空间直线和平面复习总结.doc

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空间直线和平面

（一）知识结构

（二）平行与垂直关系的论证

1、线线、线面、面面平行关系的转化：

2.线线、线面、面面垂直关系的转化：

3.平行与垂直关系的转化：

4.应用以上“转化”的基本思路——“由求证想判定，由已知想性质。

”

5.唯一性结论：

（三）空间中的角与距离

1.三类角的定义：

（1）异面直线所成的角θ：

0°＜θ≤90°

（2）直线与平面所成的角：

0°≤θ≤90°

（3）二面角：

二面角的平面角θ，0°≤θ≤180°

2.三类角的求法：

转化为平面角“一找、二作、三算”

即：

（1）找出或作出有关的角；

（2）证明其符合定义；

（3）指出所求作的角；

（4）计算大小。

3.空间距离：

将空间距离转化为两点间距离——构造三角形，解三角形，求该线段的长。

4.点到面的距离，线线间距离、线面间距离、面面间距离都可转化为点到面的距离。

常用方法：

三垂线法、垂面法、体积法、向量法等。

简单几何体：

（一）棱柱（两底面平行，侧棱平行的多面体）

（二）棱锥（底面是多边形，其余各面是由有一个公共顶点的三角形所围成的多面体）

定理：

截面与底面平行

则有

正棱锥的性质

概率与统计

（一）散型随机变量的分布列

性质：

二项分布：

若

则

期望：

方差：

（二）抽样方法

【典型例题】

例1.如图，在四面体ABCD中作截面EFG，若EG，DC的延长线交于M，FG、BC的延长线交于N，EF、DB的延长线交于P，求证M、N、P三点共线。

证明：

由已知，显然M、N、P在平面EFG上

又M、N、P分别在直线DC、BC、DB上

故也在平面BCD上

即M、N、P是平面BCD与平面EFG的公共点

∴它们必在这两个平面的交线上

根据公理2.M、N、P三点共线

例2.在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1和BB1的中点，那么AM与CM所成角的余弦值为（）

分析：

如图，取AB中点E，CC1中点F

连结B1E、B1F、EF

则B1E//AM，B1F//NC

∴∠EB1F为AM与CN所成的角

又棱长为1

∴选D

例3.

其中正确的两个命题是（）

A.①与② B.③与④ C.②与④ D.①与③

分析：

∴②错

∴④错

∴①③正确，选D

例4.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F。

（1）证明PA//面EDB。

（2）PB⊥平面EFD。

证：

（1）连AC，AC交BD于O，连EO

∵底面ABCD是正方形

∴点O是AC中点

又E为PC中点

∴EO//PA

∴PA//面EDB

（2）∵PD⊥底面ABCD

∴BC⊥PD

∴BC⊥面PDC ∴BC⊥DE

又E为等直角三角形中点

∴DE⊥面PBC ∴DE⊥PB

∴PB⊥面DEF

例5.正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB1⊥BC1，求证：

A1C⊥BC1。

证明：

设E、E1分别是BC、B1C1的中点，连AE，A1E1，B1E，E1C

注：

三垂线定理是证明两直线异面垂直的常用手段。

例6.下列正方体中，l是一条体对角线，M、N、P分别为其所在棱的中点，如何证明l⊥面MNP。

分析：

③如图，取棱A1A、DC、B1C1的中点，分别记为E、F、G，显然EMFNGP为平面图形，而D1B与该平面垂直

∴l⊥面MNP

例7.

∠ACB=90°，侧棱与底面成60°的角。

分析：

证明：

又∠ACB=90°，即AC⊥BC

∴D为AC中点

例8.已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，D、E分别是AB、AC的中点，沿DE将△ABC折成直二面角，使A到A’的位置（如图）。

求：

（1）C到A’D的距离；

（2）D到平面A’BC的距离；

（3）A’D与平面A’BC所成角的正弦值。

解：

（1）∵二面角A’－DE－B是直二面角

又A’E⊥ED，CE⊥ED

∴ED⊥面A’EC及EC⊥面A’ED

作EF⊥A’D于F，连结CF，则CF⊥A’D

∴CF即为C点到直线A’D的距离

在Rt△A’ED中，EF·A’D=A’E·ED

∴DE//面A’BC

∴E到面A’BC的距离即为D点到平面A’BC的距离

过E作EM⊥A’C于M

∵ED⊥面A’EC

又BC//ED

∴BC⊥面A’EC

∴BC⊥EM

∴EM⊥面A’BC

或者用体积法：

例9.

（1）证明：

（2）解：

又取BC中点N，连结NF

例10.将一颗骰子连续抛掷两次称为一次试验，如果一次试验中两次抛掷的骰子所出现的点数之和大于9时，则称为这次试验成功。

（1）求一次试验成功的概率；

（2）在试验成功的所有情况中，以表示两次抛掷的骰子出现的点数和，求的概率分布列及数学期望。

解：

（1）两次抛掷出现点数之和大于9的有（4，6），（5，5），（5，6），（6，4），（6，5），（6，6）

（2）在成功的条件下，ξ=10，11，12

【模拟试题】

一.选择题

1.一条直线若同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线（）

A.成异面直线 B.相交 C.平行 D.平行或相交

2.已知直线a，b，平面，有下列四个命题

①； ②；

③； ④

其中正确的命题有（）

A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.以上都不对

3.边长为a的正三角形ABC中，AD⊥BC于D，沿AD折成二面角B－AD－C后，，这时二面角B－AD－C的大小为（）

A.30° B.45° C.60° D.90°

4.设a，b是两条异面直线，P是a，b外的一点，则下列结论正确的是（）

A.过P有一条直线和a，b都平行

B.过P有一条直线和a，b都相交

C.过P有一条直线和a，b都垂直

D.过P有一个平面与a，b都平行

5.若a，b是异面直线，点A、B在直线a上，点C、D在直线b上，且AD=AC，BD=BC，则直线a，b所成的角为（）

A.90° B.60° C.45° D.30°

二.填空题

6.设正方体的棱长为1，则

（1）A点到的距离为_____________

（2）A点到的距离为_____________

（3）A点到面的距离为_____________

（4）A点到面的距离为_____________

（5）的距离为_____________

7.如图，正方形ABCD中，E、F分别是中点，现沿AE、AF、EF把它折成一个四面体，使B、D、C三点重合于G，则=_____________。

8.把边长为a的正三角形ABC沿高线AD折成60°的二面角，则点A到BC的距离为_________________。

9.如图PA⊥⊙O面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，E、F分别是A在PB、PC上的射影，给出下列结论：

①AF⊥PB，②EF⊥PB，③AF⊥BC，④AE⊥平面PBC，其中正确命题的序号是_____________。

10.平面，其交线为l，，AB与所成角为30°，则AB与α所成角的取值范围是_____________。

三.解答题

11.四面体ABCS中，SB、SC、SA两两垂直，∠SBA=45°，∠SBC=60°，M为AB的中点。

求：

（1）BC与面SAB所成的角；

（2）SC与平面ABC所成角的正弦值。

12.AB为⊙O的直径，C为弧AB上的一点（异于A、B），PA⊥平面ABC。

（1）求证：

面PAC⊥面PBC；

（2）若AE⊥PC于E，则面AEB⊥面PBC，BE为交线。

13.在矩形ABCD中，已知，E是AD的中点，沿BE将△ABE折到△的位置，使。

（1）求证：

平面平面BCDE。

（2）求和面BCD所成角的大小。

14.如图，在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中，∠ABC=90°，SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=1，。

（I）求；

（II）求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值。

15.一个由5人组成的数学课外活动小组，其中2名女生，3名男生，老师每天从5人中随机抽查3人。

（1）求一次抽查时，2名女生全被抽到的概率；

（2）用表示一周5天中，2名女生同时被抽查的次数，求随机变量的概率分布和它的数学期望。

【试题答案】

一.1.C 2.C 3.C

4.C（当P点和直线a确定的平面与b平行时，则过P点的直线与a不相交，∴B错，当P点在a或b上时，D不成立）

5.A

二.6.

7.

8.

9.①②③

10.（0°，60°]

（如图∠ABD≥30°，∴90°－∠BAD≥30°

∴∠BAD≤60°∴0<∠BAD≤60°）

三.11.解：

（1）∵SC⊥SA，SC⊥SB

∴SC⊥面SAB

∴SB是CB在面SAB上的射影

∴∠SBC是直线BC与面SAB所成的角，且为60°

（2）连SM，CM，则SM⊥AB（△SAB为等腰Rt△）

∴AB⊥面CSM

设SH⊥CM于H，则AB⊥SH

∴SH⊥面ABC

∴∠SCH为SC与平面ABC所成的角

设SB=SA=a

则

注：

“垂线”是相对的，SC是面SAB的垂线，却又是面ABC的斜线。

12.证：

（1）∵PA⊥面ABC，PC在面ABC上射影为AC

又AB为⊙O直径

∴BC⊥AC∴BC⊥PC

∴BC⊥面PAC

又BC面PBC ∴面PAC⊥面PBC

（2）由

（1）知BC⊥面PAC

又AE面PAC

∴BC⊥AE，又PC⊥AE

∴AE⊥面PBC

又AE面AEB

∴面AEB⊥面PBC

或者：

由

（1）知面PAC⊥面PBC，PC为交线

又AE⊥PC∴AE⊥面PBC

又AE面AEB∴面AEB⊥面PBC

注：

线线垂直线面垂直面面垂直

13.

（1）取BE中点M，CD中点N，

连分别为中点

（2）连结MC，

∵

∴∠就是与面BCDE所成的角

设AB=a，则

14.分析：

易证AD⊥面SAB

（I）

（II）延长CD、BA交于点E

连结SE，SE即为面CSD与面BSA的交线

又∵DA⊥面SAB

∴过A作AF⊥SE于F

连FD，则DF⊥SE

又易知△SAE为等腰直角三角形，F为SE中点

15.解：

（1）2名女生全被抽到的概率为

（2）某一天中2名女生全被抽到的概率为

则不全被抽到的概率为

的取值为0，2，3，4，5

则（k=0，1，3，4，5），

即，

【励志故事】

扛船赶路

一个青年背着一个大包裹千里迢迢跑来找无际大师，他说：

“大师，我是那样的孤独、痛苦和寂寞，长期的跋涉使我疲倦到极点；我的鞋子破了，荆棘割破双脚；手也受伤了，流血不止；嗓子因为长久的呼喊而喑哑……为什么我还不能找到心中的阳光？

”

　　大师问：

“你的大包裹里装的什么？

”青年说：

“它对我可重要了。

里面是我每一次跌倒时的痛苦，每一次受伤后的哭泣，每一次孤寂时的烦恼……靠着它，我才能走到您这儿来。

”

　　于是，无际大师带青年来到河边，他们坐船过了河。

上岸后，大师说：

“你扛了船赶路吧！

”“什么，扛了船赶路？

”青年很惊讶，“它那么沉，我扛得动吗？

”“是的，孩子，你扛不动它。

”大师微微一笑，说：

“过河时，船是有用的。

但过了河，我们就要放下船赶路。

否则，它会变成我们的包袱。

痛苦、孤独、寂寞、灾难、眼泪，这些对人生都是有用的，它能使生命得到升华，但须臾不忘，就成了人生的包袱。

放下它吧！

孩子，生命不能太负重。

”

　　青年放下包袱，继续赶路，他发觉自己的步子轻松而愉悦，比以前快得多。

原来，生命是可以不必如此沉重的。