试确定，使修建此矩形场地围墙的总费用最少。

并求出最小总费用。

2.（2008广东）某单位用2160万元购得一块空地，计划在该空地上建造一栋至少10层，每层2000平方米的楼房。

经测算，如果将楼房建为层（），则每平方米的平均建筑费用为（单位：

元）。

为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？

（注：

平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，

平均购地费用）

附加题：

若正数满足，那么的最小值为